En matemáticas , género ( pl.: géneros ) tiene algunos significados diferentes, pero estrechamente relacionados. Intuitivamente, el género es el número de "huecos" de una superficie . [1] Una esfera tiene género 0, mientras que un toro tiene género 1.
El género de una superficie conectada y orientable es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de curvas simples cerradas que no se cruzan sin desconectar la variedad resultante . [2] Es igual al número de asas que tiene. Alternativamente, se puede definir en términos de la característica de Euler χ , mediante la relación χ = 2 − 2 g para superficies cerradas , donde g es el género. Para superficies con b componentes límite , la ecuación dice χ = 2 − 2 g − b . En términos sencillos, es el número de "agujeros" que tiene un objeto ("agujeros" interpretados en el sentido de agujeros de rosquilla; se consideraría que una esfera hueca no tiene agujeros en este sentido). Un toro tiene 1 de esos agujeros, mientras que una esfera tiene 0. La superficie verde que se muestra arriba tiene 2 agujeros del tipo correspondiente.
Por ejemplo:
La construcción explícita de superficies del género g se da en el artículo sobre el polígono fundamental .
En términos más simples, el valor del género de una superficie orientable es igual al número de "agujeros" que tiene. [3]
El género no orientable , semigénero o género Euler de una superficie cerrada conectada y no orientable es un número entero positivo que representa el número de tapas transversales unidas a una esfera . Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ, mediante la relación χ = 2 − k , donde k es el género no orientable.
Por ejemplo:
El género de un nudo K se define como el género mínimo de todas las superficies de Seifert para K. [4] Sin embargo, una superficie de Seifert de un nudo es una variedad con límite , siendo el límite el nudo, es decir, homeomorfo al círculo unitario. El género de dicha superficie se define como el género de la variedad doble, que se obtiene pegando el disco unitario a lo largo del límite.
El género de un cuerpo de mango tridimensional es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de los discos incrustados sin desconectar el colector resultante. Es igual al número de asas que tiene.
Por ejemplo:
El género de un gráfico es el número entero mínimo n tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse sobre una esfera con n identificadores (es decir, una superficie orientada del género n ). Por tanto, un gráfico plano tiene género 0, porque se puede dibujar en una esfera sin autocruzarse.
El género no orientable de un gráfico es el número entero mínimo n tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse sobre una esfera con n cruces (es decir, una superficie no orientable de género (no orientable) n ). (Este número también se llama semigénero ).
El género de Euler es el entero mínimo n tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse en una esfera con n cruces o en una esfera con n/2 identificadores. [5]
En la teoría de grafos topológicos existen varias definiciones del género de un grupo . Arthur T. White introdujo el siguiente concepto. El género de un grupo G es el género mínimo de un gráfico de Cayley ( conectado, no dirigido) para G.
El problema del género de grafos es NP-completo . [6]
Hay dos definiciones relacionadas de género de cualquier esquema algebraico proyectivo X : el género aritmético y el género geométrico . [7] Cuando X es una curva algebraica con campo de definición los números complejos , y si X no tiene puntos singulares , entonces estas definiciones concuerdan y coinciden con la definición topológica aplicada a la superficie de Riemann de X (su variedad de puntos complejos). Por ejemplo, la definición de curva elíptica de la geometría algebraica es la curva proyectiva no singular del género 1 conectada con un punto racional dado en ella .
Según el teorema de Riemann-Roch , una curva plana irreducible de grado dada por el lugar geométrico de fuga de una sección tiene género geométrico
¿Dónde está el número de singularidades cuando se cuentan correctamente?
En geometría diferencial, un género de una variedad orientada puede definirse como un número complejo sujeto a las condiciones
En otras palabras, es un homomorfismo de anillo , donde está el anillo de cobordismo orientado de Thom. [8]
El género es multiplicativo para todos los haces de variedades de espinor con una estructura compacta conectada si es una integral elíptica , como para algunos. Este género se llama género elíptico.
La característica de Euler no es un género en este sentido ya que no es invariante respecto de los cobordismos.
El género también se puede calcular para el gráfico abarcado por la red de interacciones químicas en ácidos nucleicos o proteínas. En particular, se puede estudiar el crecimiento del género a lo largo de la cadena. Esta función (llamada traza de género) muestra la complejidad topológica y la estructura de dominio de las biomoléculas. [9]
