En matemáticas, una resolución de Koszul-Tate o complejo Koszul-Tate del anillo cociente R / M es una resolución proyectiva del mismo como un módulo R que también tiene una estructura de dg-álgebra sobre R , donde R es un anillo conmutativo. y M ⊂ R es un ideal . Fueron introducidos por Tate (1957) como una generalización de la resolución de Koszul para el cociente R /( x 1 , ...., x n ) de R por una secuencia regular de elementos. Friedemann Brandt, Glenn Barnich y Marc Henneaux (2000) utilizaron la resolución de Koszul-Tate para calcular la cohomología BRST . El diferencial de este complejo se denomina derivación Koszul-Tate o diferencial Koszul-Tate .
Primero supongamos por simplicidad que todos los anillos contienen los números racionales Q. Supongamos que tenemos un anillo supercommutativo graduado X , de modo que
con un diferencial d , con
y x ∈ X es un ciclo homogéneo ( dx = 0). Entonces podemos formar un nuevo anillo.
de polinomios en una variable T , donde el diferencial se extiende a T por
(El anillo polinomial se entiende en el sentido superior, por lo que si T tiene grado impar entonces T 2 = 0.) El resultado de sumar el elemento T es eliminar el elemento de homología de X representado por x , y Y sigue siendo un anillo superconmutativo con derivación.
Se puede construir una resolución Koszul-Tate de R / M de la siguiente manera. Comenzamos con el anillo conmutativo R (graduado para que todos los elementos tengan grado 0). Luego agregue nuevas variables como arriba del grado 1 para eliminar todos los elementos del M ideal en la homología. Luego continúe agregando más y más variables nuevas (posiblemente un número infinito) para eliminar toda homología de grado positivo. Terminamos con un anillo graduado supercommutativo con derivación d cuya homología es simplemente R / M .
Si no estamos trabajando en un campo de característica 0, la construcción anterior aún funciona, pero generalmente es más claro usar la siguiente variación. En lugar de utilizar anillos polinómicos X [ T ], se puede utilizar un "anillo polinómico con potencias divididas" X〈T〉, que tiene una base de elementos
dónde
Sobre un campo de característica 0,