Resolución Koszul-Tate

En matemáticas, una resolución de Koszul–Tate o complejo de Koszul–Tate del anillo cociente R / M es una resolución proyectiva del mismo como un R -módulo que también tiene una estructura de un dg-álgebra sobre R , donde R es un anillo conmutativo y M ⊂ R es un ideal . Fueron introducidos por Tate  (1957) como una generalización de la resolución de Koszul para el cociente R /( x ₁ , ...., x _n ) de R por una secuencia regular de elementos. Friedemann Brandt, Glenn Barnich y Marc Henneaux (2000) utilizaron la resolución de Koszul–Tate para calcular la cohomología BRST . La diferencial de este complejo se llama derivación de Koszul–Tate o diferencial de Koszul–Tate .

Construcción

Supongamos primero, para simplificar, que todos los anillos contienen los números racionales Q . Supongamos que tenemos un anillo supercommutativo graduado X , de modo que

ab = (−1) grados ^{( a )grados ( b )} ba ,

con un diferencial d , con

d ( ab ) = d ( a ) b + (−1) ^{deg( a )} ad ( b )),

y x ∈ X es un ciclo homogéneo ( dx = 0). Entonces podemos formar un nuevo anillo.

Y = X [T]

de polinomios en una variable T , donde la diferencial se extiende a T por

1. La ecuación (1) es la ecuación ( 1) de la función T.

(El anillo polinomial se entiende en el sentido supercommutativo, por lo que si T tiene grado impar entonces T ² = 0.) El resultado de agregar el elemento T es matar el elemento de la homología de X representado por x , e Y sigue siendo un anillo supercommutativo con derivación.

Una resolución de Koszul–Tate de R / M se puede construir de la siguiente manera. Empezamos con el anillo conmutativo R (graduado de modo que todos los elementos tengan grado 0). Luego añadimos nuevas variables como las anteriores de grado 1 para eliminar todos los elementos del ideal M en la homología. Después seguimos añadiendo más y más variables nuevas (posiblemente un número infinito) para eliminar toda la homología de grado positivo. Terminamos con un anillo graduado superconmutativo con derivación d cuya homología es simplemente R / M .

Si no trabajamos sobre un cuerpo de característica 0, la construcción anterior funciona igualmente, pero suele ser más elegante utilizar la siguiente variación. En lugar de utilizar anillos polinómicos X [ T ], se puede utilizar un "anillo polinómico con potencias divididas" X〈T〉, que tiene una base de elementos

T ^{( i )} para i ≥ 0,

dónde

T ^{( i )} T ^{( j )} = (( i + j )!/ i ! j !) T ^{( i + j )} .

Sobre un campo de característica 0,

T ^{( i )} es simplemente T ⁱ / i !.

Véase también

• Cohomología del álgebra de Lie

Referencias

• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), "Cohomología BRST local en teorías de calibración", Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode :2000PhR...338..439B, doi :10.1016/S0370-1573(00)00049-1, ISSN  0370-1573, MR  1792979, S2CID  119420167
• Koszul, Jean-Louis (1950), "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 65–127, doi : 10.24033/bsmf.1410 , ISSN  0037-9484, MR  0036511
• Tate, John (1957), "Homología de anillos noetherianos y anillos locales", Illinois Journal of Mathematics , 1 : 14–27, doi : 10.1215/ijm/1255378502 , ISSN  0019-2082, MR  0086072
• M. Henneaux y C. Teitelboim, Cuantización de sistemas de calibración , Princeton University Press, 1992
• Verbovetsky, Alexander (2002), "Observaciones sobre dos enfoques de la cohomología horizontal: el complejo de compatibilidad y la resolución Koszul–Tate", Acta Applicandae Mathematicae , 72 (1): 123–131, arXiv : math/0105207 , doi :10.1023/A:1015276007463, ISSN  0167-8019, MR  1907621, S2CID  14555963