complejo koszul

Construcción en álgebra homológica

En matemáticas , el complejo de Koszul fue introducido por primera vez para definir una teoría de cohomología para las álgebras de Lie , por Jean-Louis Koszul (ver cohomología del álgebra de Lie ). Resultó ser una construcción general útil en álgebra homológica . Como herramienta, su homología puede usarse para determinar cuándo un conjunto de elementos de un anillo (local) es una secuencia M-regular y, por lo tanto, puede usarse para probar hechos básicos sobre la profundidad de un módulo o ideal que es un Noción algebraica de dimensión que está relacionada pero es diferente de la noción geométrica de dimensión de Krull . Además, en determinadas circunstancias, el complejo es el complejo de sizigias , es decir, indica las relaciones entre generadores de un módulo, las relaciones entre estas relaciones, etc.

Definición

Sea A un anillo conmutativo y s: A ^r → A una aplicación A -lineal. Su complejo de Koszul K _s es

${\displaystyle \bigwedge ^{r}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{r-1}A^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ \bigwedge ^{1}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{0}A^{r}\simeq A}$

donde envían los mapas

${\displaystyle \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\ \mapsto \ \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(\alpha _{i})\ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {\alpha }}_{i}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$

donde significa que se omite el término y significa el producto de cuña . Se puede reemplazar con cualquier módulo A. ${\displaystyle {\hat {\ }}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle A^{r}}$

Ejemplo motivador

Sea M una variedad, variedad, esquema, ..., y A sea el anillo de funciones en él, denotado . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$

El mapa corresponde a elegir r funciones . Cuando r = 1 , el complejo de Koszul es ${\displaystyle s\colon A^{r}\to A}$ ${\displaystyle f_{1},...,f_{r}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot f}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)}$

cuyo cokernel es el anillo de funciones en el lugar cero f = 0 . En general, el complejo Koszul es

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot (f_{1},...,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ {\stackrel {\cdot (f_{1},\dots ,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M).}$

El cokernel del último mapa vuelve a funcionar en el lugar cero . Es el producto tensorial de los r muchos complejos de Koszul para , por lo que sus dimensiones vienen dadas por coeficientes binomiales. ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{r}=0}$ ${\displaystyle f_{i}=0}$

En imágenes: funciones dadas , ¿cómo definimos el lugar donde todas desaparecen? ${\displaystyle s_{i}}$

En geometría algebraica, el anillo de funciones del lugar cero es . En geometría algebraica derivada , el anillo dg de funciones es el complejo de Koszul. Si los loci se cruzan transversalmente , estos son equivalentes. ${\displaystyle A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$ ${\displaystyle s_{i}=0}$

Por tanto: los complejos de Koszul son intersecciones derivadas de lugares cero.

Propiedades

Estructura de álgebra

Primero, el complejo de Koszul K _s de (A, s) es un complejo de cadena : la composición de dos aplicaciones cualesquiera es cero. En segundo lugar, el mapa.

${\displaystyle K_{s}\otimes K_{s}\ \to \ K_{s}\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ (\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})\otimes (\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell })\ \mapsto \ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell }}$

lo convierte en un álgebra dg . ^[1]

Como producto tensorial

El complejo de Koszul es un producto tensorial: si , entonces ${\displaystyle s=(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle K_{s}\ \simeq \ K_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes K_{s_{r}}}$

donde denota el producto tensorial derivado de complejos de cadena de A -módulos. ^[2] ${\displaystyle \otimes }$

Desapareciendo en caso normal

Cuando se forma una secuencia regular , el mapa es un cuasiisomorfismo, es decir ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle K_{s}\to A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(K_{s})\ =\ 0,\qquad i\neq 0,}$

y en cuanto a cualquier s ,. ${\displaystyle H^{0}(K_{s})=A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

Historia

El complejo de Koszul fue introducido por primera vez para definir una teoría de cohomología para las álgebras de Lie , por Jean-Louis Koszul (ver cohomología del álgebra de Lie ). Resultó ser una construcción general útil en álgebra homológica . Como herramienta, su homología puede usarse para determinar cuándo un conjunto de elementos de un anillo (local) es una secuencia M-regular y, por lo tanto, puede usarse para probar hechos básicos sobre la profundidad de un módulo o ideal que es un Noción algebraica de dimensión que está relacionada pero es diferente de la noción geométrica de dimensión de Krull . Además, en determinadas circunstancias, el complejo es el complejo de sizigias , es decir, indica las relaciones entre generadores de un módulo, las relaciones entre estas relaciones, etc.

Definición detallada

Sea R un anillo conmutativo y E un módulo libre de rango finito r sobre R . Escribimos para la i -ésima potencia exterior de E . Entonces, dado un R -mapa lineal , el complejo de Koszul asociado a s es el complejo de cadena de R -módulos: ${\displaystyle \bigwedge ^{i}E}$ ${\displaystyle s\colon E\to R}$

${\displaystyle K_{\bullet }(s)\colon 0\to \bigwedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}E\to \cdots \to \bigwedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0}$,

donde el diferencial está dado por: para cualquiera en E , ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}}$.

El superíndice significa que el término se omite. Para demostrarlo , utilice la autodualidad de un complejo de Koszul. ${\displaystyle {\widehat {\cdot }}}$ ${\displaystyle d_{k}\circ d_{k+1}=0}$

Tenga en cuenta que y . Tenga en cuenta también que ; este isomorfismo no es canónico (por ejemplo, la elección de una forma de volumen en geometría diferencial proporciona un ejemplo de tal isomorfismo). ${\displaystyle \bigwedge ^{1}E=E}$ ${\displaystyle d_{1}=s}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{r}E\simeq R}$

Si (es decir, se elige una base ordenada), entonces, dar un mapa lineal R equivale a dar una secuencia finita de elementos en R (es decir, un vector fila) y luego se establece ${\displaystyle E=R^{r}}$ ${\displaystyle s\colon R^{r}\to R}$ ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).}$

Si M es un módulo R finitamente generado , entonces se establece:

${\displaystyle K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M}$,

que es nuevamente un complejo de cadena con el diferencial inducido . ${\displaystyle (d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m}$

La i -ésima homología del complejo de Koszul

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})}$

se llama la i -ésima homología de Koszul . Por ejemplo, si y es un vector fila con entradas en R , entonces es ${\displaystyle E=R^{r}}$ ${\displaystyle s=[s_{1}\cdots s_{r}]}$ ${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M}}$

${\displaystyle s\colon M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}}$

y entonces

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1},\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.}$

Similarmente,

${\displaystyle \operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).}$

Complejos de Koszul en dimensiones reducidas.

Dado un anillo conmutativo R , un elemento x en R y un R - módulo M , la multiplicación por x produce un homomorfismo de R -módulos,

${\displaystyle M\to M.}$

Considerando esto como una cadena compleja (poniéndolos en grado 1 y 0, y agregando ceros en otros lugares), se denota por . Por construcción, las homologías son ${\displaystyle K(x,M)}$

${\displaystyle H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=\operatorname {Ann} _{M}(x)=\{m\in M,xm=0\},}$

el aniquilador de x en M . Así, el complejo de Koszul y su homología codifican propiedades fundamentales de la multiplicación por x . Este complejo de cadena se llama complejo de Koszul de R con respecto a x , como en #Definición. ${\displaystyle K_{\bullet }(x)}$

El complejo de Koszul para una pareja es ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$

${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,}$

con las matrices y dada por ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$y

${\displaystyle d_{2}={\begin{bmatrix}-y&x\end{bmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que se aplica a la derecha. Los ciclos de grado 1 son entonces exactamente las relaciones lineales sobre los elementos x e y , mientras que las fronteras son las relaciones triviales. Por tanto , la primera homología de Koszul mide exactamente las relaciones entre las relaciones triviales. Con más elementos, las homologías Koszul de dimensiones superiores miden las versiones de nivel superior de este. ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle H_{1}(K_{\bullet }(x,y))}$

En el caso de que los elementos formen una secuencia regular , los módulos de homología superior del complejo de Koszul son todos cero. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

Ejemplo

Si k es un campo y son indeterminados y R es el anillo polinomial , el complejo de Koszul en forma una R -resolución libre concreta de k . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}}$ ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]}$ ${\displaystyle K_{\bullet }(X_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Propiedades de una homología de Koszul

Sea E un módulo libre de rango finito sobre R , sea un mapa lineal R y sea t un elemento de R . Sea el complejo de Koszul de . ${\displaystyle s\colon E\to R}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus R\to R}$

Usando , existe la secuencia exacta de complejos: ${\displaystyle \bigwedge ^{k}(E\oplus R)=\oplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E\otimes \bigwedge ^{i}R=\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle 0\to K(s)\to K(s,t)\to K(s)[-1]\to 0}$,

donde significa el cambio de grado por y . Una nota: ^[3] para en , ${\displaystyle [-1]}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle d_{K(s)[-1]}=-d_{K(s)}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(d_{K(s)}x+ty,d_{K(s)[-1]}y).}$

En el lenguaje del álgebra homológica , lo anterior significa que es el cono de mapeo de . ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle t\colon K(s)\to K(s)}$

Tomando la larga secuencia exacta de homologías, obtenemos:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{i}(K(s)){\overset {t}{\to }}\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s,t))\to \operatorname {H} _{i-1}(K(s)){\overset {t}{\to }}\cdots .}$

Aquí, el homomorfismo conector

${\displaystyle \delta :\operatorname {H} _{i+1}(K(s)[-1])=\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s))}$

se calcula de la siguiente manera. Por definición, donde y es un elemento de eso se asigna a x . Como es una suma directa, simplemente podemos tomar y como (0, x ). Entonces la fórmula inicial para da . ${\displaystyle \delta ([x])=[d_{K(s,t)}(y)]}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ ${\displaystyle \delta ([x])=t[x]}$

La secuencia exacta anterior se puede utilizar para demostrar lo siguiente.

Teorema  -  ^[4] Sea R un anillo y M un módulo sobre él. Si una secuencia de elementos de R es una secuencia regular en M , entonces ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$

para todos . En particular, cuando M = R , es decir ${\displaystyle i\geq 1}$

${\displaystyle 0\to \bigwedge ^{r}R^{r}{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}R^{r}\to \cdots \to \bigwedge ^{2}R^{r}{\overset {d_{2}}{\to }}R^{r}{\overset {[x_{1}\cdots x_{r}]}{\to }}R\to R/(x_{1},\cdots ,x_{r})\to 0}$

es exacto; es decir, es una resolución libre de R de . ${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{r})}$ ${\displaystyle R/(x_{1},\dots ,x_{r})}$

Prueba por inducción en r . Si entonces . A continuación, supongamos que la afirmación es verdadera para r - 1. Luego, utilizando la secuencia exacta anterior, se ve para cualquiera . La desaparición también es válida para , ya que es un divisor distinto de cero en ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1};M))=\operatorname {Ann} _{M}(x_{1})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0}$ ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K(x_{1},\dots ,x_{r-1};M))=M/(x_{1},\dots ,x_{r-1})M.}$ ${\displaystyle \square }$

Corolario  -  ^[5] Sean R , M como arriba y una secuencia de elementos de R . Supongamos que hay un anillo S , una secuencia S -regular en S y un homomorfismo de anillo S → R que se asigna a . (Por ejemplo, se puede tomar .) Entonces ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {Z} [y_{1},\cdots ,y_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(S/(y_{1},\dots ,y_{n}),M).}$

donde Tor denota el functor Tor y M es un módulo S hasta . ${\displaystyle S\to R}$

Prueba: Por el teorema aplicado a S y S como módulo S , vemos que es una resolución libre de S de . Entonces, por definición, la i -ésima homología de es el lado derecho de lo anterior. Por otro lado, por la definición de la estructura del módulo S en M . ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle S/(y_{1},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M}$ ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M=K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle \square }$

Corolario  -  ^[6] Sean R , M como arriba y una secuencia de elementos de R . Entonces tanto el ideal como el aniquilador del Hombre aniquilan ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ${\displaystyle I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)}$

para todos yo .

Prueba: Sea S = R [ y ₁ , ..., y _n ]. Convierta M en un módulo S mediante el homomorfismo de anillo S → R , y _i → x _i y R en un módulo S mediante y _i → 0 . Por el corolario anterior, y luego ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)}$

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}\left(\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)\right)\supset \operatorname {Ann} _{S}(R)+\operatorname {Ann} _{S}(M)\supset (y_{1},\dots ,y_{n})+\operatorname {Ann} _{R}(M)+(y_{1}-x_{1},...,y_{n}-x_{n}).}$ ${\displaystyle \square }$

Para un anillo local , se cumple lo contrario del teorema. De manera más general,

Teorema  -  ^[7] Sea R un anillo y M un módulo generado finitamente distinto de cero sobre R. Si son elementos del radical de Jacobson de R , entonces son equivalentes los siguientes: ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}}$

1. La secuencia es una secuencia regular en M , ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$
2. ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$,
3. ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$para todo i ≥ 1.

Prueba: Sólo necesitamos mostrar 2. implica 1., quedando claro el resto. Argumentamos por inducción sobre r . El caso r = 1 ya es conocido. Sea x ' el que denota x ₁ , ..., x _{r -1} . Considerar

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{1}(K(x';M)){\overset {x_{r}}{\to }}\operatorname {H} _{1}(K(x';M))\to \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0\to M/x'M{\overset {x_{r}}{\to }}\cdots .}$

Dado que el primero es sobreyectivo, con . Por el lema de Nakayama , por lo que x ' es una secuencia regular según la hipótesis inductiva. Dado que la segunda es inyectiva (es decir, es un divisor distinto de cero), es una secuencia regular. (Nota: según el lema de Nakayama, el requisito es automático). ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle N=x_{r}N}$ ${\displaystyle N=\operatorname {H} _{1}(K(x';M))}$ ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$ ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0}$ ${\displaystyle \square }$

Productos tensoriales de complejos de Koszul.

En general, si C , D son complejos de cadena, entonces su producto tensorial es el complejo de cadena dado por ${\displaystyle C\otimes D}$

${\displaystyle (C\otimes D)_{n}=\sum _{i+j=n}C_{i}\otimes D_{j}}$

con el diferencial: para cualquier elemento homogéneo x , y ,

${\displaystyle d_{C\otimes D}(x\otimes y)=d_{C}(x)\otimes y+(-1)^{|x|}x\otimes d_{D}(y)}$

donde | x | es el grado de x .

Esta construcción se aplica en particular a los complejos Koszul. Sean E , F módulos libres de rango finito y sean y dos R -maps lineales. Sea el complejo de Koszul del mapa lineal . Luego, como complejos, ${\displaystyle s\colon E\to R}$ ${\displaystyle t\colon F\to R}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus F\to R}$

${\displaystyle K(s,t)\simeq K(s)\otimes K(t).}$

Para ver esto, es más conveniente trabajar con un álgebra exterior (a diferencia de potencias exteriores). Definir la derivación graduada de grado. ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle d_{s}:\wedge E\to \wedge E}$

requiriendo: para cualquier elemento homogéneo x , y en Λ E ,

• ${\displaystyle d_{s}(x)=s(x)}$cuando ${\displaystyle |x|=1}$
• ${\displaystyle d_{s}(x\wedge y)=d_{s}(x)\wedge y+(-1)^{|x|}x\wedge d_{s}(y)}$

Se ve fácilmente que (inducción en grado) y que la acción de elementos homogéneos concuerda con los diferenciales en #Definición. ${\displaystyle d_{s}\circ d_{s}=0}$ ${\displaystyle d_{s}}$

Ahora, tenemos módulos R graduados . Además, según la definición de producto tensorial mencionada al principio, ${\displaystyle \wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F}$

${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}(e\otimes 1+1\otimes f)=d_{K(s)}(e)\otimes 1+1\otimes d_{K(t)}(f)=s(e)+t(f)=d_{K(s,t)}(e+f).}$

Dado que y son derivaciones del mismo tipo, esto implica ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}}$ ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}=d_{K(s,t)}.}$

Tenga en cuenta, en particular,

${\displaystyle K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})\simeq K(x_{1})\otimes K(x_{2})\otimes \cdots \otimes K(x_{r})}$.

La siguiente proposición muestra cómo el complejo de elementos de Koszul codifica cierta información sobre secuencias en el ideal generado por ellos.

Proposición  :  Sea R un anillo e I = ( x ₁ , ..., x _n ) un ideal generado por algunos n elementos. Entonces, para cualquier R -módulo M y cualquier elemento y ₁ , ..., y _r en I ,

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{r};M))\simeq \bigoplus _{i=j+k}\operatorname {H} _{j}(K(x_{1},\dots ,x_{n};M))\otimes \wedge ^{k}R^{r}.}$

donde se ve como un complejo con diferencial cero. (De hecho, la descomposición se mantiene a nivel de cadena). ${\displaystyle \wedge ^{k}R^{r}}$

Prueba: (Fácil pero omitida por ahora)

Como aplicación, podemos mostrar la sensibilidad profunda de una homología de Koszul. Dado un módulo M finitamente generado sobre un anillo R , por (una) definición, la profundidad de M con respecto a un I ideal es el supremo de las longitudes de todas las secuencias regulares de elementos de I en M. Se denota por . Recuerde que una secuencia M -regular x ₁ , ..., x _n en un ideal I es máxima si I no contiene ningún divisor distinto de cero en . ${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)}$ ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{n})M}$

La homología de Koszul proporciona una caracterización muy útil de una profundidad.

Teorema  (sensibilidad a la profundidad)  :  Sea R un anillo noetheriano, x ₁ , ..., x _n elementos de R e I = ( x ₁ , ..., x _n ) el ideal generado por ellos. Para un módulo generado finitamente M sobre R , si, para algún número entero m ,

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0}$para todo i > m ,

mientras

${\displaystyle \operatorname {H} _{m}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)\neq 0,}$

entonces cada M -secuencia regular máxima en I tiene longitud n - m (en particular, todas tienen la misma longitud). Como consecuencia,

${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)=n-m}$.

Prueba: Para aligerar las notaciones, escribimos H(-) para H( K (-)). Sea y ₁ , ..., y _s una secuencia M -regular máxima en el ideal I ; denotamos esta secuencia por . Primero mostramos, por inducción sobre , la afirmación de que es si y es cero si . El caso básico se desprende claramente de las #Propiedades de una homología de Koszul. De la larga secuencia exacta de homologías de Koszul y la hipótesis inductiva, ${\displaystyle {\underline {y}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})}$ ${\displaystyle i=l}$ ${\displaystyle i>l}$ ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{l}\left({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M\right)=\operatorname {ker} \left(x_{l}:\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\to \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\right)}$,

que es también, por el mismo argumento, la desaparición es válida para . Esto completa la prueba del reclamo. ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).}$ ${\displaystyle i>l}$

Ahora bien, de la afirmación y de la proposición inicial se deduce que para todo i > n - s . Para concluir n - s = m , queda demostrar que es distinto de cero si i = n - s . Dado que es una secuencia regular M máxima en I , el I ideal está contenido en el conjunto de todos los divisores cero en , la unión finita de los primos asociados del módulo. Por lo tanto, por evitación de primos, hay algún v distinto de cero en tal que , es decir, ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0}$ ${\displaystyle {\underline {y}}}$ ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$ ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$ ${\displaystyle I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)}$

${\displaystyle 0\neq v\in \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(I)\simeq \operatorname {H} _{n}\left(x_{1},\dots ,x_{n},{\underline {y}};M\right)=\operatorname {H} _{n-s}(x_{1},\dots ,x_{n};M)\otimes \wedge ^{s}R^{s}.}$ ${\displaystyle \square }$

Autodualidad

Existe un enfoque para un complejo de Koszul que utiliza un complejo de cocadena en lugar de un complejo de cadena. Resulta que esto resulta esencialmente en el mismo complejo (el hecho conocido como la autodualidad de un complejo de Koszul).

Sea E un módulo libre de rango finito r sobre un anillo R. Entonces cada elemento e de E da lugar a la multiplicación exterior por la izquierda por e :

${\displaystyle l_{e}:\wedge ^{k}E\to \wedge ^{k+1}E,\,x\mapsto e\wedge x.}$

Desde , tenemos: ; eso es, ${\displaystyle e\wedge e=0}$ ${\displaystyle l_{e}\circ l_{e}=0}$

${\displaystyle 0\to R{\overset {1\mapsto e}{\to }}\wedge ^{1}E{\overset {l_{e}}{\to }}\wedge ^{2}E\to \cdots \to \wedge ^{r}E\to 0}$

es un complejo cochain de módulos gratuitos. Este complejo, también llamado complejo de Koszul, es un complejo utilizado en (Eisenbud 1995). Tomando el dual, queda el complejo:

${\displaystyle 0\to (\wedge ^{r}E)^{*}\to (\wedge ^{r-1}E)^{*}\to \cdots \to (\wedge ^{2}E)^{*}\to (\wedge ^{1}E)^{*}\to R\to 0}$.

Utilizando un isomorfismo , el complejo coincide con el complejo de Koszul en la definición. ${\displaystyle \wedge ^{k}E\simeq (\wedge ^{r-k}E)^{*}\simeq \wedge ^{r-k}(E^{*})}$ ${\displaystyle (\wedge E,l_{e})}$

Usar

El complejo de Koszul es esencial para definir el espectro conjunto de una tupla de operadores lineales acotados de conmutación en un espacio de Banach . ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Complejo Koszul-Tate
• Sicigia (matemáticas)

Notas

1. El Proyecto Stacks, sección 0601
2. The Stacks Project, sección 0601, Lema 15.28.12
3. De hecho, por linealidad, podemos suponer dónde . Entonces ${\displaystyle (x,y)=(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}\in \wedge ^{k}(E\oplus R)}$ ${\displaystyle R\simeq R\epsilon \subset E\oplus R}$

   ${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(s(e_{1})+t)e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}+\sum _{i=2}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots {\widehat {e_{i}}}\cdots \wedge e_{k}}$,

   que es . ${\displaystyle (d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)}$
4. Matsumura 1989, Teorema 16.5. (i)
5. Eisenbud 1995, Ejercicio 17.10.
6. Serre 1975, Capítulo IV, A § 2, Proposición 4.
7. Matsumura 1989, Teorema 16.5. (ii)

Referencias

• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa: con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 150. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94268-8.
• William Fulton (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, señor  1644323
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Serre, Jean-Pierre (1975), Algèbre locale, Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957-1958, rédigé por Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 11, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Proyecto Stacks, sección 0601

Enlaces externos

• Melvin Hochster , Math 711: Conferencia del 3 de octubre de 2007 (especialmente la última parte).