Teorema de Liouville (hamiltoniano)

Resultado clave en mecánica hamiltoniana y mecánica estadística.

En física , el teorema de Liouville , llamado así en honor al matemático francés Joseph Liouville , es un teorema clave en la mecánica estadística clásica y hamiltoniana . Afirma que la función de distribución del espacio de fases es constante a lo largo de las trayectorias del sistema , es decir, que la densidad de puntos del sistema en las proximidades de un punto dado del sistema que viaja a través del espacio de fases es constante con el tiempo. Esta densidad independiente del tiempo se conoce en mecánica estadística como probabilidad a priori clásica . ^[1]

El teorema de Liouville se aplica a sistemas conservadores , es decir, sistemas en los que los efectos de la fricción están ausentes o pueden ignorarse. La formulación matemática general para tales sistemas es el sistema dinámico que preserva la medida . El teorema de Liouville se aplica cuando existen grados de libertad que pueden interpretarse como posiciones y momentos; No todos los sistemas dinámicos que conservan medidas los tienen, pero los sistemas hamiltonianos sí. La configuración general para las coordenadas de posición y momento conjugadas está disponible en la configuración matemática de geometría simpléctica . El teorema de Liouville ignora la posibilidad de reacciones químicas , donde el número total de partículas puede cambiar con el tiempo, o donde la energía puede transferirse a grados de libertad internos . Existen extensiones del teorema de Liouville para cubrir estos diversos entornos generalizados, incluidos los sistemas estocásticos. ^[2]

ecuación de liouville

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fases (arriba). Cada sistema consta de una partícula masiva en un pozo de potencial unidimensional (curva roja, figura inferior). Mientras que el movimiento de un miembro individual del conjunto viene dado por las ecuaciones de Hamilton , la ecuación de Liouville describe el flujo de toda la distribución. El movimiento es análogo al de un tinte en un fluido incompresible.

La ecuación de Liouville describe la evolución temporal de la función de distribución del espacio de fases . Aunque la ecuación suele denominarse "ecuación de Liouville", Josiah Willard Gibbs fue el primero en reconocer la importancia de esta ecuación como ecuación fundamental de la mecánica estadística. ^{[3] [4]} Se la conoce como ecuación de Liouville porque su derivación para sistemas no canónicos utiliza una identidad derivada por primera vez por Liouville en 1838. ^{[5] [6]} Considere un sistema dinámico hamiltoniano con coordenadas canónicas y momentos conjugados , dónde . Entonces la distribución del espacio de fases determina la probabilidad de que el sistema se encuentre en el volumen del espacio de fases infinitesimal . La ecuación de Liouville gobierna la evolución en el tiempo : ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \rho (p,q)}$ ${\displaystyle \rho (p,q)\;\mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p}$ ${\displaystyle \rho (p,q;t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=0.}$

Las derivadas del tiempo se indican con puntos y se evalúan según las ecuaciones de Hamilton para el sistema. Esta ecuación demuestra la conservación de la densidad en el espacio de fases (que era el nombre de Gibbs para el teorema). El teorema de Liouville establece que

La función de distribución es constante a lo largo de cualquier trayectoria en el espacio de fases.

Una prueba del teorema de Liouville utiliza el teorema de divergencia n -dimensional . Esta prueba se basa en el hecho de que la evolución de obedece a una versión bidimensional de la ecuación de continuidad : ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0.}$

Es decir, la tupla 3 es una corriente conservada . Observe que la diferencia entre esta ecuación y la de Liouville son los términos ${\displaystyle (\rho ,\rho {\dot {q}}_{i},\rho {\dot {p}}_{i})}$

${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0,}$

donde está el hamiltoniano, y se han utilizado las ecuaciones de Hamilton así como la conservación del hamiltoniano a lo largo del flujo. Es decir, al considerar el movimiento a través del espacio de fases como un 'flujo de fluido' de puntos del sistema, el teorema de que la derivada convectiva de la densidad, , es cero se desprende de la ecuación de continuidad al observar que el 'campo de velocidades' en el espacio de fases tiene divergencia cero (que se deriva de las relaciones de Hamilton). ^[7] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle d\rho /dt}$ ${\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})}$

Otras formulaciones

soporte de veneno

El teorema anterior a menudo se reformula en términos del corchete de Poisson como

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\{\,H,\rho \,\}}$

o, en términos del operador lineal de Liouville o Liouvillian ,

${\displaystyle \mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=-\{H,\bullet \}}$

como

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}}\rho =0.}$

Teoría ergódica

En la teoría ergódica y los sistemas dinámicos , motivados por las consideraciones físicas dadas hasta ahora, existe un resultado correspondiente también denominado teorema de Liouville. En la mecánica hamiltoniana , el espacio de fase es una variedad suave que viene naturalmente equipada con una medida suave (localmente, esta medida es la medida de Lebesgue de 6 n dimensiones ). El teorema dice que esta medida suave es invariante bajo el flujo hamiltoniano . De manera más general, se puede describir la condición necesaria y suficiente bajo la cual una medida suave es invariante bajo un flujo ^{[ cita necesaria ]} . El caso hamiltoniano se convierte entonces en un corolario.

Geometría simpléctica

También podemos formular el Teorema de Liouville en términos de geometría simpléctica . Para un sistema dado, podemos considerar el espacio de fase de un hamiltoniano particular como una variedad dotada de una forma 2 simpléctica ${\displaystyle (q^{\mu },p_{\mu })}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

${\displaystyle \omega =dp_{\mu }\wedge dq^{\mu }.}$

La forma de volumen de nuestra variedad es la potencia exterior superior de la forma 2 simpléctica, y es solo otra representación de la medida en el espacio de fase descrito anteriormente.

En nuestra variedad simpléctica del espacio de fases podemos definir un campo vectorial hamiltoniano generado por una función como ${\displaystyle f(q,p)}$

${\displaystyle X_{f}={\frac {\partial f}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}.}$

Específicamente, cuando la función generadora es el propio hamiltoniano, obtenemos ${\displaystyle f(q,p)=H}$

${\displaystyle X_{H}={\frac {\partial H}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {dq^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}+{\frac {dp^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {d}{dt}}}$

donde utilizamos las ecuaciones de movimiento de Hamilton y la definición de la regla de la cadena. ^[8]

En este formalismo, el teorema de Liouville establece que la derivada de Lie de la forma de volumen es cero a lo largo del flujo generado por . Es decir, para una variedad simpléctica de 2 dimensiones, ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega ^{n})=0.}$

De hecho, se conserva la estructura simpléctica en sí, no sólo su máximo poder exterior. Es decir, el teorema de Liouville también da ^[9] ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega )=0.}$

Ecuación cuántica de Liouville

El análogo de la ecuación de Liouville en mecánica cuántica describe la evolución temporal de un estado mixto . La cuantificación canónica produce una versión mecánico-cuántica de este teorema, la ecuación de von Neumann . Este procedimiento, utilizado a menudo para idear análogos cuánticos de sistemas clásicos, implica describir un sistema clásico utilizando la mecánica hamiltoniana. Luego, las variables clásicas se reinterpretan como operadores cuánticos, mientras que los corchetes de Poisson se reemplazan por conmutadores . En este caso, la ecuación resultante es ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],}$

donde ρ es la matriz de densidad .

Cuando se aplica al valor esperado de un observable , la ecuación correspondiente viene dada por el teorema de Ehrenfest y toma la forma

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,A]\rangle ,}$

donde hay un observable. Observe la diferencia de signos, que se deriva del supuesto de que el operador está estacionario y el estado depende del tiempo. ${\displaystyle A}$

En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, la sustitución de los corchetes de Moyal por los corchetes de Poisson en el análogo del espacio de fases de la ecuación de von Neumann da como resultado la compresibilidad del fluido de probabilidad y, por lo tanto, violaciones del teorema de incompresibilidad de Liouville. Esto, entonces, conduce a dificultades concomitantes a la hora de definir trayectorias cuánticas significativas. ^[12]

Ejemplos

Volumen del espacio de fase SHO

La evolución temporal del espacio de fase para el oscilador armónico simple (SHO). Aquí hemos tomado y estamos considerando la región . ${\displaystyle m=\omega =1}$ ${\displaystyle p,q\in [-1,1]}$

Considere un sistema de partículas en tres dimensiones y concéntrese únicamente en la evolución de las partículas. Dentro del espacio de fases, estas partículas ocupan un volumen infinitesimal dado por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}p_{i}d^{3}q_{i}.}$

Queremos permanecer iguales a lo largo del tiempo, para que sea constante a lo largo de las trayectorias del sistema. Si permitimos que nuestras partículas evolucionen en un paso de tiempo infinitesimal , vemos que la ubicación de cada partícula en el espacio de fase cambia como ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}}$ ${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)}$ ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle {\begin{cases}q_{i}'=q_{i}+{\dot {q_{i}}}\delta t,\\p_{i}'=p_{i}+{\dot {p_{i}}}\delta t,\end{cases}}}$

donde y denotan y respectivamente, y solo hemos mantenido los términos lineales en . Extendiendo esto a nuestro hipercubo infinitesimal , las longitudes de los lados cambian como ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}}$ ${\displaystyle {\dot {p_{i}}}}$ ${\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle \delta t}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{cases}dq_{i}'=dq_{i}+{\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}dq_{i}\delta t,\\dp_{i}'=dp_{i}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}dp_{i}\delta t.\end{cases}}}$

Para encontrar el nuevo volumen del espacio de fases infinitesimal , necesitamos el producto de las cantidades anteriores. Para realizar el primer pedido , obtenemos lo siguiente: ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '}$ ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}$

Hasta ahora, todavía tenemos que hacer especificaciones sobre nuestro sistema. Especialicémonos ahora en el caso de osciladores armónicos isotrópicos de dos dimensiones. Es decir, cada partícula de nuestro conjunto puede tratarse como un oscilador armónico simple . El hamiltoniano de este sistema está dado por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle H=\displaystyle \sum _{i=1}^{3N}\left({\frac {1}{2m}}p_{i}^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q_{i}^{2}\right).}$

Al usar las ecuaciones de Hamilton con el hamiltoniano anterior, encontramos que el término entre paréntesis es idénticamente cero, lo que produce

${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}.}$

De esto podemos encontrar el volumen infinitesimal del espacio de fases:

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma .}$

Por lo tanto, finalmente hemos encontrado que el volumen del espacio de fase infinitesimal no cambia, lo que produce

${\displaystyle \rho (\Gamma ',t+\delta t)={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma '}}={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}=\rho (\Gamma ,t),}$

demostrando que el teorema de Liouville es válido para este sistema. ^[13]

Queda la pregunta de cómo evoluciona realmente el volumen del espacio de fases en el tiempo. Arriba hemos demostrado que el volumen total se conserva, pero no dijimos nada sobre su apariencia. Para una sola partícula podemos ver que su trayectoria en el espacio de fases está dada por la elipse de constante . Explícitamente, se pueden resolver las ecuaciones de Hamilton para el sistema y encontrar ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=Q_{i}\cos {\omega t}+{\frac {P_{i}}{m\omega }}\sin {\omega t},\\p_{i}(t)&=P_{i}\cos {\omega t}-m\omega Q_{i}\sin {\omega t},\end{aligned}}}$

donde y denotan la posición inicial y el impulso de la -ésima partícula. Para un sistema de múltiples partículas, cada una tendrá una trayectoria en el espacio de fases que traza una elipse correspondiente a la energía de la partícula. La frecuencia a la que se traza la elipse está dada por el hamiltoniano, independientemente de cualquier diferencia de energía. Como resultado, una región del espacio de fases simplemente girará alrededor del punto con una frecuencia que depende de . ^[14] Esto se puede ver en la animación de arriba. ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=(0,0)}$ ${\displaystyle \omega }$

Oscilador armónico amortiguado

La evolución del volumen del espacio de fase para el oscilador armónico amortiguado. Se utilizan los mismos valores de parámetros que en el caso SHO, con . ${\displaystyle \gamma =0.5\ (\alpha =0.25)}$

Uno de los supuestos fundamentales del teorema de Liouville es que el sistema obedece a la conservación de la energía. En el contexto del espacio de fases, es decir que es constante en superficies del espacio de fases de energía constante . Si rompemos este requisito al considerar un sistema en el que la energía no se conserva, encontramos que tampoco es constante. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \rho }$

Como ejemplo de esto, consideremos nuevamente el sistema de partículas, cada una de ellas en un potencial armónico isotrópico bidimensional, cuyo hamiltoniano se da en el ejemplo anterior. Esta vez, agregamos la condición de que cada partícula experimente una fuerza de fricción. Como se trata de una fuerza no conservativa , necesitamos extender las ecuaciones de Hamilton como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q_{i}}}&={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\\{\dot {p_{i}}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-\gamma p_{i},\end{aligned}}}$

donde es una constante positiva que dicta la cantidad de fricción. Siguiendo un procedimiento muy similar al caso del oscilador armónico no amortiguado, llegamos nuevamente a ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}$

Sustituyendo nuestras ecuaciones de Hamilton modificadas, encontramos

${\displaystyle {\begin{aligned}dq_{i}'dp_{i}'&=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}-\gamma \right)\delta t\right],\\&=dq_{i}dp_{i}\left[1-\gamma \delta t\right].\end{aligned}}}$

Calculando nuestro nuevo volumen de espacio de fase infinitesimal y manteniendo solo el primer orden, encontramos el siguiente resultado: ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\left[1-\gamma \delta t\right]^{3N}\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma \left[1-3N\gamma \delta t\right].}$

Hemos descubierto que el volumen del espacio de fases infinitesimal ya no es constante y, por tanto, la densidad del espacio de fases no se conserva. Como se puede ver en la ecuación, a medida que aumenta el tiempo, esperamos que nuestro volumen del espacio de fases disminuya a cero a medida que la fricción afecta al sistema.

En cuanto a cómo evoluciona el volumen del espacio de fases en el tiempo, todavía tendremos una rotación constante como en el caso no amortiguado. Sin embargo, la amortiguación introducirá una disminución constante en los radios de cada elipse. Nuevamente podemos resolver las trayectorias explícitamente usando las ecuaciones de Hamilton, teniendo cuidado de usar las modificadas arriba. Dejando por conveniencia, encontramos ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[Q_{i}\cos {\omega _{1}t}+B_{i}\sin {\omega _{1}t}\right]&&\omega _{1}\equiv {\sqrt {\omega ^{2}-\alpha ^{2}}},\\p_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[P_{i}\cos {\omega _{1}t}-m(\omega _{1}Q_{i}+2\alpha B_{i})\sin {\omega _{1}t}\right]&&B_{i}\equiv {\frac {1}{\omega _{1}}}\left({\frac {P_{i}}{m}}+2\alpha Q_{i}\right),\end{aligned}}}$

donde los valores y denotan la posición inicial y el momento de la -ésima partícula. A medida que el sistema evoluciona, el volumen total del espacio de fases entrará en espiral hasta el origen. Esto se puede ver en la figura de arriba. ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Observaciones

• La ecuación de Liouville es válida tanto para sistemas en equilibrio como en sistemas en no equilibrio. Es una ecuación fundamental de la mecánica estadística del desequilibrio .
• La ecuación de Liouville es parte integral de la prueba del teorema de fluctuación del cual se puede derivar la segunda ley de la termodinámica . También es el componente clave de la derivación de las relaciones de Green-Kubo para coeficientes de transporte lineal como la viscosidad de corte , la conductividad térmica o la conductividad eléctrica .
• Prácticamente cualquier libro de texto sobre mecánica hamiltoniana , mecánica estadística avanzada o geometría simpléctica derivará el teorema de Liouville. ^{[9] [15] [16] [17] [18]}
• En física del plasma, la ecuación de Vlasov puede interpretarse como el teorema de Liouville, que reduce la tarea de resolver la ecuación de Vlasov a la del movimiento de una sola partícula. ^[19] Al utilizar el teorema de Liouville de esta manera con la conservación de la energía o del momento magnético, por ejemplo, se pueden determinar campos desconocidos utilizando funciones de distribución de partículas conocidas, o viceversa. Este método se conoce como mapeo de Liouville. ^[19]

Ver también

• Ecuación de transporte de Boltzmann
• Algoritmo de propagación del sistema de referencia reversible (r-RESPA)

Referencias

1. Harald JW Müller-Kirsten, Conceptos básicos de física estadística, 2ª ed., World Scientific (Singapur, 2013)
2. Kubo, Ryogo (1 de febrero de 1963). "Ecuaciones estocásticas de Liouville". Revista de Física Matemática . 4 (2): 174–183. Código bibliográfico : 1963JMP......4..174K. doi :10.1063/1.1703941. ISSN  0022-2488.
3. JW Gibbs, "Sobre la fórmula fundamental de la mecánica estadística, con aplicaciones a la astronomía y la termodinámica". Actas de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia, 33 , 57–58 (1884). Reproducido en The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, Vol II (1906), p. dieciséis.
4. Gibbs, Josías Willard (1902). Principios elementales de la mecánica estadística . Nueva York: Hijos de Charles Scribner .
5. Liouville, José (1838). "Sur la Theorie de la Variation des constantes arbitraires" (PDF) . Journal de mathématiques pures et appliquées . 3 : 342–349.
6. Ehrendorfer, Martín. "La ecuación de Liouville: antecedentes - antecedentes históricos". La ecuación de Liouville en previsibilidad atmosférica (PDF) . págs. 48–49.
7. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de ruta, 2ª ed., World Scientific (Singapur, 2012).
8. Nakahara, Mikio (2003). Geometría, Topología y Física (2 ed.). Grupo Taylor y Francis. págs. 201-204. ISBN 978-0-7503-0606-5.
9. Nash, Oliver (8 de enero de 2015). "El teorema de Liouville para los pedantes" (PDF) .Demuestra el teorema de Liouville utilizando el lenguaje de la geometría diferencial moderna.
10. La teoría de los sistemas cuánticos abiertos , de Breuer y Petruccione, p. 110.
11. Mecánica estadística , de Schwabl, p. dieciséis.
12. Oliva, Máximo; Kakofengitis, Dimitris; Steuernagel, Ole (2018). "Los sistemas de mecánica cuántica anarmónica no presentan trayectorias en el espacio de fases". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 502 : 201–210. arXiv : 1611.03303 . Código Bib : 2018PhyA..502..201O. doi :10.1016/j.physa.2017.10.047. S2CID  53691877.
13. Kardar, Mehran (2007). Física Estadística de Partículas . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 59–60. ISBN 978-0-521-87342-0.
14. Eastman, Peter (2014-2015). "Evolución de las probabilidades del espacio de fases".
15. Para una derivación particularmente clara, consulte Tolman, RC (1979). Los principios de la mecánica estadística. Dover. págs. 48–51. ISBN 9780486638966.
16. "Espacio de fases y teorema de Liouville" . Consultado el 6 de enero de 2014 .Casi idéntica a la prueba en este artículo de Wikipedia. Asume (sin pruebas) la ecuación de continuidad n -dimensional.
17. "Preservación del volumen del espacio de fases y teorema de Liouville" . Consultado el 6 de enero de 2014 .Una prueba rigurosa basada en cómo se transforma el elemento de volumen jacobiano bajo la mecánica hamiltoniana.
18. "Física 127a: Apuntes de clase" (PDF) . Consultado el 6 de enero de 2014 .Utiliza el teorema de divergencia n -dimensional (sin prueba).
19. Schwartz, SJ, Daly, PW y Fazakerley, AN, 1998, Análisis de cinética del plasma de naves espaciales múltiples, en Métodos de análisis para datos de naves espaciales múltiples , editado por G. Paschmann y PW Daly, no. SR-001 en ISSI Scientific Reports, cap. 7, págs. 159-163, publicación de la ESA. Div., Noordwijk, Países Bajos.

Otras lecturas

• Murugeshan, R. Física moderna . S. Chand.
• Misner; Thorne; Rueda (1973). "Teoría cinética en el espacio-tiempo curvo". Gravitación . Hombre libre. págs. 583–590. ISBN 9781400889099.

enlaces externos

• "Funciones de distribución del espacio de fases y teorema de Liouville".