En matemáticas , un sistema conservador es un sistema dinámico que contrasta con un sistema disipativo . En términos generales, estos sistemas no tienen fricción ni ningún otro mecanismo para disipar la dinámica y, por tanto, su espacio de fases no se reduce con el tiempo. Precisamente hablando, son aquellos sistemas dinámicos que tienen un conjunto errante nulo : bajo la evolución del tiempo, ninguna porción del espacio de fase "se aleja", para nunca ser regresada o revisada. Alternativamente, los sistemas conservadores son aquellos a los que se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré . Un caso especial importante de sistemas conservadores son los sistemas dinámicos que preservan las medidas .
De manera informal, los sistemas dinámicos describen la evolución temporal del espacio de fases de algún sistema mecánico. Comúnmente, dicha evolución viene dada por algunas ecuaciones diferenciales o, muy a menudo, en términos de pasos de tiempo discretos. Sin embargo, en el presente caso, en lugar de centrarse en la evolución temporal de puntos discretos, se centra la atención en la evolución temporal de conjuntos de puntos. Un ejemplo de ello serían los anillos de Saturno : en lugar de seguir la evolución temporal de los granos de arena individuales en los anillos, uno está interesado en la evolución temporal de la densidad de los anillos: cómo la densidad se adelgaza, se extiende o se concentra. En escalas de tiempo cortas (cientos de miles de años), los anillos de Saturno son estables y, por tanto, son un ejemplo razonable de un sistema conservador y, más precisamente, de un sistema dinámico que preserva las medidas. Conserva la medida, ya que el número de partículas en los anillos no cambia y, según la mecánica orbital newtoniana, el espacio de fases es incompresible: puede estirarse o comprimirse, pero no encogerse (este es el contenido del teorema de Liouville ). .
Formalmente, un sistema dinámico medible es conservador si y sólo si no es singular y no tiene conjuntos errantes. [1]
Un sistema dinámico medible ( X , Σ, μ , τ ) es un espacio de Borel ( X , Σ ) equipado con una medida sigma finita μ y una transformación τ . Aquí, X es un conjunto y Σ es un álgebra sigma en X , de modo que el par ( X , Σ) es un espacio mensurable . μ es una medida sigma-finita en sigma-álgebra. El espacio X es el espacio de fases del sistema dinámico.
Se dice que una transformación (un mapa) es Σ-medible si y sólo si, para cada σ ∈ Σ, se tiene . La transformación es un único "paso de tiempo" en la evolución del sistema dinámico. Uno está interesado en transformaciones invertibles, de modo que el estado actual del sistema dinámico provenga de un estado pasado bien definido.
Una transformación medible se llama no singular cuando si y sólo si . [2] En este caso, el sistema ( X , Σ, μ , τ ) se denomina sistema dinámico no singular . La condición de ser no singular es necesaria para que un sistema dinámico sea adecuado para modelar sistemas (de no equilibrio). Es decir, si una determinada configuración del sistema es "imposible" (es decir ), entonces debe seguir siendo "imposible" (siempre fue imposible:) , pero en caso contrario, el sistema puede evolucionar arbitrariamente. Los sistemas no singulares preservan los conjuntos insignificantes, pero no están obligados a preservar ninguna otra clase de conjuntos. El sentido de la palabra singular aquí es el mismo que en la definición de medida singular en el sentido de que ninguna porción de es singular con respecto a y viceversa.
Un sistema dinámico no singular al que se le llama invariante o, más comúnmente, un sistema dinámico que preserva la medida .
Un sistema dinámico no singular es conservador si, para cada conjunto de medidas positivas y para cada , se tiene algún número entero tal que . Informalmente, esto puede interpretarse como que el estado actual del sistema revisa o se acerca arbitrariamente a un estado anterior; consulte la recurrencia de Poincaré para obtener más información.
Una transformación no singular es incompresible si, siempre que se tenga , entonces .
Para una transformación no singular , las siguientes afirmaciones son equivalentes: [1] [3] [4]
Lo anterior implica que, si y preserva la medida, entonces el sistema dinámico es conservador. Esta es efectivamente la declaración moderna del teorema de recurrencia de Poincaré . En el artículo sobre la descomposición de Hopf se ofrece un esbozo de una prueba de la equivalencia de estas cuatro propiedades .
Supongamos que y preserva la medida. Sea un conjunto errante de . Por definición de conjuntos errantes y desde conservas , contendría así una unión contablemente infinita de conjuntos disjuntos por pares que tienen la misma medida que . Como se supuso , se deduce que es un conjunto nulo, por lo que todos los conjuntos errantes deben ser conjuntos nulos.
Esta argumentación falla incluso en los ejemplos más simples si . De hecho, considere, por ejemplo , donde denota la medida de Lebesgue , y considere el operador de turno . Dado que la medida de Lebesgue es invariante en la traducción, preserva la medida. Sin embargo, no es conservador. De hecho, cada intervalo de longitud estrictamente menor que el contenido es errante. En particular, puede escribirse como una unión contable de conjuntos errantes.
La descomposición de Hopf establece que todo espacio de medidas con una transformación no singular se puede descomponer en un conjunto conservador invariante y un conjunto errante (disipativo). Un ejemplo informal común de descomposición de Hopf es la mezcla de dos líquidos (algunos libros de texto mencionan ron y coca cola): el estado inicial, en el que los dos líquidos aún no están mezclados, nunca puede volver a ocurrir después de la mezcla; es parte del conjunto disipativo. Asimismo cualquiera de los estados parcialmente mixtos. El resultado, tras la mezcla (una cuba libre , en el ejemplo canónico), es estable, y forma el conjunto conservador; mezclarlo más no lo altera. En este ejemplo, el conjunto conservador también es ergódico: si se añadiera una gota más de líquido (digamos, jugo de limón), no permanecería en un lugar, sino que se mezclaría en todas partes. Una advertencia sobre este ejemplo: aunque los sistemas de mezcla son ergódicos, ¡ los sistemas ergódicos en general no son sistemas de mezcla! La mezcla implica una interacción que puede no existir. El ejemplo canónico de un sistema ergódico que no se mezcla es el proceso de Bernoulli : es el conjunto de todas las posibles secuencias infinitas de lanzamientos de monedas (de manera equivalente, el conjunto de infinitas cadenas de ceros y unos); Cada lanzamiento de moneda individual es independiente de los demás.
El teorema de descomposición ergódica establece, aproximadamente, que todo sistema conservador se puede dividir en componentes, cada uno de los cuales es individualmente ergódico . Un ejemplo informal de esto sería una tina, con un divisor en el medio, con líquidos llenando cada compartimento. El líquido de un lado puede mezclarse claramente consigo mismo, al igual que el otro, pero, debido a la partición, los dos lados no pueden interactuar. Claramente, esto puede tratarse como dos sistemas independientes; La fuga entre los dos lados, de medida cero, puede ignorarse. El teorema de descomposición ergódica establece que todos los sistemas conservadores se pueden dividir en partes independientes y que esta división es única (hasta diferencias de medida cero). Así, por convención, el estudio de los sistemas conservadores se convierte en el estudio de sus componentes ergódicos.
Formalmente, todo sistema ergódico es conservador. Recuerde que un conjunto invariante σ ∈ Σ es aquel para el cual τ ( σ ) = σ . Para un sistema ergódico, los únicos conjuntos invariantes son aquellos con medida cero o con medida completa (son nulos o connulos ); que sean conservadores se deduce entonces trivialmente de esto.
Cuando τ es ergódico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: [1]
