Conjunto nulo

Conjunto medible cuya medida es cero

El triángulo de Sierpiński es un ejemplo de un conjunto nulo de puntos en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

En análisis matemático , un conjunto nulo es un conjunto medible de números reales de Lebesgue que tiene medida cero . Esto se puede caracterizar como un conjunto que puede cubrirse mediante una unión contable de intervalos de longitud total arbitrariamente pequeña.

La noción de conjunto nulo no debe confundirse con el conjunto vacío tal como se define en la teoría de conjuntos . Aunque el conjunto vacío tiene medida de Lebesgue cero, también hay conjuntos no vacíos que son nulos. Por ejemplo, cualquier conjunto contable no vacío de números reales tiene medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, es nulo.

De manera más general, en un espacio de medidas dado, un conjunto nulo es un conjunto tal que ${\displaystyle M=(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle S\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (S)=0.}$

Ejemplos

Todo subconjunto finito o contablemente infinito de los números reales es un conjunto nulo. Por ejemplo, el conjunto de números naturales y el conjunto de números racionales son ambos contablemente infinitos y, por lo tanto, son conjuntos nulos cuando se los considera subconjuntos de los números reales.

El conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo incontable. ^{[ Se necesita más explicación ]}

Definición

Supongamos que es un subconjunto de la recta real tal que para cada existe una secuencia de intervalos abiertos (donde el intervalo tiene longitud ) tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {length} (U_{n})=b_{n}-a_{n}}$

$${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ ~{\textrm {and}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {length} (U_{n})<\varepsilon \,,}$$

^[1] ${\displaystyle A}$

En terminología de análisis matemático , esta definición requiere que haya una secuencia de cubiertas abiertas para las cuales el límite de las longitudes de las cubiertas sea cero. ${\displaystyle A}$

Propiedades

Sea un espacio de medida . Tenemos: ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$(por definición de ). ${\displaystyle \mu }$
• Cualquier unión contable de conjuntos nulos es en sí misma un conjunto nulo (por subaditividad contable de ). ${\displaystyle \mu }$
• Cualquier subconjunto (medible) de un conjunto nulo es en sí mismo un conjunto nulo (por la monotonicidad de ). ${\displaystyle \mu }$

En conjunto, estos hechos muestran que los conjuntos nulos de forman un ideal 𝜎 del álgebra 𝜎 . En consecuencia, los conjuntos nulos pueden interpretarse como conjuntos insignificantes , lo que produce una noción teórica de medida de " casi en todas partes ". ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

medida de lebesgue

La medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud , área o volumen a subconjuntos del espacio euclidiano .

Un subconjunto de tiene una medida de Lebesgue nula y se considera un conjunto nulo si y sólo si: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Dado cualquier número positivo, existe una secuencia de intervalos tal que está contenida en la unión de y la longitud total de la unión es menor que ${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Esta condición se puede generalizar al uso de cubos en lugar de intervalos. De hecho, se puede hacer que la idea tenga sentido en cualquier variedad , incluso si no hay ninguna medida de Lebesgue allí. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo:

• Con respecto a todos los conjuntos singleton son nulos y, por lo tanto, todos los conjuntos contables son nulos. En particular, el conjunto de los números racionales es un conjunto nulo, a pesar de ser denso en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• La construcción estándar del conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo e incontable ; sin embargo, son posibles otras construcciones que asignan al conjunto de Cantor cualquier medida. ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$
• Todos los subconjuntos cuya dimensión es menor que tienen medida de Lebesgue nula en Por ejemplo, las líneas rectas o los círculos son conjuntos nulos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Lema de Sard : el conjunto de valores críticos de una función suave tiene medida cero.

Si es la medida de Lebesgue para y π es la medida de Lebesgue para , entonces la medida del producto. En términos de conjuntos nulos, la siguiente equivalencia se ha denominado teorema de Fubini : ^[2] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda \times \lambda =\pi .}$

• Para y ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},}$
  $${\displaystyle \pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.}$$

Usos

Los conjuntos nulos juegan un papel clave en la definición de la integral de Lebesgue : si las funciones y son iguales excepto en un conjunto nulo, entonces es integrable si y sólo si es, y sus integrales son iguales. Esto motiva la definición formal de espacios como conjuntos de clases de equivalencia de funciones que difieren sólo en conjuntos nulos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Una medida en la que todos los subconjuntos de conjuntos nulos son mensurables es completa . Cualquier medida no completa se puede completar para formar una medida completa afirmando que los subconjuntos de conjuntos nulos tienen medida cero. La medida de Lebesgue es un ejemplo de medida completa; en algunas construcciones, se define como la finalización de una medida Borel incompleta .

Un subconjunto del conjunto de Cantor que no es medible por Borel

La medida Borel no está completa. Una construcción simple es comenzar con el conjunto estándar de Cantor que es cerrado, por lo tanto, medible por Borel, y que tiene medida cero, y encontrar un subconjunto del cual no es medible por Borel. (Dado que la medida de Lebesgue está completa, esto es, por supuesto, Lebesgue mensurable). ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$

Primero, debemos saber que todo conjunto de medidas positivas contiene un subconjunto no mensurable. Sea la función de Cantor , una función continua que es localmente constante y aumenta monótonamente con y Obviamente, es contable, ya que contiene un punto por componente de Por lo tanto, tiene medida cero, también tiene medida uno. Necesitamos una función estrictamente monótona , así que considere que, dado que es estrictamente monótona y continua, es un homeomorfismo . Además, tiene medida uno. Sea no medible y sea inyectivo , lo tenemos y por lo tanto es un conjunto nulo. Sin embargo, si Borel fuera medible, entonces también sería medible Borel (aquí usamos el hecho de que la preimagen de un Borel establecida por una función continua es medible; es la preimagen de a través de la función continua ) Por lo tanto, es nula, pero conjunto medible no Borel. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K^{c},}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(1)=1.}$ ${\displaystyle f(K^{c})}$ ${\displaystyle K^{c}.}$ ${\displaystyle f(K^{c})}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)+x.}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(K)}$ ${\displaystyle E\subseteq g(K)}$ ${\displaystyle F=g^{-1}(E).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F\subseteq K,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(F)}$ ${\displaystyle g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h=g^{-1}.}$ ${\displaystyle F}$

pelo nulo

En un espacio de Banach separable, la operación de grupo mueve cualquier subconjunto a las traslaciones para cualquier Cuando hay una medida de probabilidad μ en el álgebra σ de los subconjuntos de Borel de tal que para todos entonces es un conjunto nulo de Haar . ^[3] ${\displaystyle (X,+),}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A+x}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \mu (A+x)=0,}$ ${\displaystyle A}$

El término se refiere a la invariancia nula de las medidas de traslación, asociándola con la invariancia completa encontrada con la medida de Haar .

Algunas propiedades algebraicas de los grupos topológicos se han relacionado con el tamaño de los subconjuntos y los conjuntos nulos de Haar. ^[4] Los conjuntos nulos de Haar se han utilizado en grupos polacos para mostrar que cuando A no es un conjunto exiguo, entonces contiene una vecindad abierta del elemento de identidad . ^[5] Esta propiedad lleva el nombre de Hugo Steinhaus ya que es la conclusión del teorema de Steinhaus . ${\displaystyle A^{-1}A}$

Ver también

• Función Cantor  : función continua que no es absolutamente continua
• Conjunto vacío  : conjunto matemático que no contiene elementos.
• Medida (matemáticas)  – Generalización de masa, longitud, área y volumen
• Nada  – Ausencia total de cualquier cosa; lo contrario de todo

Referencias

1. Francos, John (2009). Una introducción (concisa) a la integración de Lebesgue . La biblioteca de matemáticas para estudiantes. vol. 48. Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 28. doi :10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.
2. van Douwen, Eric K. (1989). "Teorema de Fubini para conjuntos nulos". Mensual Matemático Estadounidense . 96 (8): 718–21. doi :10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR  2324722. SEÑOR  1019152.
3. Matouskova, Eva (1997). "Conjuntos nulos de convexidad y Haar" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 125 (6): 1793–1799. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03776-3 . JSTOR  2162223.
4. Solecki, S. (2005). "Tamaños de subconjuntos de grupos y conjuntos nulos de Haar". Análisis Geométrico y Funcional . 15 : 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074 . doi :10.1007/s00039-005-0505-z. SEÑOR  2140632. S2CID  11511821. 
5. Dodos, Pandelis (2009). "La propiedad Steinhaus y los conjuntos nulos de Haar". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 41 (2): 377–44. arXiv : 1006.2675 . Código Bib : 2010arXiv1006.2675D. doi :10.1112/blms/bdp014. SEÑOR  4296513. S2CID  119174196.

Otras lecturas

• Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Medida, Integral y Probabilidad . Saltador. pag. 16.ISBN​ 978-1-85233-781-0.
• Jones, Frank (1993). Integración de Lebesgue en espacios euclidianos . Jones y Bartlett. pag. 107.ISBN​ 978-0-86720-203-8.
• Oxtoby, John C. (1971). Medida y Categoría . Springer-Verlag. pag. 3.ISBN​ 978-0-387-05349-3.