Estado del KMS

Tipo de estado en los sistemas térmicos

Estado de conservación de Kubo-Martin-Schwinger, tal como se muestra en un monumento situado frente al Centro de Nuevas Tecnologías de la Universidad de Varsovia

En la mecánica estadística de los sistemas mecánicos cuánticos y la teoría cuántica de campos , las propiedades de un sistema en equilibrio térmico pueden describirse mediante un objeto matemático llamado estado de Kubo-Martin-Schwinger ( KMS ) : un estado que satisface la condición KMS .

Ryogo Kubo introdujo la condición en 1957, ^[1] Paul C. Martin  [de] y Julian Schwinger la usaron en 1959 para definir las funciones termodinámicas de Green , ^[2] y Rudolf Haag , Marinus Winnink y Nico Hugenholtz usaron la condición en 1967 para definir estados de equilibrio y la llamaron condición KMS. ^[3]

Descripción general

El caso más sencillo de estudiar es el de un espacio de Hilbert de dimensión finita , en el que no se encuentran complicaciones como transiciones de fase o rupturas espontáneas de simetría . La matriz de densidad de un estado térmico está dada por

${\displaystyle \rho _{\beta ,\mu }={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z(\beta ,\mu )}}}$

donde H es el operador hamiltoniano y N es el operador de número de partículas (u operador de carga , si deseamos ser más generales) y

${\displaystyle Z(\beta ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}$

es la función de partición . Suponemos que N conmuta con H, o en otras palabras, que el número de partículas se conserva .

En la imagen de Heisenberg , la matriz de densidad no cambia con el tiempo, pero los operadores dependen del tiempo. En particular, traducir un operador A por τ hacia el futuro da el operador

${\displaystyle \alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{iH\tau }A\mathrm {e} ^{-iH\tau }}$.

Una combinación de traslación temporal con una "rotación" de simetría interna da como resultado una ecuación más general.

${\displaystyle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{i\left(H-\mu N\right)\tau }A\mathrm {e} ^{-i\left(H-\mu N\right)\tau }}$

Un poco de manipulación algebraica muestra que los valores esperados

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle _{\beta ,\mu }=\mathrm {Tr} \left[\rho \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right]=\mathrm {Tr} \left[\rho B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right]=\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle _{\beta ,\mu }}$

para dos operadores cualesquiera A y B y cualquier τ real (después de todo, trabajamos con espacios de Hilbert de dimensión finita). Usamos el hecho de que la matriz de densidad conmuta con cualquier función de ( H − μ N ) y que la traza es cíclica.

Como se mencionó anteriormente, con espacios de Hilbert de dimensión infinita, nos encontramos con muchos problemas como transiciones de fase, ruptura espontánea de simetría, operadores que no son de clase traza , funciones de partición divergentes, etc.

Las funciones complejas de z convergen en la franja compleja mientras que convergen en la franja compleja si hacemos ciertas suposiciones técnicas como que el espectro de H − μ N está acotado desde abajo y su densidad no aumenta exponencialmente (ver temperatura de Hagedorn ). Si las funciones convergen, entonces tienen que ser analíticas dentro de la franja sobre la que están definidas como sus derivadas, ${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$ ${\displaystyle -\beta <\Im {z}<0}$ ${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$ ${\displaystyle 0<\Im {z}<\beta }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle =i\left\langle \alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)B\right\rangle }$

y

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle =i\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)\right\rangle }$

existir.

Sin embargo, todavía podemos definir un estado KMS como cualquier estado que satisfaga

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle =\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

con y siendo funciones analíticas de z dentro de sus tiras de dominio. ${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle }$y son los valores de distribución límite de las funciones analíticas en cuestión. ${\displaystyle \left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

Esto proporciona el límite termodinámico correcto para un gran volumen y un gran número de partículas. Si hay una transición de fase o una ruptura espontánea de la simetría, el estado KMS no es único.

La matriz de densidad de un estado KMS está relacionada con transformaciones unitarias que involucran traslaciones de tiempo (o traslaciones de tiempo y una transformación de simetría interna para potenciales químicos distintos de cero) a través de la teoría de Tomita-Takesaki .

Véase también

• Estado de Gibbs

Referencias

1. Kubo, R. (1957), "Teoría estadístico-mecánica de procesos irreversibles. I. Teoría general y aplicaciones simples a problemas magnéticos y de conducción", Journal of the Physical Society of Japan , 12 (6): 570–586, Bibcode :1957JPSJ...12..570K, doi :10.1143/JPSJ.12.570
2. Martin, Paul C.; Schwinger, Julian (1959), "Teoría de sistemas de muchas partículas. I", Physical Review , 115 (6): 1342–1373, Bibcode :1959PhRv..115.1342M, doi :10.1103/PhysRev.115.1342
3. Haag, Rudolf ; Winnink, M.; Hugenholtz, NM (1967), "Sobre los estados de equilibrio en la mecánica estadística cuántica", Communications in Mathematical Physics , 5 (3): 215–236, Bibcode :1967CMaPh...5..215H, CiteSeerX 10.1.1.460.6413 , doi :10.1007/BF01646342, ISSN  0010-3616, MR  0219283, S2CID  120899390