descomposición de hopf

Tipo de método matemático

En matemáticas , la descomposición de Hopf , que lleva el nombre de Eberhard Hopf , da una descomposición canónica de un espacio de medida ( X , μ) con respecto a una transformación no singular invertible T : X → X , es decir, una transformación que con su inversa es mensurable y lleva conjuntos nulos a conjuntos nulos. Hasta conjuntos nulos, X se puede escribir como una unión disjunta C ∐ D de conjuntos T -invariantes donde la acción de T sobre C es conservadora y la acción de T sobre D es disipativa . Por lo tanto, si τ es el automorfismo de A = L ^∞ ( X ) inducido por T , existe una proyección τ-invariante única p en A tal que pA es conservadora y (I–p)A es disipativa.

Definiciones

• Conjuntos errantes y acciones disipativas. Un subconjunto mensurable W de X es errante si su función característica q = χ _W en A = L ^∞ ( X ) satisface q τ ⁿ ( q ) = 0 para todo n ; por lo tanto, hasta conjuntos nulos, las traslaciones T ⁿ ( W ) son disjuntas por pares. Una acción se llama disipativa si X = ∐ T ⁿ ( W ) ae para algún conjunto errante W .
• Acciones conservadoras. Si X no tiene subconjuntos errantes de medida positiva, se dice que la acción es conservadora .
• Acciones incompresibles. Se dice que una acción es incompresible si siempre que un subconjunto Z mensurable satisface T ( Z ) ⊆ Z entonces Z \ TZ tiene medida cero. Así, si q = χ _Z y τ( q ) ≤ q , entonces τ( q ) = q ae
• Acciones recurrentes. Se dice que una acción T es recurrente si q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ... ae para cualquier q = χ _Y .
• Acciones infinitamente recurrentes. Se dice que una acción T es infinitamente recurrente si q ≤ τ ^m ( q ) ∨ τ ^{m + 1} ( q ) ∨ τ ^{m +2} ( q ) ∨ ... ae para cualquier q = χ _Y y cualquier m ≥ 1.

Teorema de recurrencia

Teorema. Si T es una transformación invertible en un espacio de medidas ( X ,μ) que preserva conjuntos nulos, entonces las siguientes condiciones son equivalentes en T (o su inversa): ^[1]

1. T es conservador ;
2. T es recurrente;
3. T es infinitamente recurrente;
4. T es incompresible.

Dado que T es disipativo si y sólo si T ⁻¹ es disipativo, se deduce que T es conservador si y sólo si T ⁻¹ es conservador.

Si T es conservador, entonces r = q ∧ (τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ^⊥ = q ∧ τ(1 - q ) ∧ τ ² (1 - q ) ∧ τ ³ ( q ) ∧ ... está errante de modo que si q < 1, necesariamente r = 0. Por lo tanto q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅, de modo que T es recurrente.

Si T es recurrente, entonces q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ Ahora supongamos por inducción que q ≤ τ ^k ( q ) ∨ τ ^{k +1} ( q ) ∨ ⋅ ⋅⋅. Entonces τ ^k ( q ) ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤ . Por tanto q ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Entonces el resultado es válido para k +1 y por tanto T es infinitamente recurrente. A la inversa, por definición, una transformación infinitamente recurrente es recurrente.

Supongamos ahora que T es recurrente. Para demostrar que T es incompresible se debe demostrar que, si τ( q ) ≤ q , entonces τ( q ) ≤ q . De hecho, en este caso τ ⁿ ( q ) es una secuencia decreciente. Pero por recurrencia, q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ , entonces q ≤ τ( q ) y por tanto q = τ( q ).

Finalmente supongamos que T es incompresible. Si T no es conservador hay un p ≠ 0 en A con el τ ⁿ ( p ) disjunto (ortogonal). Pero entonces q = p ⊕ τ( p ) ⊕ τ ² ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ satisface τ( q ) < q con q − τ( q ) = p ≠ 0 , contradiciendo la incompresibilidad. Entonces T es conservador.

descomposición de hopf

Teorema. Si T es una transformación invertible en un espacio de medida ( X , μ ) que preserva conjuntos nulos e induce un automorfismo τ de A = L ^∞ ( X ), entonces hay un único τ -invariante p = χ _C en A tal que τ es conservador en pA = L ^∞ ( C ) y disipativo en (1 −  p ) A = L ^∞ ( D ) donde D =  X  \  C . ^[2]

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que μ es una medida de probabilidad. Si T es conservador no hay nada que demostrar, ya que en ese caso C = X . De lo contrario , hay un conjunto errante W para T. Sean r = χ _W y q = ⊕ τ ⁿ ( r ). Por tanto, q es τ -invariante y disipativo. Además μ ( q ) > 0. Claramente, una suma directa ortogonal de tales q ′s disipativos τ -invariantes también es τ -invariante y disipativo; y si q es τ -invariante y disipativo y r < q es τ -invariante, entonces r es disipativo. Por lo tanto, si q ₁ y q ₂ son τ -invariantes y disipativos, entonces q ₁ ∨ q ₂ es τ -invariante y disipativo, ya que q ₁ ∨ q ₂ = q ₁ ⊕ q ₂ (1 −  q ₁ ). Ahora sea M el supremo de todos μ ( q ) con q τ -invariante y disipativo. Tome q _n τ -invariante y disipativo tal que μ ( q _n ) aumente a M . Reemplazando q _n por q ₁ ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q _n , se puede suponer que q _n está aumentando hasta q digamos. Por continuidad q es τ -invariante y μ ( q ) = M . Por maximalidad p = I − q es conservador. La unicidad es clara ya que ningún τ -invariante r < p es disipativo y cada τ -invariante r < q es disipativo.

Corolario. La descomposición de Hopf para T coincide con la descomposición de Hopf para T ⁻¹ .

Dado que una transformación es disipativa en un espacio de medidas si y sólo si su inversa es disipativa, las partes disipativas de T y T ⁻¹ coinciden. De ahí que también lo hagan las partes conservadoras.

Corolario. La descomposición de Hopf para T coincide con la descomposición de Hopf para T ⁿ para n > 1.

Si W es un conjunto errante para T , entonces es un conjunto errante para T ⁿ . Entonces la parte disipativa de T está contenida en la parte disipativa de T ⁿ . Sea σ = τ ^norte . Para demostrar lo contrario, basta demostrar que si σ es disipativo, entonces τ es disipativo. En caso contrario, utilizando la descomposición de Hopf, se puede suponer que σ es disipativo y τ conservador. Supongamos que p es una proyección errante distinta de cero para σ. Entonces τ ^a ( p ) y τ ^b ( p ) son ortogonales para a y b diferentes en la misma clase de congruencia módulo n . Tome un conjunto de τ ^a ( p ) con producto distinto de cero y tamaño máximo. Así | S | ≤ norte . Por maximalidad, r vaga por τ, una contradicción.

Corolario. Si una transformación invertible T actúa ergódica pero no transitivamente sobre el espacio de medidas ( X , μ ) preservando conjuntos nulos y B es un subconjunto con μ ( B ) > 0, entonces el complemento de B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅ ⋅ tiene medida cero.

Tenga en cuenta que la ergodicidad y la no transitividad implican que la acción de T es conservadora y, por tanto, infinitamente recurrente. Pero entonces B ≤ T ^m ( B ) ∨ T ^{m + 1} ( B ) ∨ T ^{m +2} ( B ) ∨ ... para cualquier m ≥ 1. Aplicando T ^{− m} , se deduce que T ^{− m} ( B ) se encuentra en Y = B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ para cada m > 0. Por ergodicidad μ ( X \ Y ) = 0.

Descomposición de Hopf para un flujo no singular

Sea ( X , μ ) un espacio de medida y St un flujo no singular en X _que induce un grupo de automorfismos de 1 parámetro σ _t de A = L ^∞ ( X ). Se supondrá que la acción es fiel, de modo que σ _t es la identidad sólo para t = 0. Para cada S _t o equivalentemente σ _t con t ≠ 0 existe una descomposición de Hopf, por lo que un p _t fijado por σ _t tal que la acción es conservadora en p _t A y disipativa en (1− p _t ) A .

• Para s , t ≠ 0 las partes conservadora y disipativa de S _s y St _t coinciden si s / t es racional. ^[3]

Esto se desprende del hecho de que para cualquier transformación invertible no singular las partes conservadora y disipativa de T y T ⁿ coinciden para n ≠ 0.

• Si S ₁ es disipativo en A = L ^∞ ( X ), entonces existe una medida invariante λ en A y p en A tal que

1. p > σ _t ( p ) para todo t > 0
2. λ( p – σ _t ( p )) = t para todo t > 0
3. σ _t ( p ) 1 cuando t tiende a −∞ y σ _t ( p ) 0 cuando t tiende a +∞. ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle \downarrow }$

Sea T = S ₁ . Tome q como un conjunto errante para T de modo que ⊕ τ ⁿ ( q ) = 1. Al cambiar μ a una medida equivalente, se puede suponer que μ( q ) = 1, de modo que μ se restringe a una medida de probabilidad en qA . Transportando esta medida a τ ⁿ ( q ) A , se puede suponer además que μ es τ-invariante en A . Pero entonces λ = ∫¹
₀ μ ∘ σ _t dt es una medida σ-invariante equivalente en A que se puede reescalar si es necesario para que λ( q ) = 1. Las r en A que deambulan por Τ (o τ) con ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 se describen fácilmente: están dados por r = ⊕ τ ⁿ ( q _n ) donde q = ⊕ q _n es una descomposición de q . En particular λ( r ) =1. Además, si p satisface p > τ( p ) y τ ^{– n} ( p ) 1, entonces λ( p – τ( p )) = 1, aplicando el resultado a r = p – τ( p ). Los mismos argumentos muestran que, a la inversa, si r está errante para τ y λ( r ) = 1, entonces ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 . ${\displaystyle \uparrow }$

Sea Q = q ⊕ τ( q ) ⊕ τ ² ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅ de modo que τ ^k ( Q ) < Q para k ≥ 1. Entonces a = ∫^∞
₀σ _t ( q ) dt = Σ _{k ≥0} ∫¹
₀σ _{k + t} ( q ) dt = ∫¹
₀σ _t ( Q ) dt de modo que 0 ≤ a ≤ 1 en A . Por definición σ _s ( a ) ≤ a para s ≥ 0, ya que a − σ _s ( a ) = ∫^∞s
_​σ _t ( q ) dt . Las mismas fórmulas muestran que σ _s ( a ) tiende a 0 o 1 cuando s tiende a +∞ o −∞. Establezca p = χ _[ε,1] (a) para 0 < ε < 1. Entonces σ _s ( p ) = χ _[ε,1] (σ _s ( a )). Se deduce inmediatamente que σ _s ( p ) ≤ p para s ≥ 0. Además σ _s ( p ) 0 cuando s tiende a +∞ y σ _s ( p ) 1 cuando s tiende a − ∞. La primera fórmula límite se sigue porque 0 ≤ ε ⋅ σ _s ( p ) ≤ σ _s ( a ). Ahora se puede aplicar el mismo razonamiento a τ ⁻¹ , σ _{− t} , τ ⁻¹ ( q ) y 1 – ε en lugar de τ, σ _t , q y ε. Entonces se comprueba fácilmente que las cantidades correspondientes a a y p son 1 − a y 1 − p . En consecuencia σ _{− t} (1− p ) 0 cuando t tiende a ∞. Por tanto, σ _s ( p ) 1 cuando s tiende a − ∞. En particular p ≠ 0 , 1. ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle \uparrow }$

Entonces r = p − τ( p ) está errante para τ y ⊕ τ ^k ( r ) = 1. Por lo tanto λ( r ) = 1. Se deduce que λ( p −σ _s ( p ) ) = s para s = 1 / n y por lo tanto para todos los racionales s > 0. Dado que la familia σ _s ( p ) es continua y decreciente, por continuidad la misma fórmula también es válida para todos los reales s > 0. Por tanto, p satisface todas las condiciones afirmadas.

• Las partes conservadora y disipativa de _St para t ≠ 0 son independientes de t . ^[4]

_El resultado anterior muestra que si St es disipativo en X para t ≠ 0 _, entonces también lo es cada S _s para s ≠ 0. Por unicidad, St _y S s preservan las partes disipativas del otro. Por tanto, cada uno es disipativo en la parte disipativa del otro, por lo que las partes disipativas concuerdan. De ahí que los partidos conservadores estén de acuerdo.

Ver también

• flujo ergódico

Notas

1. Krengel 1985, págs. 16-17
2. Krengel 1985, págs. 17-18
3. Krengel 1985, pag. 18
4. Krengel 1968, pag. 183

Referencias

• Aaronson, Jon (1997), Introducción a la teoría ergódica infinita , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 50, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-0494-4
• Hopf, Eberhard (1937), Ergodentheorie (en alemán), Springer
• Krengel, Ulrich (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Math. Annalen (en alemán), 176 : 181-190
• Krengel, Ulrich (1985), Teoremas ergódicos , Estudios De Gruyter en Matemáticas, vol. 6, de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3