Coordenadas canónicas

Conjuntos de coordenadas en el espacio de fase que pueden usarse para describir un sistema físico.

En matemáticas y mecánica clásica , las coordenadas canónicas son conjuntos de coordenadas en el espacio de fase que pueden usarse para describir un sistema físico en cualquier momento dado. Las coordenadas canónicas se utilizan en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica . Un concepto estrechamente relacionado también aparece en la mecánica cuántica ; consulte el teorema de Stone-von Neumann y las relaciones de conmutación canónicas para obtener más detalles.

Así como la mecánica hamiltoniana se generaliza mediante geometría simpléctica y las transformaciones canónicas se generalizan mediante transformaciones de contacto , la definición de coordenadas canónicas del siglo XIX en la mecánica clásica puede generalizarse a una definición más abstracta de coordenadas del siglo XX en el paquete cotangente de una variedad (la definición matemática). noción de espacio de fase).

Definición en mecánica clásica.

En mecánica clásica , las coordenadas canónicas son coordenadas y en espacio de fases que se utilizan en el formalismo hamiltoniano . Las coordenadas canónicas satisfacen las relaciones fundamentales entre corchetes de Poisson : ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}}$

Un ejemplo típico de coordenadas canónicas son las coordenadas cartesianas habituales y las componentes del impulso . Por lo tanto, en general, las coordenadas se denominan "momentos conjugados". ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Las coordenadas canónicas se pueden obtener a partir de las coordenadas generalizadas del formalismo lagrangiano mediante una transformación de Legendre , o de otro conjunto de coordenadas canónicas mediante una transformación canónica .

Definición de paquetes cotangentes

Las coordenadas canónicas se definen como un conjunto especial de coordenadas en el paquete cotangente de una variedad . Por lo general, se escriben como un conjunto de o con las x o q que denotan las coordenadas de la variedad subyacente y las p que denotan el momento conjugado , que son formas 1 en el paquete cotangente en el punto q de la variedad. . ${\displaystyle \left(q^{i},p_{j}\right)}$ ${\displaystyle \left(x^{i},p_{j}\right)}$

Una definición común de coordenadas canónicas es cualquier conjunto de coordenadas en el paquete cotangente que permite escribir la forma única canónica en la forma

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

hasta un diferencial total. Un cambio de coordenadas que conserva esta forma es una transformación canónica ; éstos son un caso especial de simplectomorfismo , que son esencialmente un cambio de coordenadas en una variedad simpléctica .

En la siguiente exposición, asumimos que las variedades son variedades reales, de modo que los vectores cotangentes que actúan sobre vectores tangentes producen números reales.

Desarrollo formal

Dada una variedad Q , un campo vectorial X en Q (una sección del paquete tangente TQ ) puede considerarse como una función que actúa sobre el paquete cotangente , por la dualidad entre los espacios tangente y cotangente. Es decir, definir una función.

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

tal que

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

es válido para todos los vectores cotangentes p en . Aquí, hay un vector en el espacio tangente a la variedad Q en el punto q . La función se llama función de impulso correspondiente a X. ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle P_{X}}$

En coordenadas locales , el campo vectorial X en el punto q puede escribirse como

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

donde son el marco de coordenadas en TQ . El momento conjugado tiene entonces la expresión ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

donde se definen como las funciones de momento correspondientes a los vectores : ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

Juntos con los juntos forman un sistema de coordenadas en el paquete cotangente ; estas coordenadas se llaman coordenadas canónicas . ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

Coordenadas generalizadas

En la mecánica lagrangiana se utiliza un conjunto diferente de coordenadas, llamadas coordenadas generalizadas . Estos comúnmente se denominan posición generalizada y velocidad generalizada . Cuando se define un hamiltoniano en el paquete cotangente, entonces las coordenadas generalizadas se relacionan con las coordenadas canónicas mediante las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . ${\displaystyle \left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

Ver también

• Análisis discriminante lineal
• variedad simpléctica
• Campo vectorial simpléctico
• simplectomorfismo
• Momento cinético
• Complementariedad (física)
• Cuantización canónica
• Gravedad cuántica canónica

Referencias

• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Mecánica clásica (3ª ed.). San Francisco: Addison Wesley. págs. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-X Véase la sección 3.2 .