En física , la aproximación de envolvente de variación lenta [1] ( SVEA , a veces también llamada aproximación asimétrica de variación lenta o SVAA ) es la suposición de que la envolvente de un pulso de onda que viaja hacia adelante varía lentamente en el tiempo y el espacio en comparación con un período o una longitud de onda . Esto requiere que el espectro de la señal sea de banda estrecha , por lo que también se la conoce como aproximación de banda estrecha .
La aproximación de la envolvente de variación lenta se utiliza a menudo porque las ecuaciones resultantes son en muchos casos más fáciles de resolver que las ecuaciones originales, lo que reduce el orden de todas o algunas de las derivadas parciales de orden más alto . Pero es necesario justificar la validez de las suposiciones que se hacen.
Por ejemplo, consideremos la ecuación de onda electromagnética :
dónde
Si k 0 y ω 0 son el número de onda y la frecuencia angular de la onda portadora (característica) de la señal E ( r , t ) , la siguiente representación es útil:
donde denota la parte real de la cantidad entre paréntesis, y
En la aproximación de envolvente de variación lenta (SVEA) se supone que la amplitud compleja E 0 ( r , t ) solo varía lentamente con r y t . Esto implica inherentemente que E ( r , t ) representa ondas que se propagan hacia adelante, predominantemente en la dirección k 0 . Como resultado de la variación lenta de E 0 ( r , t ) , al tomar derivadas, las derivadas de orden más alto pueden ignorarse: [2]
En consecuencia, la ecuación de onda se aproxima en el SVEA como:
Es conveniente elegir k 0 y ω 0 de manera que satisfagan la relación de dispersión :
Esto da la siguiente aproximación a la ecuación de onda, como resultado de la aproximación de envolvente que varía lentamente:
Se trata de una ecuación diferencial parcial hiperbólica , como la ecuación de onda original, pero ahora de primer orden en lugar de segundo orden. Es válida para ondas coherentes que se propagan hacia adelante en direcciones cercanas a la dirección k 0 . Las escalas de espacio y tiempo en las que varía E 0 son generalmente mucho más largas que la longitud de onda espacial y el período temporal de la onda portadora. Por lo tanto, una solución numérica de la ecuación de la envolvente puede utilizar pasos de espacio y tiempo mucho mayores, lo que resulta en un esfuerzo computacional significativamente menor.
Supongamos que la propagación de las ondas se produce predominantemente en la dirección z y que k 0 se toma en esta dirección. El SVEA solo se aplica a las derivadas espaciales de segundo orden en la dirección z y en el tiempo. Si es el operador de Laplace en el plano x × y , el resultado es: [3]
Esta es una ecuación diferencial parcial parabólica . Esta ecuación tiene una validez mejorada en comparación con la ecuación diferencial parcial completa: representa ondas que se propagan en direcciones significativamente diferentes de la dirección z .
En el caso unidimensional, otra condición suficiente para la validez de SVEA es
donde es la longitud sobre la cual se amplifica el pulso de radiación, es el ancho del pulso y es la velocidad de grupo del sistema radiante. [4]
Estas condiciones son mucho menos restrictivas en el límite relativista donde es cercano a 1, como en un láser de electrones libres , en comparación con las condiciones habituales requeridas para la validez SVEA.