Función aérea

En las ciencias físicas, la función de Airy (o función de Airy de primer tipo ) $Ai(x)$ es una función especial que recibe su nombre del astrónomo británico George Biddell Airy (1801–1892). La función Ai( x ) y la función relacionada Bi( x ) son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial conocida como ecuación de Airy o ecuación de Stokes . ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,$

Como la solución de la ecuación diferencial lineal es oscilatoria para $k$ $< 0$ y exponencial para $k$ $> 0$ , las funciones de Airy son oscilatorias para $x$ $< 0$ y exponenciales para $x$ $> 0. De hecho, la ecuación de Airy es la$ ecuación diferencial lineal de segundo orden más simple con un punto de inflexión (un punto en el que el carácter de las soluciones cambia de oscilatorio a exponencial). ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-ky=0$

Definiciones

Para valores reales de $x$ , la función de Airy de primera especie se puede definir mediante la integral impropia de Riemann : que converge mediante la prueba de Dirichlet . Para cualquier número real $x$ existe un número real positivo $M$ tal que la función es creciente, ilimitada y convexa con derivada continua e ilimitada en el intervalo. La convergencia de la integral en este intervalo se puede demostrar mediante la prueba de Dirichlet después de la sustitución. $\operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,$ ${\textstyle {\tfrac {t^{3}}{3}}+xt}$ $[M,\infty ).$ ${\textstyle u={\tfrac {t^{3}}{3}}+xt.}$

$y = Ai(x)$ satisface la ecuación de Airy Esta ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes . Hasta la multiplicación escalar, $Ai($ $x$ $)$ es la solución sujeta a la condición $y$ $\to 0$ cuando $x$ $\to \infty$ . La opción estándar para la otra solución es la función de Airy de segundo tipo, denotada Bi( x ). Se define como la solución con la misma amplitud de oscilación que $Ai($ $x$ $)$ cuando $x$ $\to -\infty$ que difiere en fase en $π$ $/2$ : $y''-xy=0.$

$\operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.$

Propiedades

Los valores de $Ai(x)$ y $Bi(x)$ y sus derivadas en $x = 0$ están dados por Aquí, $Γ$ denota la función Gamma . De ello se deduce que el wronskiano de $Ai($ $x$ $)$ y $Bi($ $x$ $)$ es $1/$ $π$ . ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}},\\\operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{1/6}}{\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}}.\end{aligned}}$

Cuando $x$ es positivo, $Ai(x)$ es positivo, convexo y decrece exponencialmente hasta cero, mientras que $Bi(x)$ es positivo, convexo y aumenta exponencialmente. Cuando $x$ es negativo, $Ai(x)$ y $Bi(x)$ oscilan alrededor de cero con una frecuencia cada vez mayor y una amplitud cada vez menor. Esto se sustenta en las fórmulas asintóticas que se indican a continuación para las funciones de Airy.

Las funciones de Airy son ortogonales ^[1] en el sentido de que nuevamente utilizan una integral de Riemann impropia. $\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)$

Ceros reales de $Ai(x)$ y su derivada $Ai'(x)$

Ni $Ai(x)$ ni su derivada $Ai'(x)$ tienen ceros reales positivos. Los "primeros" ceros reales (es decir, los más cercanos a x=0) son: ^[2]

Los "primeros" ceros de $Ai(x)$ están en $x \approx -2,33811, -4,08795, -5,52056, -6,78671, ...$
Los "primeros" ceros de su derivada $Ai'(x)$ están en $x \approx -1.01879, -3.24820, -4.82010, -6.16331, ...$

Fórmulas asintóticas

Como se explica a continuación, las funciones de Airy se pueden extender al plano complejo, dando como resultado funciones completas . El comportamiento asintótico de las funciones de Airy cuando $| z |$ tiende a infinito con un valor constante de $arg (z)$ depende de $arg(z)$ : esto se denomina fenómeno de Stokes . Para $| arg(z) | < π$ tenemos la siguiente fórmula asintótica para $Ai(z)$ : ^[3]

$\operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {1}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$ o donde En particular, los primeros términos son ^[4] Hay uno similar para $Bi($ $z$ $)$ , pero solo aplicable cuando $|$ $arg($ $z$ $)$ $| <$ $π$ $/3$ : $\operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-\zeta }}{4\pi ^{3/2}\,z^{1/4}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)}{n!(-2\zeta )^{n}}}\right].$ $\zeta ={\tfrac {2}{3}}z^{3/2}.$ $\operatorname {Ai} (z)={\frac {e^{-\zeta }}{2\pi ^{1/2}z^{1/4}}}\left(1-{\frac {5}{72\zeta }}+{\frac {385}{10368\zeta ^{2}}}+O(\zeta ^{-3})\right)$

$\operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$ Una fórmula más precisa para $Ai(z)$ y una fórmula para $Bi(z)$ cuando $π /3 < | arg(z) | < π$ o, equivalentemente, para $Ai(- z)$ y $Bi(- z)$ cuando $| arg(z) | < 2 π /3$ pero no cero, son: ^[3]^[5] ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}\ {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right].\end{aligned}}$

Cuando $| arg(z) | = 0,$ estas son buenas aproximaciones, pero no son asintóticas porque la relación entre $Ai(- z)$ o $Bi(- z)$ y la aproximación anterior tiende a infinito siempre que el seno o el coseno tiende a cero. También hay disponibles expansiones asintóticas para estos límites. Estas se enumeran en (Abramowitz y Stegun, 1983) y (Olver, 1974).

También es posible obtener expresiones asintóticas para las derivadas $Ai'(z)$ y $Bi'(z)$ . De manera similar a lo anterior, cuando $| arg(z) | < π$ : ^[5]

$\operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{1/4}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$

Cuando $| arg(z) | < π /3$ tenemos: ^[5]

$\operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$

De manera similar, una expresión para $Ai'(- z)$ y $Bi'(- z)$ cuando $| arg(z) | < 2 π /3$ pero no cero, son ^[5]

${\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}\ {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\\end{aligned}}$

Argumentos complejos

Podemos extender la definición de la función de Airy al plano complejo mediante donde la integral se encuentra sobre una trayectoria C que comienza en el punto en el infinito con argumento $-$ $π$ $/3$ y termina en el punto en el infinito con argumento π/3. Alternativamente, podemos usar la ecuación diferencial $y$ $'' -$ $xy$ $= 0$ para extender $Ai($ $x$ $)$ y $Bi($ $x$ $)$ a funciones enteras en el plano complejo. $\operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,$

La fórmula asintótica para $Ai(x)$ sigue siendo válida en el plano complejo si se toma el valor principal de $x 2/3$ $y x$ está acotado a partir del eje real negativo. La fórmula para $Bi(x)$ es válida siempre que $x$ esté en el sector para algún δ positivo. Finalmente, las fórmulas para $Ai(-$ $x$ $)$ y $Bi(-$ $x$ $)$ son válidas si $x$ está en el sector $x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {\pi }{3}}-\delta$ $x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {2\pi }{3}}-\delta .$

Del comportamiento asintótico de las funciones de Airy se deduce que tanto $Ai(x)$ como $Bi(x)$ tienen una infinidad de ceros en el eje real negativo. La función $Ai(x)$ no tiene otros ceros en el plano complejo, mientras que la función $Bi(x)$ también tiene una infinidad de ceros en el sector $z\in \mathbb {C} :{\tfrac {\pi }{3}}<\left|\arg(z)\right|<{\tfrac {\pi }{2}}.$

Parcelas

Relación con otras funciones especiales

Para argumentos positivos, las funciones de Airy están relacionadas con las funciones de Bessel modificadas : Aquí, $I$ $\pm1/3$ y $K$ $1/3$ son soluciones de ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}$ $x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.$

La primera derivada de la función de Airy es $\operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{2/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right).$

Las funciones $K 1/3$ y $K 2/3$ se pueden representar en términos de integrales rápidamente convergentes ^[6] (ver también funciones de Bessel modificadas )

Para argumentos negativos, las funciones de Airy están relacionadas con las funciones de Bessel : Aquí, $J$ $\pm1/3$ son soluciones de ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left[J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right],\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}$ $x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\frac {1}{9}}\right)y=0.$

Las funciones de Scorer $Hi(x)$ y $-Gi(x)$ resuelven la ecuación $y'' - xy = 1/π$ . También pueden expresarse en términos de las funciones de Airy: ${\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t)\,dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}$

Transformada de Fourier

Usando la definición de la función de Airy Ai( x ), es sencillo mostrar que su transformada de Fourier está dada por Esto se puede obtener tomando la transformada de Fourier de la ecuación de Airy. Sea , entonces , que entonces tiene soluciones Solo hay una dimensión de soluciones porque la transformada de Fourier requiere $que y$ decaiga a cero lo suficientemente rápido, y $Bi$ crece hasta el infinito exponencialmente rápido, por lo que no se puede obtener mediante la transformada de Fourier. ${\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.$ ${\textstyle {\hat {y}}={\frac {1}{2\pi i}}\int ye^{-ikx}dx}$ $i{\hat {y}}'+k^{2}{\hat {y}}=0$ ${\hat {y}}=Ce^{ik^{3}/3}.$

Aplicaciones

Mecánica cuántica

La función de Airy es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula confinada dentro de un pozo de potencial triangular y para una partícula en un campo de fuerza constante unidimensional. Por la misma razón, también sirve para proporcionar aproximaciones semiclásicas uniformes cerca de un punto de inflexión en la aproximación WKB , cuando el potencial puede aproximarse localmente mediante una función lineal de posición. La solución del pozo de potencial triangular es directamente relevante para la comprensión de los electrones atrapados en heterojunciones de semiconductores .

Óptica

Un haz óptico asimétrico transversalmente, donde el perfil del campo eléctrico viene dado por la función de Airy, tiene la interesante propiedad de que su intensidad máxima se acelera hacia un lado en lugar de propagarse en línea recta como sucede en los haces simétricos. Esto se produce a expensas de que la cola de baja intensidad se extienda en la dirección opuesta, por lo que, por supuesto, se conserva el momento general del haz.

Cáusticos

La función de Airy subyace a la forma de la intensidad cerca de una cáustica direccional óptica , como la del arcoíris (llamada arcoíris supernumerario). Históricamente, este fue el problema matemático que llevó a Airy a desarrollar esta función especial. En 1841, William Hallowes Miller midió experimentalmente el análogo del arcoíris supernumerario haciendo brillar la luz a través de un cilindro delgado de agua y luego observando a través de un telescopio. Observó hasta 30 bandas. ^[7]

Probabilidad

A mediados de la década de 1980, se descubrió que la función de Airy estaba íntimamente relacionada con la distribución de Chernoff . ^[8]

La función Airy también aparece en la definición de la distribución de Tracy-Widom que describe la ley de los mayores valores propios en la matriz aleatoria . Debido a la íntima conexión de la teoría de matrices aleatorias con la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang , existen procesos centrales construidos en KPZ como el proceso de Airy . ^[9]

Historia

La función de Airy recibe su nombre del astrónomo y físico británico George Biddell Airy (1801-1892), quien la descubrió en sus primeros estudios sobre óptica en física (Airy 1838). La notación Ai( x ) fue introducida por Harold Jeffreys . Airy se había convertido en el astrónomo real británico en 1835 y ocupó ese puesto hasta su jubilación en 1881.

Véase también

Función zeta de Airy

Notas

^ David E. Aspnes, Revista física, 147 , 554 (1966)
^ "Airy y funciones relacionadas". dlmf.nist.gov . Consultado el 9 de octubre de 2022 .
^ ab Abramowitz y Stegun (1983, p. 448), Ecuaciones 10.4.59, 10.4.61
^ "DLMF: §9.7 Expansiones asintóticas ‣ Funciones de Airy ‣ Capítulo 9 Funciones de Airy y relacionadas". dlmf.nist.gov . Consultado el 11 de mayo de 2023 .
^ abcd Abramowitz y Stegun (1983, pág. 448), ecuaciones 10.4.60 y 10.4.64
^ M.Kh.Khokonov. Procesos en cascada de pérdida de energía por emisión de fotones duros // JETP, V.99, No.4, pp. 690-707 \ (2004).
^ Miller, William Hallowes. "Sobre los arcoíris espurios". Transactions of the Cambridge Philosophical Society 7 (1848): 277.
^ Groeneboom, Piet; Lalley, Steven; Temme, Nico (2015). "Distribución de Chernoff y ecuaciones diferenciales de tipo parabólico y de Airy". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 423 (2): 1804–1824. arXiv : 1305.6053 . doi : 10.1016/j.jmaa.2014.10.051 . S2CID 119173815.
^ Quastel, Jeremy; Remenik, Daniel (2014). "Procesos Airy y problemas variacionales". Temas de sistemas percolativos y desordenados . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 69. págs. 121–171. arXiv : 1301.0750 . doi :10.1007/978-1-4939-0339-9_5. ISBN . 978-1-4939-0338-2.S2CID118241762 .

Referencias

Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 10". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 448. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Airy (1838), "Sobre la intensidad de la luz en las proximidades de una cáustica", Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 6 , University Press: 379–402, Bibcode :1838TCaPS...6..379A
Frank William John Olver (1974). Asintótica y funciones especiales, Capítulo 11. Academic Press, Nueva York.
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.6.3. Funciones de Airy", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 11-08-2011 , consultado el 9-08-2011
Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), Funciones de Airy y aplicaciones a la física, Londres: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR 2114198, archivado desde el original el 13 de enero de 2010 , consultado el 14 de mayo de 2010

Enlaces externos

"Funciones de Airy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Funciones de Airy". MathWorld .
Páginas de funciones de Wolfram para funciones Ai y Bi. Incluye fórmulas, evaluador de funciones y calculadora de gráficos.
Olver, FWJ (2010), "Airy y funciones relacionadas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr. 2723248.