Método de Chester-Friedman-Ursell

Técnica para encontrar expansiones asintóticas

En el análisis asintótico , el método de Chester–Friedman–Ursell es una técnica para encontrar expansiones asintóticas para integrales de contorno . Fue desarrollado como una extensión del método de descenso más pronunciado para obtener expansiones asintóticas uniformes en el caso de puntos de silla coalescentes . ^[1] El método fue publicado en 1957 por Clive R. Chester, Bernard Friedman y Fritz Ursell . ^[2]

Método

Configuración

Estudiamos integrales de la forma

${\displaystyle I(\alpha ,N):=\int _{C}e^{-Nf(\alpha ,t)}g(\alpha ,t)dt,}$

¿Dónde está un contorno y ${\displaystyle C}$

• ${\displaystyle f,g}$son dos funciones analíticas en la variable compleja y continua en . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha }$
• ${\displaystyle N}$es un numero grande

Supongamos que tenemos dos puntos de silla de con multiplicidad que dependen de un parámetro . Si ahora existe un , de modo que ambos puntos de silla se fusionan en un nuevo punto de silla con multiplicidad , entonces el método de descenso más pronunciado ya no da expansiones asintóticas uniformes. ${\displaystyle t_{+},t_{-}}$ ${\displaystyle f(\alpha ,t)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle 2}$

Procedimiento

Supongamos que hay dos puntos de silla simples y de y supongamos que se fusionan en el punto . ${\displaystyle t_{-}:=t_{-}(\alpha )}$ ${\displaystyle t_{+}:=t_{+}(\alpha )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t_{0}:=t_{0}(\alpha _{0})}$

Comenzamos con la transformación cúbica de , esto significa que introducimos una nueva variable compleja y escribimos ${\displaystyle t\mapsto w}$ ${\displaystyle f(\alpha ,t)}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle f(\alpha ,t)={\tfrac {1}{3}}w^{3}-\eta (\alpha )w+A(\alpha ),}$

donde los coeficientes y se determinarán más adelante. ${\displaystyle \eta :=\eta (\alpha )}$ ${\displaystyle A:=A(\alpha )}$

Tenemos

${\displaystyle {\frac {dt}{dw}}={\frac {w^{2}-\eta }{f_{t}(\alpha ,t)}},}$

Por lo tanto, la transformación cúbica será analítica e inyectiva solo si y no son ni . Por lo tanto , y deben corresponder a los ceros de , es decir, con y . Esto da el siguiente sistema de ecuaciones ${\displaystyle dt/dw}$ ${\displaystyle dw/dt}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle t=t_{-}}$ ${\displaystyle t=t_{+}}$ ${\displaystyle w^{2}-\eta }$ ${\displaystyle w_{+}:=\eta ^{1/2}}$ ${\displaystyle w_{-}:=-\eta ^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}f(\alpha ,t_{-})=-{\frac {2}{3}}\eta ^{3/2}+A,\\f(\alpha ,t_{+})={\frac {2}{3}}\eta ^{3/2}+A,\end{cases}}}$

Tenemos que resolver para determinar y . Un teorema de Chester–Friedman–Ursell (ver abajo) dice ahora que la transformada cúbica es analítica e inyectiva en un entorno local alrededor del punto crítico . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\alpha _{0},t_{0})}$

Después de la transformación la integral se convierte en

${\displaystyle I(\alpha ,N)=e^{-NA}\int _{L}\exp \left(-N\left({\tfrac {1}{3}}w^{3}-\eta w\right)\right)h(\alpha ,w)dw,}$

¿Dónde está el nuevo contorno para y? ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle h(\alpha ,w):=g(\alpha ,t){\frac {dt}{dw}}=g(\alpha ,t){\frac {w^{2}-\eta }{f_{t}(\alpha ,t)}}.}$

La función es analítica en para y también en el punto de fusión para . Aquí termina el método y se puede ver la representación integral de la función compleja de Airy . ${\displaystyle h(\alpha ,w)}$ ${\displaystyle w_{+}(\alpha ),w_{-}(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \neq \alpha _{0}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$

Nota de Chester–Friedman–Ursell para escribir no como una serie de potencias únicas sino como ${\displaystyle h(\alpha ,w)}$

${\displaystyle h(\alpha ,w)=\sum \limits _{m}q_{m}(\alpha )(w^{2}-\eta )^{m}+\sum \limits _{m}p_{m}(\alpha )w(w^{2}-\eta )^{m}}$

para obtener realmente expansiones asintóticas.

Teorema de Chester-Friedman-Ursell

Sea y como se indica arriba. La transformación cúbica ${\displaystyle t_{+}:=t_{+}(\alpha ),t_{-}:=t_{-}(\alpha )}$ ${\displaystyle t_{0}:=t_{0}(\alpha _{0})}$

${\displaystyle f(t,\alpha )={\tfrac {1}{3}}w^{3}-\eta (\alpha )w+A(\alpha )}$

con los valores derivados anteriores para y , tal que corresponde a , tiene solo un punto de ramificación , de modo que para todo en un vecindario local de la transformación es analítica e inyectiva. ${\displaystyle \eta (\alpha )}$ ${\displaystyle A(\alpha )}$ ${\displaystyle t=t_{\pm }}$ ${\displaystyle u=\pm \eta ^{1/2}}$ ${\displaystyle w=w(\alpha ,t)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$

Literatura

• Chester, Clive R.; Friedman, Bernard; Ursell, Fritz (1957). "Una extensión del método de los descensos más pronunciados". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 53 (3). Cambridge University Press: 604. doi :10.1017/S0305004100032655.
• Olver, Frank WJ (1997). Asintótica y funciones especiales . AK Peters/CRC Press. pág. 351. doi :10.1201/9781439864548.
• Wong, Roderick (2001). Aproximaciones asintóticas de integrales . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. doi :10.1137/1.9780898719260.
• Temme, Nico M. (2014). Métodos asintóticos para integrales . World Scientific. doi :10.1142/9195.

Referencias

1. Olver, Frank WJ (1997). Asintótica y funciones especiales . AK Peters/CRC Press. pág. 351. doi :10.1201/9781439864548.
2. Chester, Clive R.; Friedman, Bernard; Ursell, Fritz (1957). "Una extensión del método de los descensos más pronunciados". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 53 (3). Cambridge University Press. doi :10.1017/S0305004100032655.