Mapa bilineal hipocontinuo

En matemáticas, una hipocontinuidad es una condición en los mapas bilineales de espacios vectoriales topológicos que es más débil que la continuidad pero más fuerte que la continuidad separada . Muchos mapas bilineales importantes que no son continuos son, de hecho, hipocontinuos.

Definición

Si , y son espacios vectoriales topológicos , entonces una función bilineal se denomina hipocontinua si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \beta :X\times Y\to Z}$

• para cada conjunto acotado el conjunto de aplicaciones lineales es un subconjunto equicontinuo de , y ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \{\beta (x,\cdot )\mid x\in A\}}$ ${\displaystyle Hom(Y,Z)}$
• Para cada conjunto acotado, el conjunto de aplicaciones lineales es un subconjunto equicontinuo de . ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle \{\beta (\cdot ,y)\mid y\in B\}}$ ${\displaystyle Hom(X,Z)}$

Condiciones suficientes

Teorema : ^[1] Sean X e Y espacios en forma de barril y sea Z un espacio localmente convexo . Entonces, cada función bilineal continua por separado de en Z es hipocontinua. ${\displaystyle X\times Y}$

Ejemplos

• Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff sobre el cuerpo , entonces la función bilineal definida por es hipocontinua. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X\times X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \left(x,x^{\prime }\right)\mapsto \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }\left(x\right)}$

Véase también

• Mapa bilineal  – Función de dos vectores lineal en cada argumento
• Sistema dual

Referencias

1. Trèves 2006, págs. 424–426.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas (1987), Espacios vectoriales topológicos , Elementos de matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13627-9
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .