Límite de distribuciones

En matemáticas, específicamente en la teoría de funciones generalizadas , el límite de una secuencia de distribuciones es la distribución a la que se aproxima la secuencia. La distancia, adecuadamente cuantificada, a la distribución límite puede hacerse arbitrariamente pequeña seleccionando una distribución lo suficientemente alejada a lo largo de la secuencia. Esta noción generaliza un límite de una secuencia de funciones ; un límite como distribución puede existir cuando no existe un límite de funciones.

La noción es parte del cálculo distribucional, una forma generalizada de cálculo que se basa en la noción de distribuciones, a diferencia del cálculo clásico, que se basa en el concepto más estrecho de funciones .

Definición

Dada una secuencia de distribuciones , su límite es la distribución dada por ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f[\varphi ]=\lim _{i\to \infty }f_{i}[\varphi ]}$

para cada función de prueba , siempre que exista distribución. La existencia del límite significa que (1) para cada , existe el límite de la secuencia de números y que (2) la función lineal definida por la fórmula anterior es continua con respecto a la topología en el espacio de funciones de prueba. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f_{i}[\varphi ]}$ ${\displaystyle f}$

De manera más general, como ocurre con las funciones, también se puede considerar un límite de una familia de distribuciones.

Ejemplos

Puede existir un límite distribucional aunque no exista el límite clásico. Consideremos, por ejemplo, la función:

${\displaystyle f_{t}(x)={t \over 1+t^{2}x^{2}}}$

Puesto que, por integración por partes,

${\displaystyle \langle f_{t},\phi \rangle =-\int _{-\infty }^{0}\arctan(tx)\phi '(x)\,dx-\int _{0}^{\infty }\arctan(tx)\phi '(x)\,dx,}$

tenemos: . Es decir, el límite de como es . ${\displaystyle \displaystyle \lim _{t\to \infty }\langle f_{t},\phi \rangle =\langle \pi \delta _{0},\phi \rangle }$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle \pi \delta _{0}}$

Sea , si existe, el límite distribucional de . La distribución se define de manera similar. ${\displaystyle f(x+i0)}$ ${\displaystyle f(x+iy)}$ ${\displaystyle y\to 0^{+}}$ ${\displaystyle f(x-i0)}$

Uno tiene

${\displaystyle (x-i0)^{-1}-(x+i0)^{-1}=2\pi i\delta _{0}.}$

Sea el rectángulo con orientación positiva, con un entero N . Por la fórmula del residuo , ${\displaystyle \Gamma _{N}=[-N-1/2,N+1/2]^{2}}$

${\displaystyle I_{N}{\overset {\mathrm {def} }{=}}\int _{\Gamma _{N}}{\widehat {\phi }}(z)\pi \cot(\pi z)\,dz={2\pi i}\sum _{-N}^{N}{\widehat {\phi }}(n).}$

Por otro lado,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-R}^{R}{\widehat {\phi }}(\xi )\pi \operatorname {cot} (\pi \xi )\,d&=\int _{-R}^{R}\int _{0}^{\infty }\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi +\int _{-R}^{R}\int _{-\infty }^{0}\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi \\&=\langle \phi ,\cot(\cdot -i0)-\cot(\cdot -i0)\rangle \end{aligned}}}$

Integral oscilatoria

Véase también

• Distribución (teoría de números)

Referencias

• Demailly, geometría analítica compleja y diferencial
• Hörmander , Lars, El análisis de operadores diferenciales parciales lineales , Springer-Verlag