espacio LF

En matemáticas , un espacio LF , también escrito ( LF )-espacio , es un espacio vectorial topológico (TVS) X que es un límite inductivo localmente convexo de un sistema inductivo contable de espacios de Fréchet . ^[1] Esto significa que X es un límite directo de un sistema directo en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y cada uno es un espacio de Fréchet. El nombre LF significa Límite de espacios Fréchet . ${\ Displaystyle (X_ {n}, i_ {nm})}$ ${\ Displaystyle (X_ {n}, i_ {nm})}$ $X_{n}$

Si cada uno de los mapas de enlace es una incorporación de TVS, entonces el espacio LF se denomina espacio LF estricto . Esto significa que la topología subespacial inducida en $X$ $n$ por $X$ $n$ $+1$ es idéntica a la topología original en $X$ $n$ . ^[1]^[2] Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término " espacio LF " como " espacio LF estricto ", por lo que al leer literatura matemática, se recomienda comprobar siempre cómo se define el espacio LF . ${\ Displaystyle i_ {nm}}$

Definición

Topología de límite inductivo/final/directo

En todo momento se supone que

${\mathcal {C}}$ es la categoría de espacios topológicos o alguna subcategoría de la categoría de espacios vectoriales topológicos (TVS);
- Si todos los objetos de la categoría tienen una estructura algebraica, entonces se supone que todos los morfismos son homomorfismos para esa estructura algebraica.
$I es un$ conjunto dirigido no vacío ;
X _• = ( X _i ) _{i ∈ I} es una familia de objetos endonde ( X _i , τ _X_{_i} ) es un espacio topológico para cada índice i ; ${\mathcal {C}}$
- Para evitar posibles confusiones, $τ X i$ no debe denominarse "topología inicial" de $X i$ ya que el término " topología inicial " ya tiene una definición bien conocida. La topología $τ Xi$ se llama topología original en $Xi o$ $la$ topología dada $de$ $Xi$ .
$X$ es un conjunto (y si los objetos también tienen estructuras algebraicas, entonces se supone automáticamente que $X$ tiene cualquier estructura algebraica necesaria); ${\mathcal {C}}$
$f • = (f i) i \in I$ es una familia de mapas donde para cada índice $i$ , el mapa tiene un prototipo $f i : (X i, τ X i) \to X$ . Si todos los objetos de la categoría tienen una estructura algebraica, entonces también se supone que estos mapas son homomorfismos para esa estructura algebraica.

Si existe, entonces la topología final en $X$ en ${\mathcal {C}}$ , también llamada colimit o topología inductiva en , y denotada por $τ$ $f$ $•$ o $τ$ $f$ , es la topología más fina en $X$ tal que ${\mathcal {C}}$

$(X, τ f)$ es un objeto en, y ${\mathcal {C}}$
para cada índice $i$ , el mapa $f i : (X i, τ X i) \to (X, τ f)$ es un morfismo continuo en . ${\mathcal {C}}$

En la categoría de espacios topológicos, la topología final siempre existe y además, un subconjunto $U \subseteq X$ es abierto (resp. cerrado) en $(X, τ f)$ si y sólo si $f i - 1 (U)$ es abierto (resp. cerrado) en $(X i, τ X i)$ para cada índice $i$ .

Sin embargo, la topología final puede no existir en la categoría de espacios topológicos de Hausdorff debido al requisito de que $(X, τ X f)$ pertenezca a la categoría original (es decir, pertenezca a la categoría de espacios topológicos de Hausdorff). ^[3]

Sistemas directos

Supongamos que $(I, \leq)$ es un conjunto dirigido y que para todos los índices $i \leq j$ hay morfismos (continuos) en ${\mathcal {C}}$

f yo j : X yo \to X j

tal que si $i = j$ entonces $f i j$ es el mapa de identidad en $X i$ y si $i \leq j \leq k$ entonces se satisface la siguiente condición de compatibilidad :

f yo k = f j k \circ f yo j

donde esto significa que la composición

X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{j}} X_{j}\xrightarrow {f_{j}^{k}} X_{k}\;\;\;\;{\text { es igual a }}\;\;\;\;X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{k}} X_{k}.

Si se cumplen las condiciones anteriores, entonces el triple formado por las colecciones de estos objetos, los morfismos y el conjunto de indexación

\left(X_{\bullet },\left\{f_{i}^{j}\;:\;i,j\in I\;{\text{ y }}\;i\leq j \derecho\},yo\derecho)

Se conoce como sistema directo a la categoría que está dirigida (o indexada ) por $I.$ Puesto que el conjunto de indexación $I$ es un conjunto dirigido , se dice que el sistema directo es dirigido . ^[4] Los mapas $f$ $i$ $j$ se denominan mapas de enlace , conexión o enlace del sistema. ${\mathcal {C}}$

Si se comprende el conjunto de indexación $I$ , a menudo se omite $I$ de la tupla anterior (es decir, no se escribe); Lo mismo ocurre con los mapas de vinculación si se comprenden. En consecuencia, a menudo se ve escrito " $X •$ es un sistema directo", donde " $X •$ " en realidad representa un triple con los mapas de enlace y el conjunto de indexación definidos en otra parte (por ejemplo, mapas de enlace canónicos, como inclusiones naturales) o bien los mapas de enlace son simplemente se supone que existen, pero no hay necesidad de asignarles símbolos (por ejemplo, los mapas de enlace no son necesarios para enunciar un teorema).

Límite directo de un sistema directo.

Para la construcción de un límite directo de un sistema inductivo general, consulte el artículo: límite directo .

Límites directos de los sistemas inyectivos.

Si cada uno de los mapas de enlace es inyectivo entonces el sistema se llama inyectivo . ^[4] $f_{i}^{j}$

Supuestos : En el caso en que el sistema directo es inyectivo, a menudo se supone sin pérdida de generalidad que para todos los índices

i \leq j

, cada

X i

es un subespacio vectorial de

X j

(en particular,

X i

se identifica con el rango de ) y que el mapa de vinculación es la inclusión natural

f_{i}^{j}

f_{i}^{j}

En Ji ​ : X i \to X j

(es decir , definido por $x \mapsto x$ ) de modo que la topología subespacial en $Xi$ inducida por $X j$ es más débil (es decir, más basta) que la topología original (es decir, dada) $en$ $Xi .$

En este caso, tome también

X := \cup yo \in yo Xi

​

Los mapas límite son entonces las inclusiones naturales

en i : X i \to X

. La topología de límite directo en

X

es la topología final inducida por estos mapas de inclusión.

Si los $X i$ tienen una estructura algebraica, digamos suma, por ejemplo, entonces para cualquier $x, y \in X$ , elegimos cualquier índice $i$ tal que $x, y \in X i$ y luego definimos su suma usando el operador de suma de $Xi$ . $$ Eso es,

x + y := x + i y

donde $+ i$ es el operador de suma de $X i$ . Esta suma es independiente del índice $i$ que se elija.

En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en el límite directo $X$ de un límite inductivo dirigido inyectivo de espacios localmente convexos se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo $U$ de $X$ es una vecindad de $0$ si y sólo si $U \cap Xi$ es una vecindad absolutamente convexa de $0$ en $Xi$ para $cada$ $índice$ $i$ . ^[4]

Límites directos en la parte superior

Los límites directos de los sistemas directos dirigidos siempre existen en las categorías de conjuntos, espacios topológicos, grupos y TVS localmente convexos . En la categoría de espacios topológicos, si cada mapa de enlace $fi j es$ /es una inyectiva (resp. sobreyectiva , biyectiva , homeomorfismo , incrustación topológica , mapa de cociente ), entonces también lo es cada $f i : X i \to X.$ ^[3]

Problema con límites directos

Los límites directos en las categorías de espacios topológicos, espacios vectoriales topológicos (TVS) y TVS localmente convexos de Hausdorff se "comportan mal". ^[4] Por ejemplo, el límite directo de una secuencia (es decir, indexada por los números naturales) de espacios nucleares de Fréchet localmente convexos puede no ser Hausdorff (en cuyo caso el límite directo no existe en la categoría de TVS de Hausdorff). Por esta razón, en el análisis funcional sólo se suelen estudiar determinados sistemas directos "que se comportan bien" . Estos sistemas incluyen espacios LF . ^[4] Sin embargo, los límites inductivos localmente convexos que no son de Hausdorff ocurren en cuestiones naturales de análisis. ^[4]

Límite inductivo estricto

Si cada uno de los mapas de enlace es una incorporación de TVS en subespacios vectoriales adecuados y si el sistema está dirigido por su ordenamiento natural, entonces el límite resultante se denomina límite directo estricto ( contable ) . En tal situación podemos suponer sin pérdida de generalidad que cada $X$ $i$ es un subespacio vectorial de $X$ $i$ $+1$ y que la topología del subespacio inducida en $X$ $i$ por $X$ $i$ $+1$ es idéntica a la topología original en $X$ $i$ . ^[1] $f_{i}^{j}$ $\mathbb {N}$

En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en un límite inductivo estricto de los espacios de Fréchet $X$ se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo $U$ es una vecindad de $0$ si y sólo si $U \cap X n$ es una vecindad absolutamente convexa de $0$ en $X n$ para cada $n$ .

Propiedades

Un límite inductivo en la categoría de TVS localmente convexos de una familia de espacios bornológicos (resp. en forma de cañón , cuasi-en forma de cañón ) tiene esta misma propiedad. ^[5]

espacios LF

Cada espacio LF es un exiguo subconjunto de sí mismo. ^[6] El límite inductivo estricto de una secuencia de espacios localmente convexos completos (como los espacios de Fréchet) es necesariamente completo. En particular, cada espacio LF está completo. ^[7] Cada espacio LF es arqueado y bornológico , lo que junto con la integridad implica que cada espacio LF es ultrabornológico . Un espacio LF que es el límite inductivo de una secuencia contable de espacios separables es separable. ^[8] Los espacios LF se distinguen y sus fuertes duales son bornológicos y en forma de barril (un resultado debido a Alexander Grothendieck ).

Si $X$ es el límite inductivo estricto de una secuencia creciente del espacio de Fréchet $X n,$ entonces un subconjunto $B$ de $X$ está acotado en $X$ si y sólo si existe algún $n$ tal que $B$ sea un subconjunto acotado de $X n$ . ^[7]

Un mapa lineal desde un espacio LF a otro TVS es continuo si y solo si es secuencialmente continuo . ^[9] Una aplicación lineal de un espacio LF $X$ a un espacio de Fréchet $Y$ es continua si y sólo si su gráfica es cerrada en $X \times Y.$ ^[10] Todo operador lineal acotado desde un espacio LF a otro TVS es continuo. ^[11]

Si $X$ es un espacio LF definido por una secuencia, entonces el espacio dual fuerte de $X$ es un espacio de Fréchet si y sólo si todos $los$ $Xi$ son normables . ^[12] Así, el espacio dual fuerte de un espacio LF es un espacio de Fréchet si y sólo si es un espacio LB. $\left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $X_{b}^{\prime }$

Ejemplos

Espacio de funciones fluidas y con soporte compacto

Un ejemplo típico de un espacio LF es, el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto. La estructura del espacio LF se obtiene considerando una secuencia de conjuntos compactos con y para todo i, es un subconjunto del interior de . Tal secuencia podrían ser las bolas de radio i centradas en el origen. El espacio de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto contenido en tiene una estructura espacial natural de Fréchet y hereda su estructura espacial LF como se describe anteriormente. La topología del espacio LF no depende de la secuencia particular de conjuntos compactos . $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{i}\subset \ldots \subset \mathbb {R} ^{n}$ $\bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}$ $K_{i}$ $K_{i+1}$ $C_{c}^{\infty }(K_{i})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K_{i}$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $K_{i}$

Con esta estructura de espacio LF , se conoce como espacio de funciones de prueba, de fundamental importancia en la teoría de distribuciones . $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$

Límite directo de espacios de dimensión finita.

Supongamos que para cada entero positivo $n$ , $\mathbb {R}$ y para $m < n$ , considere X _m como un subespacio vectorial de $X n$ a través de la incrustación canónica $X m \to X n$ definida por $x := (x 1, ... , x metro) \mapsto (x 1, ..., x metro, 0, ..., 0)$ . Denota el espacio LF resultante por $X$ . Dado que cualquier topología TVS en $X$ hace continuas las inclusiones de los X _m en $X$ , este último espacio tiene el máximo entre todas las topologías TVS en un espacio vectorial con dimensión Hamel contable . Es una topología LC, asociada con la familia de todas las seminormas en $X.$ Además, la topología del límite inductivo TVS de $X$ coincide con el límite inductivo topológico; es decir, el límite directo de los espacios de dimensión finita $X$ $n$ en la categoría TOP y en la categoría TVS coinciden. El espacio dual continuo de $X$ es igual al espacio dual algebraico de $X$ , es decir, el espacio de todas las secuencias con valores reales y la topología débil es igual a la topología fuerte (es decir ). ^[13] . De hecho, es la topología LC única en cuyo espacio dual topológico está X. $\mathbb {R}$ $X^{\prime }$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $X^{\prime }$ $X^{\prime }$ $X_{\sigma }^{\prime }=X_{b}^{\prime }$ $X^{\prime }$

Ver también

Citas

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Bibliografía

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