Espacio vectorial topológico de Schwartz

En análisis funcional y áreas afines de las matemáticas , los espacios de Schwartz son espacios vectoriales topológicos (TVS) cuyas vecindades del origen tienen una propiedad similar a la definición de subconjuntos totalmente acotados . Estos espacios fueron introducidos por Alexander Grothendieck .

Definición

Un espacio de Hausdorff localmente convexo $X$ con dual continuo , $X$ se denomina espacio de Schwartz si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^[1] $X^{\prime }$

Para cada vecindad equilibrada convexa cerrada $U$ del origen en $X$ , existe una vecindad $V$ de $0$ en $X$ tal que para todo $r$ $> 0$ real , $V$ puede cubrirse mediante un número finito de traslatos de $rU$ .
Todo subconjunto acotado de $X$ es totalmente acotado y para cada vecindad equilibrada convexa cerrada $U$ del origen en $X$ , existe una vecindad $V$ de $0$ en $X$ tal que para todo real $r$ $> 0$ , existe un subconjunto acotado $B$ de $X$ tal que $V$ $\subseteq$ $B$ $+$ $rU$ .

Propiedades

Todo espacio de Schwartz cuasi completo es un espacio semi-Montel . Todo espacio de Fréchet Schwartz es un espacio de Montel . ^[2]

El fuerte espacio dual de un espacio de Schwartz completo es un espacio ultrabornológico .

Ejemplos y condiciones suficientes

El subespacio vectorial de los espacios de Schwartz son espacios de Schwartz.
El cociente de un espacio de Schwartz por un subespacio vectorial cerrado es nuevamente un espacio de Schwartz.
El producto cartesiano de cualquier familia de espacios de Schwartz es nuevamente un espacio de Schwartz.
La topología débil inducida en un espacio vectorial por una familia de aplicaciones lineales valoradas en espacios de Schwartz es un espacio de Schwartz si la topología débil es Hausdorff.
El límite inductivo estricto localmente convexo de cualquier secuencia contable de espacios de Schwartz (con cada espacio TVS incrustado en el siguiente espacio) es nuevamente un espacio de Schwartz.

Contraejemplos

Todo espacio normado de dimensión infinita no es un espacio de Schwartz. ^[2]

Existen espacios de Fréchet que no son espacios de Schwartz y existen espacios de Schwartz que no son espacios de Montel . ^[2]

Ver también

Espacio normado auxiliar
Espacio Montel : espacio en forma de cañón donde los subconjuntos cerrados y acotados son compactos

Referencias

^ Khaleelulla 1982, pag. 32.
^ abc Khaleelulla 1982, págs. 32–63.

Bibliografía

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