Espacio metrizable

Espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio metrizable es un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico . Es decir, se dice que un espacio topológico es metrizable si existe una métrica tal que la topología inducida por es ^{[1] [2]} Los teoremas de metrización son teoremas que dan condiciones suficientes para que un espacio topológico sea metrizable. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \tau .}$

Propiedades

Los espacios metrizables heredan todas las propiedades topológicas de los espacios métricos. Por ejemplo, son espacios paracompactos de Hausdorff (y, por lo tanto, normales y de Tichonoff ) y de primer orden contable . Sin embargo, no se puede decir que algunas propiedades de la métrica, como la completitud , se hereden. Esto también es cierto para otras estructuras vinculadas a la métrica. Un espacio uniforme metrizable , por ejemplo, puede tener un conjunto diferente de funciones de contracción que un espacio métrico al que es homeomorfo.

Teoremas de metrización

Uno de los primeros teoremas de metrización ampliamente reconocidos fueTeorema de metrización de Urysohn . Este afirma que todoespacio regularde segundo orden contable es metrizable. Así, por ejemplo, todavariedades metrizable. (Nota histórica: La forma del teorema que se muestra aquí fue de hecho demostrada porTikhonoven 1926. Lo queUrysohn había demostrado, en un artículo publicado póstumamente en 1925, era que todo espacio normal de Hausdorff de segundo orden contablees metrizable.) El recíproco no se cumple: existen espacios métricos que no son de segundo orden contable, por ejemplo, un conjunto incontable dotado de la métrica discreta.^[3]Elteorema de metrización de Nagata-Smirnov, descrito a continuación, proporciona un teorema más específico en el que el recíproco sí se cumple.

Se desprenden otros teoremas de metrización como corolarios simples del teorema de Urysohn. Por ejemplo, un espacio de Hausdorff compacto es metrizable si y solo si es numerable en segundo lugar.

El teorema de Urysohn puede reformularse como sigue: Un espacio topológico es separable y metrizable si y solo si es regular, Hausdorff y segundo-contable. El teorema de metrización de Nagata-Smirnov extiende esto al caso no separable. Afirma que un espacio topológico es metrizable si y solo si es regular, Hausdorff y tiene una base σ-localmente finita. Una base σ-localmente finita es una base que es una unión de un número contable de colecciones localmente finitas de conjuntos abiertos. Para un teorema estrechamente relacionado, véase el teorema de metrización de Bing .

Los espacios metrizables separables también pueden caracterizarse como aquellos espacios que son homeomorfos a un subespacio del cubo de Hilbert , es decir, el producto infinito contable del intervalo unitario (con su topología de subespacio natural a partir de los reales) consigo mismo, dotado de la topología de producto . ${\displaystyle \lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },}$

Se dice que un espacio es metrizable localmente si cada punto tiene un entorno metrizable . Smirnov demostró que un espacio metrizable localmente es metrizable si y solo si es de Hausdorff y paracompacto . En particular, una variedad es metrizable si y solo si es paracompacta.

Ejemplos

El grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert separable dotado de la topología de operadores fuerte es metrizable (véase la Proposición II.1 en ^[4] ). ${\displaystyle \mathbb {U} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Ejemplos de espacios no metrizables

Los espacios no normales no pueden ser metrizables; algunos ejemplos importantes incluyen

• la topología de Zariski sobre una variedad algebraica o sobre el espectro de un anillo , utilizada en geometría algebraica ,
• el espacio vectorial topológico de todas las funciones desde la recta real hasta sí misma, con la topología de convergencia puntual . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La línea real con la topología de límite inferior no es metrizable. La función de distancia usual no es una métrica en este espacio porque la topología que determina es la topología usual, no la topología de límite inferior. Este espacio es Hausdorff, paracompacto y primer numerable.

Localmente metrizable pero no metrizable

La línea con dos orígenes , también llamada línea de ojos saltones , es una variedad no hausdorffiana (y, por lo tanto, no puede ser metrizable). Como todas las variedades, es localmente homeomorfa al espacio euclidiano y, por lo tanto, localmente metrizable (pero no metrizable) y localmente hausdorffiana (pero no Hausdorffiana ). También es un espacio localmente regular T 1 pero no un espacio semirregular .

La línea larga es metrizable localmente pero no metrizable; en cierto sentido es "demasiado larga".

Véase también

• Métrica apolínea  – Matemático y poeta rumano
• Teorema de metrización de Bing  : caracteriza cuándo un espacio topológico es metrizable
• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
• Espacio de Moore (topología)  : espacio regular de Hausdorff desarrollablePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Teorema de metrización de Nagata-Smirnov  : caracteriza cuándo un espacio topológico es metrizable
• Uniformizabilidad  – Espacio topológico cuya topología es generada por una estructura uniforme Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento, la propiedad de un espacio topológico de ser homeomorfo a un espacio uniforme , o equivalentemente la topología siendo definida por una familia de pseudometrías

Referencias

1. Simon, Jonathan. "Teoremas de metrización" (PDF) . Consultado el 16 de junio de 2016 .
2. Munkres, James (1999). Topología (segunda edición). Pearson . pág. 119.
3. Mitya Boyarchenko (otoño de 2010). "Matemáticas 395 - Análisis de honores I: 10. Algunos contraejemplos en topología" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 25 de septiembre de 2011. Consultado el 8 de agosto de 2012 .
4. Neeb, Karl-Hermann, Sobre un teorema de S. Banach. J. Lie Theory 7 (1997), núm. 2, 293–300.

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