Espacio LF

En matemáticas , un LF- espacio , también escrito ( LF )-espacio , es un espacio vectorial topológico (TVS) X que es un límite inductivo localmente convexo de un sistema inductivo contable de espacios de Fréchet . ^[1] Esto significa que X es un límite directo de un sistema directo en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y cada uno es un espacio de Fréchet. El nombre LF significa Límite de espacios de Fréchet . $(X_{n},i_{nm})$ $(X_{n},i_{nm})$ $Estilo de visualización X_{n}$

Si cada uno de los mapas de enlace es una incrustación de TVS, entonces el espacio LF se denomina espacio LF estricto . Esto significa que la topología del subespacio inducida en $X$ $n$ por $X$ $n$ $+1$ es idéntica a la topología original en $X$ $n$ . ^[1]^[2] Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término " espacio LF " como " espacio LF estricto ", por lo que al leer literatura matemática, se recomienda verificar siempre cómo se define el espacio LF . $i_{nm}$

Definición

Topología límite inductiva/final/directa

En todo momento se asume que

${\mathcal {C}}$ es la categoría de espacios topológicos o alguna subcategoría de la categoría de espacios vectoriales topológicos (TVS);
- Si todos los objetos de la categoría tienen una estructura algebraica, entonces se supone que todos los morfismos son homomorfismos para esa estructura algebraica.
$I es un$ conjunto dirigido no vacío ;
X _• = ( X _i ) _{i ∈ I} es una familia de objetos endonde ( X _i , τ _X_{_i} ) es un espacio topológico para cada índice i ; ${\mathcal {C}}$
- Para evitar posibles confusiones, no se debería llamar a $τ X i$ "topología inicial" de $X$ $i$ , ya que el término " topología inicial " ya tiene una definición bien conocida. La topología $τ$ $X$ $i$ se denomina topología original de $X$ $i$ o topología dada de $X$ $i$ .
$X$ es un conjunto (y si los objetos también tienen estructuras algebraicas, entonces se supone automáticamente que $X$ tiene cualquier estructura algebraica que se necesite); ${\mathcal {C}}$
$f • = (f i) i \in I$ es una familia de mapas donde para cada índice $i$ , el mapa tiene prototipo $f i : (X i, τ X i) \to X$ . Si todos los objetos en la categoría tienen una estructura algebraica, entonces también se supone que estos mapas son homomorfismos para esa estructura algebraica.

Si existe, entonces la topología final en $X$ en ${\mathcal {C}}$ , también llamada topología colimite o inductiva en , y denotada por $τ$ $f$ $•$ o $τ$ $f$ , es la topología más fina en $X$ tal que ${\mathcal {C}}$

$(X, τ f)$ es un objeto en, y ${\mathcal {C}}$
para cada índice $i$ , la función $f i : (X i, τ X i) \to (X, τ f)$ es un morfismo continuo en . ${\mathcal {C}}$

En la categoría de espacios topológicos, la topología final siempre existe y además, un subconjunto $U \subseteq X$ es abierto (resp. cerrado) en $(X, τ f)$ si y sólo si $f i - 1 (U)$ es abierto (resp. cerrado) en $(X i, τ X i)$ para cada índice $i$ .

Sin embargo, la topología final puede no existir en la categoría de espacios topológicos de Hausdorff debido al requisito de que $(X, τ X f)$ pertenezcan a la categoría original (es decir, pertenezcan a la categoría de espacios topológicos de Hausdorff). ^[3]

Sistemas directos

Supóngase que $(I, \leq)$ es un conjunto dirigido y que para todos los índices $i \leq j$ hay morfismos (continuos) en ${\mathcal {C}}$

f i j : Xi \to X j ​

de modo que si $i = j$ entonces $f i j$ es la función identidad en $X i$ y si $i \leq j \leq k$ entonces se satisface la siguiente condición de compatibilidad :

fi k = f j k \circ fi j

​

​

donde esto significa que la composición

X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{j}} X_{j}\xrightarrow {f_{j}^{k}} X_{k}\;\;\;\;{\text{ es igual a }}\;\;\;\;X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{k}} X_{k}.

Si se cumplen las condiciones anteriores, entonces el triple formado por las colecciones de estos objetos, morfismos y el conjunto de indexación

\left(X_{\bullet },\left\{f_{i}^{j}\;:\;i,j\en I\;{\text{ y }}\;i\leq j\right\},I\right)

se conoce como un sistema directo en la categoría que está dirigida (o indexada ) por $I.$ Dado que el conjunto de indexación $I$ es un conjunto dirigido , se dice que el sistema directo está dirigido . ^[4] Los mapas $f$ $i$ $j$ se denominan mapas de enlace , conexión o enlace del sistema. ${\mathcal {C}}$

Si se entiende el conjunto de indexación $I , a menudo$ $se$ omite I de la tupla anterior (es decir, no se escribe); lo mismo es cierto para las funciones de enlace si se entienden. En consecuencia, a menudo se ve escrito " $X •$ es un sistema directo" donde " $X •$ " en realidad representa una terna con las funciones de enlace y el conjunto de indexación definidas en otra parte (por ejemplo, funciones de enlace canónicas, como inclusiones naturales) o bien simplemente se supone que existen las funciones de enlace pero no hay necesidad de asignarles símbolos (por ejemplo, las funciones de enlace no son necesarias para enunciar un teorema).

Límite directo de un sistema directo

Para la construcción de un límite directo de un sistema inductivo general, consulte el artículo: límite directo .

Límites directos de los sistemas inyectivos

Si cada uno de los mapas de enlace es inyectivo , entonces el sistema se llama inyectivo . ^[4] $estilo de visualización f_{i}^{j}}$

Supuestos : En el caso en que el sistema directo sea inyectivo, a menudo se supone sin pérdida de generalidad que para todos los índices

i \leq j

, cada

X i

es un subespacio vectorial de

X j

(en particular,

X i

se identifica con el rango de ) y que el mapa de enlaces es la inclusión natural

estilo de visualización f_{i}^{j}}

estilo de visualización f_{i}^{j}}

En yo yo : Xi \to Xj ​ ​

(es decir, definida por $x \mapsto x$ ) de modo que la topología del subespacio en $X i$ inducida por $X j$ es más débil (es decir, más burda) que la topología original (es decir, dada) en $X i$ .

En este caso, también tome

X := \cup yo \in yo X yo

Los mapas límite son entonces las inclusiones naturales

In i : X i \to X

. La topología límite directa en

X

es la topología final inducida por estos mapas de inclusión.

Si las $X i$ tienen una estructura algebraica, digamos suma por ejemplo, entonces para cualquier $x, y \in X$ , elegimos cualquier índice $i$ tal que $x, y \in X i$ y luego definimos su suma usando el operador de suma de $X i$ . Es decir,

x + y := x + i y

donde $+ i$ es el operador de adición de $X i$ . Esta suma es independiente del índice $i$ que se elija.

En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en el límite directo $X$ de un límite inductivo dirigido inyectivo de espacios localmente convexos se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo $U$ de $X$ es un vecindario de $0$ si y solo si $U \cap X i$ es un vecindario absolutamente convexo de $0$ en $X i$ para cada índice $i$ . ^[4]

Límites directos en Top

Los límites directos de sistemas directos dirigidos siempre existen en las categorías de conjuntos, espacios topológicos, grupos y sistemas de transmisión televisiva localmente convexos . En la categoría de espacios topológicos, si cada función de enlace $f i j$ es/es inyectiva (resp. sobreyectiva , biyectiva , homeomorfismo , incrustación topológica , función cociente ), entonces también lo es cada $f i : X i \to X$ . ^[3]

Problema con los límites directos

Los límites directos en las categorías de espacios topológicos, espacios vectoriales topológicos (SVT) y SVT localmente convexos de Hausdorff son "mal comportados". ^[4] Por ejemplo, el límite directo de una secuencia (es decir, indexada por los números naturales) de espacios de Fréchet nucleares localmente convexos puede no ser Hausdorff (en cuyo caso el límite directo no existe en la categoría de SVT de Hausdorff). Por esta razón, solo ciertos sistemas directos "bien comportados" se estudian habitualmente en análisis funcional . Dichos sistemas incluyen los espacios LF . ^[4] Sin embargo, los límites inductivos localmente convexos no Hausdorff sí ocurren en cuestiones naturales de análisis. ^[4]

Límite inductivo estricto

Si cada uno de los mapas de enlace es una incrustación de TVS en subespacios vectoriales apropiados y si el sistema está dirigido por con su orden natural, entonces el límite resultante se llama límite directo estricto ( contable ) . En tal situación podemos suponer sin pérdida de generalidad que cada $X$ $i$ es un subespacio vectorial de $X$ $i$ $+1$ y que la topología del subespacio inducida en $X$ $i$ por $X$ $i$ $+1$ es idéntica a la topología original en $X$ $i$ . ^[1] $estilo de visualización f_{i}^{j}}$ $\mathbb {N}$

En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en un límite inductivo estricto de espacios de Fréchet $X$ se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo $U$ es un vecindario de $0$ si y solo si $U \cap X n$ es un vecindario absolutamente convexo de $0$ en $X n$ para cada $n$ .

Propiedades

Un límite inductivo en la categoría de TVS localmente convexos de una familia de espacios bornológicos (resp. barreled , quasi-barrelled ) tiene esta misma propiedad. ^[5]

Espacios LF

Cada espacio LF es un subconjunto magro de sí mismo. ^[6] El límite inductivo estricto de una secuencia de espacios localmente convexos completos (como los espacios de Fréchet) es necesariamente completo. En particular, cada espacio LF es completo. ^[7] Cada espacio LF es barrelizado y bornológico , lo que junto con la completitud implica que cada espacio LF es ultrabornológico . Un espacio LF que es el límite inductivo de una secuencia contable de espacios separables es separable. ^[8] Los espacios LF se distinguen y sus duales fuertes son bornológicos y barrelizados (un resultado debido a Alexander Grothendieck ).

Si $X$ es el límite inductivo estricto de una secuencia creciente del espacio de Fréchet $X n,$ entonces un subconjunto $B$ de $X$ está acotado en $X$ si y sólo si existe algún $n$ tal que $B$ es un subconjunto acotado de $X n$ . ^[7]

Una función lineal de un espacio LF en otro TVS es continua si y solo si es secuencialmente continua . ^[9] Una función lineal de un espacio LF $X$ en un espacio de Fréchet $Y$ es continua si y solo si su gráfico está cerrado en $X \times Y$ . ^[10] Todo operador lineal acotado de un espacio LF en otro TVS es continuo. ^[11]

Si $X$ es un LF-espacio definido por una secuencia , entonces el espacio dual fuerte de $X$ es un espacio de Fréchet si y solo si todos $los X$ $i$ son normables . ^[12] Por lo tanto, el espacio dual fuerte de un LF-espacio es un espacio de Fréchet si y solo si es un LB-espacio . $\left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $X_{b}^{\prime}$

Ejemplos

Espacio de funciones suaves y compactas soportadas

Un ejemplo típico de un espacio LF es, , el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables en con soporte compacto. La estructura del espacio LF se obtiene considerando una secuencia de conjuntos compactos con y para todo i, es un subconjunto del interior de . Tal secuencia podría ser las bolas de radio i centradas en el origen. El espacio de funciones infinitamente diferenciables en con soporte compacto contenido en tiene una estructura de espacio de Fréchet natural y hereda su estructura de espacio LF como se describió anteriormente. La topología del espacio LF no depende de la secuencia particular de conjuntos compactos . $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K_{1}\subconjunto K_{2}\subconjunto \ldots \subconjunto K_{i}\subconjunto \ldots \subconjunto \mathbb {R} ^{n}$ $\bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}$ $Estilo de visualización K_{i}}$ $Estilo de visualización K_{i+1}}$ $C_{c}^{\infty }(K_{i})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $Estilo de visualización K_{i}}$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $Estilo de visualización K_{i}}$

Con esta estructura de espacio LF , se le conoce como espacio de funciones de prueba, de importancia fundamental en la teoría de distribuciones . $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$

Límite directo de espacios de dimensión finita

Supóngase que para cada entero positivo $n$ , $\mathbb {R}$ y para $m < n$ , considere X _m como un subespacio vectorial de $X n$ mediante la incrustación canónica $X m \to X n$ definida por $x := (x 1, ..., x m) \mapsto (x 1, ..., x m, 0, ..., 0)$ . Denotemos el espacio LF resultante por $X$ . Puesto que cualquier topología TVS sobre $X$ hace continuas las inclusiones de los X _m en $X$ , este último espacio tiene el máximo entre todas las topologías TVS sobre un espacio -vectorial con dimensión de Hamel contable . Es una topología LC, asociada con la familia de todas las seminormas sobre $X$ . Además, la topología límite inductiva TVS de $X$ coincide con el límite inductivo topológico; es decir, el límite directo de los espacios de dimensión finita $X$ $n$ en la categoría TOP y en la categoría TVS coinciden. El espacio dual continuo de $X$ es igual al espacio dual algebraico de $X$ , es decir, el espacio de todas las secuencias de valores reales y la topología débil en es igual a la topología fuerte en (es decir, ). ^[13] De hecho, es la única topología LC en cuyo espacio dual topológico es X. $\mathbb {R}$ $X^{\prime}$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $X^{\prime}$ $X^{\prime}$ $X_{\sigma}^{\prime}=X_{b}^{\prime}$ $X^{\prime}$

Véase también

Citas

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^ Helgason, Sigurdur (2000). Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas (reimpreso con ed. corregida). Providence, RI: American Mathematical Society. p. 398. ISBN 0-8218-2673-5.
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Bibliografía

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