Dimensión (espacio vectorial)

Number of vectors in any basis of the vector space

Un diagrama de las dimensiones 1, 2, 3 y 4.

En matemáticas , la dimensión de un espacio vectorial V es la cardinalidad (es decir, el número de vectores) de una base de V sobre su campo base . ^{[1] [2]} A veces se le llama dimensión de Hamel (en honor a Georg Hamel ) o dimensión algebraica para distinguirla de otros tipos de dimensión .

Para cada espacio vectorial existe una base, ^[a] y todas las bases de un espacio vectorial tienen igual cardinalidad; ^[b] como resultado, la dimensión de un espacio vectorial está definida de forma única. decimos es ${\displaystyle V}$de dimensión finita si la dimensión dees finita, y ${\displaystyle V}$de dimensión infinita si su dimensión esinfinita.

La dimensión del espacio vectorial sobre el campo se puede escribir como " dimensión de sobre ". Cuando se puede inferir del contexto, normalmente se escribe. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim _{F}(V)}$ ${\displaystyle [V:F],}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim(V)}$

Ejemplos

El espacio vectorial tiene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$$

base estándarcampo ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,}$ ${\displaystyle \dim _{F}(F^{n})=n}$ ${\displaystyle F.}$

Los números complejos son un espacio vectorial tanto real como complejo; tenemos y entonces la dimensión depende del campo base. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.}$

El único espacio vectorial con dimensión es el espacio vectorial que consta únicamente de su elemento cero. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\},}$

Propiedades

Si es un subespacio lineal de entonces ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V).}$

Para demostrar que dos espacios vectoriales de dimensión finita son iguales, se puede utilizar el siguiente criterio: si es un espacio vectorial de dimensión finita y es un subespacio lineal de con entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)=\dim(V),}$ ${\displaystyle W=V.}$

El espacio tiene la base estándar donde está la -ésima columna de la matriz de identidad correspondiente . Por lo tanto, tiene dimensión ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Cualesquiera dos espacios vectoriales de dimensión finita con la misma dimensión son isomórficos . Cualquier mapa biyectivo entre sus bases se puede extender de forma única a un mapa lineal biyectivo entre los espacios vectoriales. Si hay algún conjunto, un espacio vectorial con dimensión sobre se puede construir de la siguiente manera: se toma el conjunto de todas las funciones de modo que para todas menos un número finito de estas funciones se pueden sumar y multiplicar con elementos de para obtener el espacio vectorial deseado . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle f:B\to F}$ ${\displaystyle f(b)=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Un resultado importante sobre las dimensiones lo proporciona el teorema de nulidad de rango para aplicaciones lineales .

Si es una extensión de campo , entonces es en particular un espacio vectorial. Además, todo espacio vectorial es también un espacio vectorial. Las dimensiones están relacionadas por la fórmula. ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n.}$

Algunas fórmulas relacionan la dimensión de un espacio vectorial con la cardinalidad del campo base y la cardinalidad del espacio mismo. Si es un espacio vectorial sobre un campo y si la dimensión de se denota por entonces: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim V,}$

Si tenue es finito entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=|F|^{\dim V}.}$

Si tenue es infinito entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=\max(|F|,\dim V).}$

Generalizaciones

Un espacio vectorial puede verse como un caso particular de una matroide , y en esta última existe una noción de dimensión bien definida. La longitud de un módulo y el rango de un grupo abeliano tienen varias propiedades similares a la dimensión de los espacios vectoriales.

La dimensión de Krull de un anillo conmutativo , que lleva el nombre de Wolfgang Krull (1899-1971), se define como el número máximo de inclusiones estrictas en una cadena creciente de ideales primos en el anillo.

Rastro

La dimensión de un espacio vectorial también puede caracterizarse como la traza del operador de identidad . Por ejemplo, ésta parece ser una definición circular, pero permite generalizaciones útiles. ${\displaystyle \operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.}$

En primer lugar, permite definir una noción de dimensión cuando se tiene un rastro pero no un sentido natural de base. Por ejemplo, uno puede tener un álgebra con aplicaciones (la inclusión de escalares, llamada unidad ) y una aplicación (correspondiente a la traza, llamada unidad ). La composición es un escalar (siendo un operador lineal en un espacio unidimensional) corresponde a un "rastro de identidad" y da una noción de dimensión para un álgebra abstracta. En la práctica, en biálgebras , se requiere que esta aplicación sea la identidad, la cual se puede obtener normalizando la unidad dividiendo por dimensión ( ), por lo que en estos casos la constante de normalización corresponde a dimensión. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta :K\to A}$ ${\displaystyle \epsilon :A\to K}$ ${\displaystyle \epsilon \circ \eta :K\to K}$ ${\displaystyle \epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} }$

Alternativamente, es posible seguir el rastro de los operadores en un espacio de dimensiones infinitas; en este caso se define una traza (finita), aunque no existe ninguna dimensión (finita), y da una noción de "dimensión del operador". Estos caen bajo la rúbrica de " operadores de clase traza " en un espacio de Hilbert , o más generalmente operadores nucleares en un espacio de Banach .

Una generalización más sutil consiste en considerar la huella de una familia de operadores como una especie de dimensión "retorcida". Esto ocurre significativamente en la teoría de la representación , donde el carácter de una representación es la huella de la representación, de ahí una función con valor escalar en un grupo cuyo valor en la identidad es la dimensión de la representación, como una representación envía la identidad en el grupo. a la matriz de identidad: Los otros valores del personaje pueden verse como dimensiones "retorcidas", y encontrar analogías o generalizaciones de afirmaciones sobre dimensiones a afirmaciones sobre personajes o representaciones. Un ejemplo sofisticado de esto ocurre en la teoría del alcohol ilegal monstruoso : la invariante es la dimensión graduada de una representación graduada de dimensión infinita del grupo de monstruos , y reemplazando la dimensión con el personaje se obtiene la serie McKay-Thompson para cada elemento del Grupo de monstruos. ^[3] ${\displaystyle \chi :G\to K,}$ ${\displaystyle 1\in G}$ ${\displaystyle \chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.}$ ${\displaystyle \chi (g)}$ ${\displaystyle j}$

Ver también

• Dimensión fractal  : relación que proporciona un índice estadístico de variación de complejidad con la escala
• Dimensión Krull  : en matemáticas, dimensión de un anillo.
• Rango de matroide  : tamaño máximo de un conjunto independiente de matroide
• Rango (álgebra lineal)  : dimensión del espacio columna de una matriz
• Dimensión topológica  : definición topológicamente invariante de la dimensión de un espacio Pages displaying short descriptions of redirect targets, también llamada dimensión de cobertura de Lebesgue

Notas

1. si se asume el axioma de elección
2. ver teorema de dimensión para espacios vectoriales

Referencias

1. Itzkov, Mikhail (2009). Álgebra tensorial y análisis tensorial para ingenieros: con aplicaciones a la mecánica continua. Saltador. pag. 4.ISBN​ 978-3-540-93906-1.
2. Axler (2015) pág. 44, §2.36
3. Gannon, Terry (2006), Moonshine más allá del monstruo: el puente que conecta el álgebra, las formas modulares y la física , Cambridge University Press, ISBN 0-521-83531-3

Fuentes

• Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de Pregrado en Matemáticas (3ª ed.). Saltador . ISBN 978-3-319-11079-0.

enlaces externos

• Conferencia de álgebra lineal del MIT sobre independencia, base y dimensión a cargo de Gilbert Strang en MIT OpenCourseWare