j-invariante

Función modular en matemáticas.

Invariante j de Klein en el plano complejo

En matemáticas , la función j -invariante o j de Felix Klein , considerada como una función de una variable compleja τ , es una función modular de peso cero para un grupo lineal especial SL(2, Z ) definido en el semiplano superior del complejo. números . Es la única función que es holomorfa lejos de un polo simple en la cúspide , de modo que 

${\displaystyle j\left(e^{2\pi i/3}\right)=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.}$

Las funciones racionales de j son modulares y, de hecho, dan todas las funciones modulares. Clásicamente, la invariante j se estudió como una parametrización de curvas elípticas sobre , pero también tiene conexiones sorprendentes con las simetrías del grupo Monster (esta conexión se conoce como luz de luna monstruosa ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Definición

Parte real del invariante j en función del cuadrado del nomo en el disco unitario

Fase del invariante j en función del cuadrado del nomo en el disco unitario

La j -invariante se puede definir como una función en el semiplano superior H = { τ ∈ C , Im ( τ ) > 0},

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}}}$

La tercera definición implica que se puede expresar como un cubo , también desde 1728 . ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle {}=12^{3}}$

Las funciones dadas son el discriminante modular , la función Dedekind eta y los invariantes modulares, ${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

${\displaystyle g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}}$

donde , son series de Fourier , ${\displaystyle G_{4}(\tau )}$ ${\displaystyle G_{6}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\,E_{4}(\tau )\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\,E_{6}(\tau )\end{aligned}}}$

y , son series de Eisenstein , ${\displaystyle E_{4}(\tau )}$ ${\displaystyle E_{6}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\[4pt]E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$

y (el cuadrado del nomo ). La j -invariante puede entonces expresarse directamente en términos de la serie de Eisenstein como, ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}}}$

sin ningún factor numérico distinto de 1728. Esto implica una tercera forma de definir el discriminante modular, ^[1]

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\,{\frac {E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}{1728}}}$

Por ejemplo, usando las definiciones anteriores y , entonces la función Dedekind eta tiene el valor exacto , ${\displaystyle \tau =2i}$ ${\displaystyle \eta (2i)}$

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{11/8}\pi ^{3/4}}}}$

implicando los números trascendentales ,

${\displaystyle g_{2}(2i)={\frac {11\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{8}}{2^{8}\pi ^{2}}},\qquad g_{3}(2i)={\frac {7\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{12}}{2^{12}\pi ^{3}}}}$

pero obteniendo el número algebraico (de hecho, un número entero ),

${\displaystyle j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}.}$

En general, esto puede motivarse considerando que cada τ representa una clase de isomorfismo de curvas elípticas. Cada curva elíptica E sobre C es un toro complejo y, por tanto, puede identificarse con una red de rango 2; es decir, una red bidimensional de C . Esta red se puede rotar y escalar (operaciones que preservan la clase de isomorfismo), de modo que sea generada por 1 y τ ∈ H . Esta red corresponde a la curva elíptica (ver Funciones elípticas de Weierstrass ). ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )}$

Tenga en cuenta que j se define en todas partes de H ya que el discriminante modular es distinto de cero. Esto se debe a que el polinomio cúbico correspondiente tiene raíces distintas.

La región fundamental

La elección habitual de un dominio fundamental (gris) para el grupo modular que actúa en el semiplano superior.

Se puede demostrar que Δ es una forma modular de peso doce, y g ₂ una de peso cuatro, de modo que su tercera potencia también es de peso doce. Así, su cociente, y por tanto j , es una función modular de peso cero, en particular una función holomorfa H → C invariante bajo la acción de SL(2, Z ) . Cociente por su centro {±I} produce el grupo modular , que podemos identificar con el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z ) .

Mediante una elección adecuada de transformación perteneciente a este grupo,

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}$

podemos reducir τ a un valor que dé el mismo valor para j y que se encuentre en la región fundamental de j , que consta de valores para τ que satisfacen las condiciones

${\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}$

La función j ( τ ) cuando se restringe a esta región todavía toma cada valor en los números complejos C exactamente una vez. En otras palabras, para cada c en C , hay un único τ en la región fundamental tal que c = j ( τ ) . Por tanto, j tiene la propiedad de mapear la región fundamental en todo el plano complejo.

Además, dos valores τ,τ' ∈ H producen la misma curva elíptica si y solo τ = T(τ') para algunos T ∈ PSL(2, Z ) . Esto significa que j proporciona una biyección del conjunto de curvas elípticas sobre C al plano complejo. ^[2]

Como superficie de Riemann , la región fundamental tiene género 0 , y cada función modular ( nivel uno ) es una función racional en j ; y, a la inversa, toda función racional en j es una función modular. En otras palabras, el campo de funciones modulares es C ( j ) .

Teoría de campos de clases y j.

El j -invariante tiene muchas propiedades notables:

• Si τ es cualquier punto del semiplano superior cuya curva elíptica correspondiente tiene multiplicación compleja (es decir, si τ es cualquier elemento de un campo cuadrático imaginario con parte imaginaria positiva, de modo que j esté definido), entonces j ( τ ) es un entero algebraico . ^[3] Estos valores especiales se denominan módulos singulares .
• La extensión de campo Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) es abeliana, es decir, tiene un grupo abeliano de Galois .
• Sea Λ la red en C generada por {1, τ }. Es fácil ver que todos los elementos de Q ( τ ) que fijan Λ bajo la multiplicación forman un anillo con unidades, llamado orden . Las otras redes con generadores {1, τ ′ }, asociadas de igual manera al mismo orden definen los conjugados algebraicos j ( τ ′ ) de j ( τ ) sobre Q ( τ ) . Ordenado por inclusión, el orden máximo único en Q ( τ ) es el anillo de números enteros algebraicos de Q ( τ ) , y los valores de τ que lo tienen como orden asociado conducen a extensiones no ramificadas de Q ( τ ) .

Estos resultados clásicos son el punto de partida de la teoría de la multiplicación compleja .

Propiedades de trascendencia

En 1937, Theodor Schneider demostró el resultado antes mencionado de que si τ es un número irracional cuadrático en el semiplano superior, entonces j ( τ ) es un número entero algebraico. Además, demostró que si τ es un número algebraico pero no un cuadrático imaginario, entonces j ( τ ) es trascendental.

La función j tiene muchas otras propiedades trascendentales. Kurt Mahler conjeturó un resultado de trascendencia particular que a menudo se denomina conjetura de Mahler, aunque Yu lo demostró como corolario de los resultados. V. Nesterenko y Patrice Phillipon en los años 1990. La conjetura de Mahler era que si τ estaba en el semiplano superior, entonces e ^{2π iτ} y j ( τ ) nunca fueron simultáneamente algebraicos. Ahora se conocen resultados más sólidos, por ejemplo, si e ^{2π iτ} es algebraico, entonces los siguientes tres números son algebraicamente independientes y, por lo tanto, al menos dos de ellos son trascendentales:

${\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}}$

La q -expansión y luz de la luna

Varias propiedades notables de j tienen que ver con su q -expansión ( expansión en serie de Fourier ), escrita como una serie de Laurent en términos de q = e ^{2π iτ} , que comienza:

${\displaystyle j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}[phone]q^{3}[phone]q^{4}+\cdots }$

Tenga en cuenta que j tiene un polo simple en la cúspide, por lo que su q -expansión no tiene términos debajo de q ⁻¹ .

Todos los coeficientes de Fourier son números enteros, lo que da como resultado varios casi enteros , en particular la constante de Ramanujan :

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744}$.

La fórmula asintótica para el coeficiente de q ⁿ viene dada por

${\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}}}$,

como puede demostrarse mediante el método del círculo de Hardy-Littlewood . ^{[4] [5]}

Luz de la luna

Más notablemente, los coeficientes de Fourier para los exponentes positivos de q son las dimensiones de la parte graduada de una representación de álgebra graduada de dimensión infinita del grupo de monstruos llamado módulo de luz de luna ; específicamente, el coeficiente de q ⁿ es la dimensión del grado- n. parte del módulo moonshine, siendo el primer ejemplo el álgebra de Griess , que tiene dimensión 196,884, correspondiente al término 196884 q . Esta sorprendente observación, realizada por primera vez por John McKay , fue el punto de partida de la teoría del alcohol ilegal .

El estudio de la conjetura de Moonshine llevó a John Horton Conway y Simon P. Norton a observar las funciones modulares de género cero. Si están normalizados para tener la forma

${\displaystyle q^{-1}+{O}(q)}$

luego John G. Thompson demostró que sólo hay un número finito de tales funciones (de algún nivel finito), y Chris J. Cummins demostró más tarde que hay exactamente 6486 de ellas, 616 de las cuales tienen coeficientes integrales. ^[6]

Expresiones alternativas

Tenemos

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

donde x = λ (1 − λ ) y λ es la función lambda modular

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(e^{\pi i\tau })}{\theta _{3}^{4}(e^{\pi i\tau })}}=k^{2}(\tau )}$

una relación de funciones theta de Jacobi θ _m , y es el cuadrado del módulo elíptico k ( τ ) . ^[7] El valor de j no cambia cuando λ se reemplaza por cualquiera de los seis valores de la relación cruzada : ^[8]

${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }$

Los puntos de ramificación de j están en {0, 1, ∞} , por lo que j es una función de Belyi . ^[9]

Expresiones en términos de funciones theta.

Defina el nomo q = e ^{π iτ} y la función theta de Jacobi ,

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

de donde se pueden derivar las funciones theta auxiliares, definidas aquí . Dejar,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

donde ϑ _ij y θ _n son notaciones alternativas, y a ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0 . Luego tenemos los invariantes modulares g ₂ , g ₃ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\end{aligned}}}$

y discriminante modular,

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}}$

con la función Dedekind eta η ( τ ) . Luego, el j ( τ ) se puede calcular rápidamente,

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}}$

Definición algebraica

Hasta ahora hemos considerado j como función de una variable compleja. Sin embargo, como invariante para clases de isomorfismo de curvas elípticas, se puede definir de forma puramente algebraica. ^[10] Deja que

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

Ser una curva elíptica plana sobre cualquier campo . Luego podemos realizar transformaciones sucesivas para llevar la ecuación anterior a la forma estándar y ² = 4 x ³ − g ₂ x − g ₃ (tenga en cuenta que esta transformación solo se puede realizar cuando la característica del campo no es igual a 2 o 3 ). Los coeficientes resultantes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}}$

donde gramo ₂ = c ₄ y gramo ₃ = c ₆ . También tenemos el discriminante.

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.}$

La j -invariante para la curva elíptica ahora se puede definir como

${\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}}$

En el caso de que el campo sobre el cual se define la curva tenga característica diferente a 2 o 3, esta es igual a

${\displaystyle j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}$

Función inversa

La función inversa de la j -invariante se puede expresar en términos de la función hipergeométrica ₂ F ₁ (ver también el artículo Ecuación de Picard-Fuchs ). Explícitamente, dado un número N , resolver la ecuación j ( τ ) = N para τ se puede hacer al menos de cuatro maneras.

Método 1 : Resolver el sextico en λ ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

donde x = λ (1 − λ ) , y λ es la función lambda modular , por lo que la sextica se puede resolver como una cúbica en x . Entonces,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}=i{\frac {\operatorname {M} (1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {\lambda }})}}}$

para cualquiera de los seis valores de λ , donde M es la media aritmético-geométrica . ^{[nota 1]}

Método 2 : Resolver el cuartico en γ ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}}$

entonces para cualquiera de las cuatro raíces ,

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}}$

Método 3 : Resolver la cúbica en β ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}}$

entonces para cualquiera de las tres raíces,

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}}$

Método 4 : Resolver la cuadrática en α ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}}$

entonces,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}}$

Una raíz da τ y la otra da -1/τ, pero dado que j ( τ ) = j (−1/τ) , no importa qué α se elija. Los últimos tres métodos se pueden encontrar en la teoría de funciones elípticas de bases alternativas de Ramanujan .

La inversión se aplica en cálculos de alta precisión de períodos de funciones elípticas incluso cuando sus proporciones se vuelven ilimitadas. ^{[ cita necesaria ]} Un resultado relacionado es la expresabilidad mediante radicales cuadráticos de los valores de j en los puntos del eje imaginario cuyas magnitudes son potencias de 2 (permitiendo así construcciones con compás y regla ). Este último resultado es apenas evidente ya que la ecuación modular para j de orden 2 es cúbica. ^[11]

fórmulas pi

Los hermanos Chudnovsky encontraron en 1987, ^[12]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}}$

una prueba de la cual utiliza el hecho de que

${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.}$

Para fórmulas similares, consulte la serie Ramanujan-Sato .

Valores especiales

El j -invariante desaparece en la "esquina" del dominio fundamental :

${\displaystyle \quad j\!\left({\tfrac {1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)=0.}$

Aquí hay algunos valores especiales más ^{[ cita necesaria ]} dados en términos de la notación alternativa J ( τ ) ≡1/1728 j ( τ ) , los primeros cinco bien conocidos:

${\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&=\left({\tfrac {5}{3}}\right)^{3}\\J(2i)&=\left({\tfrac {11}{2}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {163}}i}{2}}\right)&=-53360^{3}\\J\left({\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{4}}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{128}}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{5}\left(17+7{\sqrt {3}}+59{\sqrt {7}}+35{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7+5{\sqrt {2}}+3{\sqrt {5}}+2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7+5{\sqrt {2}}-3{\sqrt {5}}-2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7-5{\sqrt {2}}+3{\sqrt {5}}-2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7-5{\sqrt {2}}-3{\sqrt {5}}+2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-{\frac {1}{64}}\left[(13+{\sqrt {93}}){\sqrt[{3}]{4(29-3{\sqrt {93}})}}+(13-{\sqrt {93}}){\sqrt[{3}]{4(29+3{\sqrt {93}})}}+8\right]^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{32}}{\sqrt[{4}]{28}}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{3}\left(13+3{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt[{4}]{28}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$

No clasificar las curvas elípticas sobre otros campos

El invariante sólo es sensible a clases de isomorfismo de curvas elípticas sobre números complejos o, más generalmente, un campo algebraicamente cerrado . En otros campos existen ejemplos de curvas elípticas cuyo invariante es el mismo, pero no isomórfico. Por ejemplo, sean las curvas elípticas asociadas a los polinomios. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x,\end{aligned}}}$

ambos tienen -invariante . Entonces, los puntos racionales de se pueden calcular como: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 1728}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}}$

ya que no hay soluciones racionales con . Esto se puede demostrar utilizando la fórmula de Cardano para demostrar que en ese caso todas las soluciones son irracionales. Por otro lado, sobre el conjunto de puntos ${\displaystyle x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2).}$ ${\displaystyle y=a\neq 0}$ ${\displaystyle x^{3}-4x-a^{2}}$

${\displaystyle \{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}}$

la ecuación para se convierte en . Dividiendo por para eliminar la solución, la fórmula cuadrática da las soluciones racionales: ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}.}$

Si se consideran estas curvas , hay un isomorfismo que envía ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}$ ${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))}$

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\ {\text{ where }}\ \mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}.}$

Referencias

Notas

1. La igualdad se cumple si la media aritmético-geométrica de números complejos (tal que ) se define de la siguiente manera: Sea ,,, donde los signos se eligen de manera que para todos . Si , el signo se elige tal que . Entonces . Cuando son reales positivos (con ), esta definición coincide con la definición habitual de la media aritmético-geométrica para números reales positivos. Véase La media aritmético-geométrica de Gauss de David A. Cox . ${\displaystyle \operatorname {M} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a,b\neq 0;a\neq \pm b}$ ${\displaystyle a_{0}=a}$ ${\displaystyle b_{0}=b}$ ${\displaystyle a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2}$ ${\displaystyle b_{n+1}=\pm {\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$ ${\displaystyle |a_{n}-b_{n}|\leq |a_{n}+b_{n}|}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle |a_{n}-b_{n}|=|a_{n}+b_{n}|}$ ${\displaystyle \Im (b_{n}/a_{n})>0}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a\neq b}$

Otro

1. Milne, Steven C. (2000). "Serie Determinantes de Hankel de Eisenstein". arXiv : matemáticas/0009130v3 .El artículo utiliza una definición no equivalente de , pero esto se ha tenido en cuenta en este artículo. ${\displaystyle \Delta }$
2. Gareth A. Jones y David Singerman. (1987) Funciones complejas: un punto de vista algebraico y geométrico. Cambridge UP. [1]
3. Silverman, Joseph H. (1986). La aritmética de curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 106. Springer-Verlag . pag. 339.ISBN​ 978-0-387-96203-0. Zbl  0585.14026.
4. Petersson, Hans (1932). "Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen". Acta Matemática . 58 (1): 169–215. doi : 10.1007/BF02547776 . SEÑOR  1555346.
5. Rademacher, Hans (1938). "Los coeficientes de Fourier del invariante modular j (τ)". Revista Estadounidense de Matemáticas . 60 (2): 501–512. doi :10.2307/2371313. JSTOR  2371313. SEÑOR  1507331.
6. Cummins, Chris J. (2004). "Subgrupos de congruencia de grupos conmensurables con PSL(2,Z)$ de género 0 y 1". Matemáticas Experimentales . 13 (3): 361–382. doi :10.1080/10586458.2004.10504547. ISSN  1058-6458. S2CID  10319627. Zbl  1099.11022.
7. Chandrasekharan (1985) p.108
8. Chandrasekharan, K. (1985), Funciones elípticas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag , pág. 110, ISBN 978-3-540-15295-8, Zbl  0575.33001
9. Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012), Introducción a las superficies compactas de Riemann y diseños de niños , London Mathematical Society Student Texts, vol. 79, Cambridge: Cambridge University Press , pág. 267, ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl  1253.30001
10. Lang, Serge (1987). Funciones elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 112. Nueva York, etc.: Springer-Verlag. págs. 299–300. ISBN 978-1-4612-9142-8. Zbl  0615.14018.
11. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.Teorema 4.8
12. Chudnovsky, David V .; Chudnovsky, Gregory V. (1989), "The Computation of Classical Constants", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 86 (21): 8178–8182, Bibcode :1989PNAS...86.8178C, doi : 10.1073/pnas.86.21.8178 , ISSN  0027-8424, JSTOR  34831, PMC 298242 , PMID  16594075 .

• Apostol, Tom M. (1976), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 41, Nueva York: Springer-Verlag, SEÑOR  0422157. Proporciona una introducción muy legible y varias identidades interesantes.
  • Apostol, Tom M. (1990), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 41 (2ª ed.), doi :10.1007/978-1-4612-0999-7, ISBN 978-0-387-97127-8, señor  1027834
• Berndt, Bruce C .; Chan, Heng Huat (1999), "Ramanujan and the modular j-invariant", Canadian Mathematical Bulletin , 42 (4): 427–440, doi : 10.4153/CMB-1999-050-1 , SEÑOR  1727340. Proporciona una variedad de identidades algebraicas interesantes, incluida la inversa como una serie hipergeométrica.
• Cox, David A. (1989), Primos de la forma x^2 + ny^2: Fermat, teoría de campos de clases y multiplicación compleja , Nueva York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., MR  1028322Presenta la invariante j y analiza la teoría de campos de clases relacionada.
• Conway, John Horton ; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 11 (3): 308–339, doi :10.1112/blms/11.3.308, SEÑOR  0554399. Incluye una lista de las 175 funciones modulares de género cero.
• Rankin, Robert A. (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-21212-0, señor  0498390. Proporciona una breve reseña en el contexto de las formas modulares.
• Schneider, Theodor (1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale", Math. Annalen , 113 : 1–13, doi : 10.1007/BF01571618, SEÑOR  1513075, S2CID  121073687.