En álgebra , un polinomio sextico (o hexico ) es un polinomio de grado seis. Una ecuación sextica es una ecuación polinómica de grado seis, es decir, una ecuación cuyo lado izquierdo es un polinomio sextico y cuyo lado derecho es cero. Más precisamente, tiene la forma:
donde a ≠ 0 y los coeficientes a , b , c , d , e , f , g pueden ser números enteros , números racionales , números reales , números complejos o, más generalmente, miembros de cualquier cuerpo .
Una función sextica es una función definida por un polinomio sextico. Debido a que tienen un grado par, las funciones sexticas parecen similares a las funciones cuárticas cuando se representan gráficamente, excepto que pueden poseer un máximo local adicional y un mínimo local cada una. La derivada de una función sextica es una función quíntica .
Dado que una función sextica está definida por un polinomio de grado par, tiene el mismo límite infinito cuando el argumento llega al infinito positivo o negativo . Si el coeficiente principal a es positivo, entonces la función aumenta hasta infinito positivo en ambos lados y, por tanto, la función tiene un mínimo global. Asimismo, si a es negativo, la función sextica disminuye hasta infinito negativo y tiene un máximo global.
Algunas ecuaciones de sexto grado, como ax 6 + dx 3 + g = 0 , se pueden resolver factorizando en radicales, pero otras sexticas no. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podía resolverse mediante radicales, lo que dio origen al campo de la teoría de Galois . [1]
De la teoría de Galois se deduce que una ecuación sextica tiene solución en términos de radicales si y sólo si su grupo de Galois está contenido en el grupo de orden 48 que estabiliza una partición del conjunto de raíces en tres subconjuntos de dos raíces o en el grupo de orden 72 que estabiliza una partición del conjunto de raíces en dos subconjuntos de tres raíces.
Hay fórmulas para probar cualquiera de los casos y, si la ecuación tiene solución, calcular las raíces en términos de radicales. [2]
La ecuación sextica general se puede resolver mediante la función Kampé de Fériet de dos variables . [1] Una clase más restringida de sextics puede resolverse mediante la función hipergeométrica generalizada de una variable utilizando el enfoque de Felix Klein para resolver la ecuación quíntica . [1]
La curva de Watt , que surgió en el contexto de los primeros trabajos sobre la máquina de vapor , es sextica en dos variables.
Un método para resolver la ecuación cúbica implica transformar variables para obtener una ecuación sextica que tenga términos solo de grados 6, 3 y 0, que se puede resolver como una ecuación cuadrática en el cubo de la variable.
El descriptor "sextic" proviene de la raíz latina de 6 o 6 ("sex-t-") y del sufijo griego que significa "perteneciente a" ("-ic"). El "hexic", mucho menos común, utiliza el griego tanto para su raíz ( hex- 6) como para su sufijo ( -ik- ). En ambos casos, el prefijo hace referencia al grado de la función. A menudo, este tipo de funciones se denominarán simplemente "funciones de sexto grado".
