Coeficiente

Factor multiplicativo en una expresión matemática

En matemáticas , un coeficiente es un factor multiplicativo que interviene en algún término de un polinomio , una serie o cualquier otro tipo de expresión . Puede ser un número sin unidades , en cuyo caso se le conoce como factor numérico . ^[1] También puede ser una constante con unidades de medida , en cuyo caso se le conoce como multiplicador constante . ^[1] En general, los coeficientes pueden ser cualquier expresión (incluidas variables como a , b y c ). ^{[2] [1]} Cuando la combinación de variables y constantes no está necesariamente involucrada en un producto , se le puede llamar parámetro . ^[1] Por ejemplo, el polinomio tiene coeficientes 2, −1 y 3, y las potencias de la variable en el polinomio tienen parámetros de coeficiente , y . ${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

AUn coeficiente constante , también conocido comotérmino constanteo simplementeconstante, es una cantidad implícitamente asociada a lapotencia cerode una variable o no asociada a otras variables en una expresión; por ejemplo, los coeficientes constantes de las expresiones anteriores son el número 3 y el parámetroc, involucrados en 3=c ⋅ x^0.El coeficiente asociado al grado más alto de la variable en un polinomio de una variable se conoce comocoeficiente principal; por ejemplo, en las expresiones de ejemplo anteriores, los coeficientes principales son 2 ya, respectivamente.

En el contexto de las ecuaciones diferenciales , estas ecuaciones a menudo se pueden escribir en términos de polinomios en una o más funciones desconocidas y sus derivadas. En tales casos, los coeficientes de la ecuación diferencial son los coeficientes de este polinomio, y estos pueden ser funciones no constantes. Un coeficiente es un coeficiente constante cuando es una función constante . Para evitar confusiones, en este contexto, un coeficiente que no está asociado a funciones desconocidas o sus derivadas generalmente se denomina término constante en lugar de coeficiente constante. En particular, en una ecuación diferencial lineal con coeficiente constante , generalmente no se supone que el término de coeficiente constante sea una función constante.

Terminología y definición

En matemáticas, un coeficiente es un factor multiplicativo en algún término de un polinomio , una serie o cualquier expresión . Por ejemplo, en el polinomio con variables y , los dos primeros términos tienen los coeficientes 7 y −3. El tercer término 1,5 es el coeficiente constante. En el término final, el coeficiente es 1 y no se escribe explícitamente. $${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

En muchos casos, los coeficientes son números (como es el caso de cada término del ejemplo anterior), aunque podrían ser parámetros del problema (o cualquier expresión en estos parámetros). En tal caso, se debe distinguir claramente entre símbolos que representan variables y símbolos que representan parámetros. Siguiendo a René Descartes , las variables se suelen denotar por x , y , ..., y los parámetros por a , b , c , ..., pero no siempre es así. Por ejemplo, si y se considera un parámetro en la expresión anterior, entonces el coeficiente de x sería −3 y , y el coeficiente constante (con respecto a x ) sería 1,5 + y .

Cuando se escribe, generalmente se supone que x es la única variable y que a , b y c son parámetros; por lo tanto, el coeficiente constante es c en este caso. $${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$

Cualquier polinomio de una sola variable x puede escribirse como para algún entero no negativo , donde son los coeficientes. Esto incluye la posibilidad de que algunos términos tengan coeficiente 0; por ejemplo, en , el coeficiente de es 0, y el término no aparece explícitamente. Para el mayor tal que (si lo hay), se llama coeficiente principal del polinomio. Por ejemplo, el coeficiente principal del polinomio es 4. Esto se puede generalizar a polinomios multivariados con respecto a un orden monomial , véase Base de Gröbner § Término principal, coeficiente y monomio . $${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$ ${\displaystyle x^{3}-2x+1}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 0x^{2}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{i}}$ $${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$

Álgebra lineal

En álgebra lineal , un sistema de ecuaciones lineales se representa frecuentemente mediante su matriz de coeficientes . Por ejemplo, el sistema de ecuaciones tiene una matriz de coeficientes asociada . Las matrices de coeficientes se utilizan en algoritmos como la eliminación gaussiana y la regla de Cramer para encontrar soluciones al sistema. $${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$

La entrada principal (a veces, coeficiente principal ^{[ cita requerida ]} ) de una fila en una matriz es la primera entrada distinta de cero en esa fila. Por ejemplo, en la matriz, el coeficiente principal de la primera fila es 1; el de la segunda fila es 2; el de la tercera fila es 4, mientras que la última fila no tiene coeficiente principal. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$

Aunque los coeficientes se consideran con frecuencia constantes en el álgebra elemental, también pueden considerarse variables a medida que se amplía el contexto. Por ejemplo, las coordenadas de un vector en un espacio vectorial con base son los coeficientes de los vectores base en la expresión ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$ $${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$

Véase también

• Coeficiente de correlación
• Grado de un polinomio
• Polinomio mónico
• Coeficiente binomial

Referencias

1. «ISO 80000-1:2009». Organización Internacional de Normalización . Consultado el 15 de septiembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Coeficiente". mathworld.wolfram.com . Consultado el 15 de agosto de 2020 .

Lectura adicional

• Sabah Al-hadad y CH Scott (1979) Álgebra universitaria con aplicaciones , página 42, Winthrop Publishers, Cambridge Massachusetts ISBN 0-87626-140-3 . 
• Gordon Fuller, Walter L Wilson, Henry C Miller, (1982) College Algebra , 5.ª edición, página 24, Brooks/Cole Publishing, Monterey California ISBN 0-534-01138-1 .