Tipo de función generalizada
En matemáticas , las hiperfunciones son generalizaciones de funciones, como un "salto" de una función holomorfa a otra en un límite, y pueden considerarse informalmente como distribuciones de orden infinito. Las hiperfunciones fueron introducidas por Mikio Sato en 1958 en japonés (1959, 1960 en inglés), basándose en trabajos anteriores de Laurent Schwartz , Grothendieck y otros.
Formulación
Una hiperfunción en la línea real puede concebirse como la "diferencia" entre una función holomorfa definida en el semiplano superior y otra en el semiplano inferior. Es decir, una hiperfunción se especifica mediante un par ( f , g ), donde f es una función holomorfa en el semiplano superior y g es una función holomorfa en el semiplano inferior.
De manera informal, la hiperfunción es la diferencia que sería en la línea real misma. Esta diferencia no se ve afectada por la adición de la misma función holomorfa a f y g , por lo que si h es una función holomorfa en todo el plano complejo , las hiperfunciones ( f , g ) y ( f + h , g + h ) se definen como equivalentes.
Definición en una dimensión
La motivación se puede implementar de manera concreta utilizando ideas de la cohomología de haces . Sea el haz de funciones holomorfas en Defina las hiperfunciones en la línea real como el primer grupo de cohomología local :
Concretamente, sean y el semiplano superior y el semiplano inferior respectivamente. Entonces
Dado que el grupo de cohomología cero de cualquier haz es simplemente las secciones globales de ese haz, vemos que una hiperfunción es un par de funciones holomorfas, una en el semiplano complejo superior e inferior, módulo funciones holomorfas enteras.
De manera más general, se puede definir para cualquier conjunto abierto como el cociente donde es cualquier conjunto abierto con . Se puede demostrar que esta definición no depende de la elección de dar otra razón para pensar en las hiperfunciones como "valores límite" de funciones holomorfas.
Ejemplos
- Si f es cualquier función holomorfa en todo el plano complejo, entonces la restricción de f al eje real es una hiperfunción, representada por ( f , 0) o (0, − f ).
- La función escalonada de Heaviside se puede representar como donde es el valor principal del logaritmo complejo de z .
- La "función" delta de Dirac está representada por Esto es realmente una reformulación de la fórmula integral de Cauchy . Para verificarlo, se puede calcular la integración de f justo debajo de la línea real y restar la integración de g justo encima de la línea real, ambos de izquierda a derecha. Tenga en cuenta que la hiperfunción puede ser no trivial, incluso si los componentes son una continuación analítica de la misma función. Esto también se puede verificar fácilmente derivando la función de Heaviside.
- Si g es una función continua (o más generalmente una distribución ) en la recta real con soporte contenido en un intervalo acotado I , entonces g corresponde a la hiperfunción ( f , − f ), donde f es una función holomorfa en el complemento de I definida por Esta función f salta en valor por g ( x ) cuando cruza el eje real en el punto x . La fórmula para f se deduce del ejemplo anterior escribiendo g como la convolución de sí misma con la función delta de Dirac.
- Usando una partición de la unidad, se puede escribir cualquier función continua (distribución) como una suma localmente finita de funciones (distribuciones) con soporte compacto. Esto se puede aprovechar para extender la incrustación anterior a una incrustación
- Si f es una función holomorfa en todas partes excepto en una singularidad esencial en 0 (por ejemplo, e 1/ z ), entonces es una hiperfunción con soporte 0 que no es una distribución. Si f tiene un polo de orden finito en 0 entonces es una distribución, por lo que cuando f tiene una singularidad esencial entonces parece una "distribución de orden infinito" en 0. (Obsérvese que las distribuciones siempre tienen orden finito en cualquier punto).
Operaciones sobre hiperfunciones
Sea cualquier subconjunto abierto.
- Por definición es un espacio vectorial tal que la suma y la multiplicación con números complejos están bien definidas. Explícitamente:
- Los mapas de restricciones obvios se convierten en un haz (que en realidad es flácido ).
- La multiplicación con funciones analíticas reales y la diferenciación están bien definidas: con estas definiciones se convierte en un D-módulo y la incrustación es un morfismo de D-módulos.
- Un punto se llama punto holomorfo de si se restringe a una función analítica real en algún pequeño vecindario de Si son dos puntos holomorfos, entonces la integración está bien definida: donde son curvas arbitrarias con Las integrales son independientes de la elección de estas curvas porque el semiplano superior e inferior están simplemente conectados .
- Sea el espacio de hiperfunciones con soporte compacto. Mediante la forma bilineal se asocia a cada hiperfunción con soporte compacto una función lineal continua sobre Esto induce una identificación del espacio dual, con Un caso especial que vale la pena considerar es el caso de funciones o distribuciones continuas con soporte compacto: Si se considera (o ) como un subconjunto de mediante la incrustación anterior, entonces esto calcula exactamente la integral de Lebesgue tradicional. Además: Si es una distribución con soporte compacto, es una función analítica real, y entonces Por lo tanto, esta noción de integración da un significado preciso a expresiones formales como que no están definidas en el sentido habitual. Además: Debido a que las funciones analíticas reales son densas en es un subespacio de . Esta es una descripción alternativa de la misma incrustación .
- Si es un mapa analítico real entre conjuntos abiertos de , entonces la composición con es un operador bien definido de a :
Véase también
Referencias
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Enlaces externos