Espacio bornológico

Espacio donde los operadores acotados son continuos

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , un espacio bornológico es un tipo de espacio que, en cierto sentido, posee la cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones de acotación de conjuntos y aplicaciones lineales , de la misma manera que un espacio topológico posee la Cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones de continuidad . Los espacios bornológicos se distinguen por la propiedad de que una aplicación lineal desde un espacio bornológico hacia cualquier espacio localmente convexo es continua si y sólo si es un operador lineal acotado .

Los espacios bornológicos fueron estudiados por primera vez por George Mackey . ^{[ cita necesaria ]} El nombre fue acuñado por Bourbaki ^{[ cita necesaria ]} después de borné , la palabra francesa para " limitado ".

Bornologías y mapas acotados

Una bornología en un conjunto es una colección de subconjuntos que satisfacen todas las condiciones siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$cubre es decir, ; ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo inclusiones; es decir, si y entonces ; ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo uniones finitas; es decir, si entonces ; ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

Los elementos de la colección se denominan conjuntos acotados o simplemente acotados, si así se entiende. ^[1] El par se denomina estructura acotada o conjunto bornológico . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$

Una base o sistema fundamental de una bornología es un subconjunto de tal que cada elemento de es un subconjunto de algún elemento de Dada una colección de subconjuntos de la bornología más pequeña que contiene se llama bornología generada por ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

Si y son conjuntos bornológicos, entonces su producto bornología es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma donde y ^[2] Un subconjunto de está acotado en el producto bornología si y sólo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre y ambos están limitados. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle B\times C,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

mapas acotados

Si y son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función es un mapa acotado localmente o un mapa acotado (con respecto a estas bornologías) si asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de es decir, si ^[2] Si además es una biyección y también está acotada, entonces se llama isomorfismo bornológico . ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\subseteq {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Bornologías vectoriales

Sea un espacio vectorial sobre un campo donde tiene una bornología. Una bornología se llama bornología vectorial si es estable ante la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de cascos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y es una bornología, entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una bornología vectorial;
2. Las sumas finitas y los cascos equilibrados de conjuntos acotados están acotados; ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. El mapa de multiplicación escalar definido por y el mapa de suma definido por están ambos acotados cuando sus dominios llevan sus bornologías de producto (es decir, asignan subconjuntos acotados a subconjuntos acotados). ^[2] ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$

Una bornología vectorial se llama bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de cascos convexos (es decir, el casco convexo de un conjunto acotado está acotado), entonces Y una bornología vectorial se llama separada si el único subespacio vectorial acotado es el 0- espacio trivial dimensional ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Por lo general, son números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial se llamará bornología vectorial convexa si tiene una base que consta de conjuntos convexos . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Subconjuntos bornívoros

Un subconjunto de se llama bornívoro y bornívoro si absorbe todos los conjuntos acotados. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

En una bornología vectorial, es bornívora si absorbe todos los conjuntos equilibrados acotados y en una bornología vectorial convexa es bornívora si absorbe todos los discos acotados. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Dos topologías TVS en el mismo espacio vectorial tienen los mismos subconjuntos acotados si y sólo si tienen los mismos bornívoros. ^[3]

Cada subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es una vecindad del origen. ^[4]

Convergencia de Mackey

Se dice que una secuencia en un TVS es convergente a Mackey si existe una secuencia de números reales positivos que divergen a tal que converge a en ^[5] ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=(r_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle (r_{i}x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Bornología de un espacio vectorial topológico

Cada espacio vectorial topológico al menos en un campo de valores no discreto da una bornología al definir un subconjunto acotado (o acotado por von-Neumann), si y sólo si para todos los conjuntos abiertos que contienen cero existe un con Si es localmente convexo El espacio vectorial topológico entonces está acotado si y sólo si todas las seminormas continuas en están acotadas en ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq rU.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B.}$

El conjunto de todos los subconjuntos acotados de un espacio vectorial topológico se llama bornología o bornología de von Neumann. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un espacio vectorial topológico localmente convexo , entonces un disco absorbente es bornívoro (resp. infrabornívoro) si y sólo si su funcional de Minkowski está localmente acotado (resp. infrabornívoro). ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

Topología inducida

Si es una bornología vectorial convexa en un espacio vectorial , entonces la colección de todos los subconjuntos balanceados convexos de que son bornívoros forma una base de vecindad en el origen para una topología localmente convexa llamada topología inducida por . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Si es un TVS, entonces el espacio bornológico asociado es el espacio vectorial dotado de la topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann de ^[4] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Teorema ^[4]  -  Sea y sea TVS localmente convexo y denotemos dotado de la topología inducida por la bornología de von Neumann de Definir de manera similar. Entonces una aplicación lineal es un operador lineal acotado si y sólo si es continua. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y_{b}}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X_{b}\to Y}$

Además, si es bornológico, es Hausdorff, y es un mapa lineal continuo, entonces también lo es. Si además también es ultrabornológico, entonces la continuidad de implica la continuidad de dónde está el espacio ultrabornológico asociado con ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{b}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{ub},}$ ${\displaystyle Y_{ub}}$ ${\displaystyle Y.}$

Espacios cuasibornológicos

Los espacios cuasibornológicos fueron introducidos por S. Iyahen en 1968. ^[6]

Un espacio vectorial topológico (TVS) con un dual continuo se denomina espacio cuasibornológico ^[6] si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. Cada operador lineal acotado desde otro TVS es continuo . ^[6] ${\displaystyle X}$
2. Cada operador lineal acotado desde un TVS metrizable completo es continuo. ^{[6] [7]} ${\displaystyle X}$
3. Cada nudo en una cuerda bornívora es una vecindad del origen. ^[6]

Todo TVS pseudometrizable es cuasibornológico. ^[6] Un TVS en el que cada conjunto bornívoro es un barrio del origen es un espacio cuasi-bornológico. ^[8] Si se trata de un TVS cuasi-bornológico, entonces la topología localmente convexa más fina es más basta que la que se convierte en un espacio bornológico localmente convexo. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

Espacio bornológico

En análisis funcional, un espacio vectorial topológico localmente convexo es un espacio bornológico si su topología puede recuperarse de su bornología de forma natural.

Todo espacio cuasibornológico localmente convexo es bornológico, pero existen espacios bornológicos que no son cuasibornológicos. ^[6]

Un espacio vectorial topológico (TVS) con un dual continuo se denomina espacio bornológico si es localmente convexo y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. Todo conjunto convexo, equilibrado y bornívoro es vecino de cero. ^[4] ${\displaystyle X}$
2. Todo operador lineal acotado desde un TVS localmente convexo es continuo . ^[4] ${\displaystyle X}$
   • Recuerde que un mapa lineal está acotado si y sólo si asigna cualquier secuencia que converge en el dominio a un subconjunto acotado del codominio. ^[4] En particular, cualquier aplicación lineal que sea secuencialmente continua en el origen está acotada. ${\displaystyle 0}$
3. Todo operador lineal acotado desde un espacio seminormado es continuo. ^[4] ${\displaystyle X}$
4. Todo operador lineal acotado desde un espacio de Banach es continuo. ^[4] ${\displaystyle X}$

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista: ^[7] ${\displaystyle X}$

5. La topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann es la misma que la topología dada por. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X}$
6. Toda seminorma acotada es continua. ^[4] ${\displaystyle X}$
7. Cualquier otra topología de espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff que tenga la misma bornología (von Neumann) es necesariamente más burda que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau .}$
8. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de espacios normados. ^[4]
9. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de los espacios normados según varía sobre los discos cerrados y acotados de (o según varía sobre los discos acotados de ). ^[4] ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$lleva la topología de Mackey y todas las funciones lineales acotadas son continuas. ^[4] ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$ ${\displaystyle X}$
11. ${\displaystyle X}$tiene las dos propiedades siguientes:
    • ${\displaystyle X}$es secuencial convexo o secuencial C , lo que significa que cada subconjunto convexo secuencialmente abierto de es abierto, ${\displaystyle X}$
    • ${\displaystyle X}$es secuencialmente bornológico o S-bornológico , lo que significa que cada subconjunto convexo y bornívoro de es secuencialmente abierto. ${\displaystyle X}$
    donde un subconjunto de se llama secuencialmente abierto si cada secuencia que converge eventualmente pertenece a ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A.}$

Todo operador lineal secuencialmente continuo desde un espacio bornológico localmente convexo hasta un TVS localmente convexo es continuo, ^[4] donde recordemos que un operador lineal es secuencialmente continuo si y sólo si es secuencialmente continuo en el origen. Así, para mapas lineales desde un espacio bornológico a un espacio localmente convexo, la continuidad es equivalente a la continuidad secuencial en el origen. De manera más general, incluso tenemos los siguientes:

• Cualquier aplicación lineal de un espacio bornológico localmente convexo a un espacio localmente convexo que asigne secuencias nulas a subconjuntos acotados de es necesariamente continua. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Condiciones suficientes

Teorema de Mackey-Ulam ^[9]  -  El producto de una colección de espacios bornológicos localmente convexos es bornológico si y sólo si no admite una medida de Ulam . ${\displaystyle X_{\bullet }=(X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$

Como consecuencia del teorema de Mackey-Ulam, "a todos los efectos prácticos, el producto de espacios bornológicos es bornológico". ^[9]

Los siguientes espacios vectoriales topológicos son todos bornológicos:

• Cualquier TVS pseudometrizable localmente convexo es bornológico. ^{[4] [10]}
  • Por tanto, todo espacio normado y espacio de Fréchet es bornológico.
• Cualquier límite inductivo estricto de espacios bornológicos, en particular cualquier espacio LF estricto , es bornológico.
  • Esto demuestra que existen espacios bornológicos que no son metrizables.
• Un producto contable de espacios bornológicos localmente convexos es bornológico. ^{[11] [10]}
• Los cocientes de espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff son bornológicos. ^[10]
• La suma directa y el límite inductivo de los espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff son bornológicos. ^[10]
• Los espacios de Fréchet Montel tienen duales bornológicos fuertes .
• El dual fuerte de todo espacio reflexivo de Fréchet es bornológico. ^[12]
• Si el dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable es separable , entonces es bornológico. ^[12]
• Un subespacio vectorial de un espacio bornológico localmente convexo de Hausdorff que tiene codimensión finita es bornológico. ^{[4] [10]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• La topología localmente convexa más fina en un espacio vectorial es bornológica. ^[4]

Contraejemplos

Existe un espacio LB bornológico cuyo bidual fuerte no es bornológico. ^[13]

Un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo no es necesariamente bornológico. ^{[4] [14]} Existe un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo que es completo (y por lo tanto secuencialmente completo) pero no tiene forma de cañón ni es bornológico. ^[4]

Los espacios bornológicos no necesitan ser en forma de barril y los espacios en forma de barril no necesitan ser bornológicos. ^[4] Debido a que cada espacio ultrabornológico localmente convexo está en forma de barril, ^[4] se deduce que un espacio bornológico no es necesariamente ultrabornológico.

Propiedades

• El fuerte espacio dual de un espacio bornológico localmente convexo está completo . ^[4]
• Todo espacio bornológico localmente convexo está infrabarrilado . ^[4]
• Cada TVS bornológico secuencialmente completo de Hausdorff es ultrabornológico . ^[4]
  • Así, todo espacio bornológico completo de Hausdorff es ultrabornológico.
  • En particular, todo espacio de Fréchet es ultrabornológico. ^[4]
• El producto finito de espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico. ^[4]
• Todo espacio bornológico de Hausdorff es casi un cañón . ^[15]
• Dado un espacio bornológico con dual continuo, la topología de coincide con la topología de Mackey. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime }).}$
  • En particular, los espacios bornológicos son espacios Mackey .
• Todo espacio bornológico cuasi completo (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados son completos) está en barril . Existen, sin embargo, espacios bornológicos que no están cerrados.
• Todo espacio bornológico es el límite inductivo de los espacios normados (y de los espacios de Banach si el espacio también es cuasi completo).
• Sea un espacio localmente convexo metrizable con dual continuo. Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
  1. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$es bornológico.
  2. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$es casi de cañón .
  3. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$está en cañón .
  4. ${\displaystyle X}$Es un espacio distinguido .
• Si es una aplicación lineal entre espacios localmente convexos y si es bornológica, entonces las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$
  1. ${\displaystyle L:X\to Y}$es continuo.
  2. ${\displaystyle L:X\to Y}$es secuencialmente continuo. ^[4]
  3. Porque todo conjunto acotado está acotado. ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(B)}$
  4. Si es una secuencia nula en entonces es una secuencia nula en ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
  5. Si es una secuencia nula convergente de Mackey, entonces es un subconjunto acotado de ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
• Supongamos que y son TVS localmente convexos y que el espacio de aplicaciones lineales continuas está dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de If es un espacio bornológico y if es completo , entonces es un TVS completo. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • En particular, el dual fuerte de un espacio bornológico localmente convexo está completo. ^[4] Sin embargo, no tiene por qué ser bornológico.

Subconjuntos

• En un espacio bornológico localmente convexo, cada conjunto bornívoro convexo es una vecindad de ( no es necesario que sea un disco). ^[4] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B}$
• Cada subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es una vecindad del origen. ^[4]
• Los subespacios vectoriales cerrados del espacio bornológico no tienen por qué ser bornológicos. ^[4]

Espacios ultrabornológicos

Un disco en un espacio vectorial topológico se llama infrabornívoro si absorbe todos los discos de Banach . ${\displaystyle X}$

Si es localmente convexo y Hausdorff, entonces un disco es infrabornívoro si y sólo si absorbe todos los discos compactos. ${\displaystyle X}$

Un espacio localmente convexo se denomina ultrabornológico si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Todo disco infrabornívoro es una vecindad del origen.
2. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de los espacios que varía en todos los discos compactos en ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$
3. Una seminorma que está acotada en cada disco de Banach es necesariamente continua. ${\displaystyle X}$
4. Para cada espacio localmente convexo y cada aplicación lineal, si está acotada en cada disco de Banach, entonces es continua. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$
5. Para cada espacio de Banach y cada mapa lineal, si está acotado en cada disco de Banach, entonces es continuo. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Propiedades

El producto finito de los espacios ultrabornológicos es ultrabornológico. Los límites inductivos de los espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.

Ver también

• Bornología  : generalización matemática de la acotación
• Conjunto bornívoro  : un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado.
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  - Generalización de la acotación
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio de mapas lineales.
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía
• Bornología vectorial

Referencias

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2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
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4. Narici & Beckenstein 2011, págs.
5. Swartz 1992, págs. 15-16.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs.
7. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs.
8. Wilansky 2013, pag. 48.
9. Narici y Beckenstein 2011, pag. 450.
10. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs.
11. Narici y Beckenstein 2011, pag. 453.
12. Schaefer y Wolff 1999, pág. 144.
13. Khaleelulla 1982, págs. 28–63.
14. Schaefer y Wolff 1999, págs. 103-110.
15. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs. 70–73.

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