Topología final

La mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas

En topología general y áreas relacionadas de las matemáticas , la topología final ^[1] (o topología coinducida ^[2], débil , colimita o inductiva [ ^3] ) de un conjunto con respecto a una familia de funciones de espacios topológicos en es la topología más fina que hace que todas esas funciones sean continuas . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

La topología cociente en un espacio cociente es una topología final, con respecto a una única función sobreyectiva, a saber, la función cociente. La topología de unión disjunta es la topología final con respecto a las funciones de inclusión . La topología final es también la topología con la que está dotado todo límite directo en la categoría de espacios topológicos , y es en el contexto de límites directos donde a menudo aparece la topología final. Una topología es coherente con alguna colección de subespacios si y solo si es la topología final inducida por las inclusiones naturales.

La noción dual es la topología inicial , que para una familia dada de funciones de un conjunto en espacios topológicos es la topología más burda que hace que esas funciones sean continuas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definición

Dado un conjunto y una familia indexada de espacios topológicos con funciones asociadas, la topología final inducida por la familia de funciones es la topología más fina tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$ $${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$$

es continua para cada . ${\displaystyle i\in I}$

Explícitamente, la topología final puede describirse de la siguiente manera:

un subconjunto de está abierto en la topología final (es decir, ) si y solo si está abierto en para cada . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle U\in \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$

Los subconjuntos cerrados tienen una caracterización análoga:

un subconjunto de está cerrado en la topología final si y solo si está cerrado en para cada . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(C)}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$

La familia de funciones que induce la topología final en es normalmente un conjunto de funciones. Pero se puede realizar la misma construcción si es una clase propia de funciones, y el resultado sigue estando bien definido en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . En ese caso, siempre hay una subfamilia de con un conjunto, de modo que las topologías finales en inducidas por y por coinciden. Para más información sobre esto, véase, por ejemplo, la discusión aquí. ^[4] Como ejemplo, una variante comúnmente utilizada de la noción de espacio generado de forma compacta se define como la topología final con respecto a una clase propia de funciones. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Ejemplos

El caso especial importante en el que la familia de funciones consta de una única función sobreyectiva se puede caracterizar completamente utilizando la noción de función cociente . Una función sobreyectiva entre espacios topológicos es una función cociente si y solo si la topología en coincide con la topología final inducida por la familia . En particular: la topología cociente es la topología final en el espacio cociente inducida por la función cociente . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:(Y,\upsilon )\to \left(X,\tau \right)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f\}}$

La topología final de un conjunto inducida por una familia de mapas con valores puede verse como una generalización de largo alcance de la topología cociente, donde se pueden utilizar múltiples mapas en lugar de solo uno y donde no se requiere que estos mapas sean sobreyecciones. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Dados espacios topológicos , la topología de unión disjunta en la unión disjunta es la topología final en la unión disjunta inducida por las inyecciones naturales. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$

Dada una familia de topologías en un conjunto fijo, la topología final en con respecto a los mapas de identidad como rangos sobre lo llamamos el ínfimo (o encuentro) de estas topologías en la red de topologías en Es decir, la topología final es igual a la intersección ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{\tau _{i}}:\left(X,\tau _{i}\right)\to X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\textstyle \tau =\bigcap _{i\in I}\tau _{i}.}$

Dado un espacio topológico y una familia de subconjuntos de cada uno que tiene la topología del subespacio , la topología final inducida por todos los mapas de inclusión del en es más fina que (o igual a) la topología original en El espacio se llama coherente con la familia de subespacios si la topología final coincide con la topología original En ese caso, un subconjunto estará abierto en exactamente cuando la intersección esté abierta en para cada (consulte el artículo sobre topología coherente para obtener más detalles sobre esta noción y más ejemplos). Como caso particular, una de las nociones de espacio generado de forma compacta se puede caracterizar como una determinada topología coherente. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

El límite directo de cualquier sistema directo de espacios y aplicaciones continuas es el límite directo de la teoría de conjuntos junto con la topología final determinada por los morfismos canónicos. Explícitamente, esto significa que si es un sistema directo en la categoría Top de los espacios topológicos y si es un límite directo de en la categoría Conjunto de todos los conjuntos , entonces al dotarlo de la topología final inducida por se convierte en el límite directo de en la categoría Top . ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}=\left(Y_{i},f_{ji},I\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\},}$ ${\displaystyle \left(\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right),\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$

El espacio étalé de un haz está topologizado por una topología final.

Un espacio de Hausdorff con primer orden de numeración es localmente conexo por caminos si y solo si es igual a la topología final inducida por el conjunto de todos los mapas continuos , donde cualquier mapa de este tipo se denomina camino en ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\left([0,1];X\right)}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ),}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Si un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es un espacio de Fréchet-Urysohn , entonces es igual a la topología final en inducida por el conjunto de todos los arcos en los que por definición hay caminos continuos que también son incrustaciones topológicas . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )}$

Propiedades

Caracterización mediante mapas continuos

Dadas funciones de espacios topológicos del conjunto , la topología final con respecto a estas funciones satisface la siguiente propiedad: ${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}}$

Una función de un espacio a otro es continua si y sólo si es continua para cada ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g\circ f_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Propiedad característica de la topología final

Esta propiedad caracteriza la topología final en el sentido de que si una topología en satisface la propiedad anterior para todos los espacios y todas las funciones , entonces la topología en es la topología final con respecto a la ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g:X\to Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Comportamiento bajo composición

Supongamos que es una familia de mapas y para cada topología en es la topología final inducida por alguna familia de mapas valorada en . Entonces la topología final en inducida por es igual a la topología final en inducida por los mapas ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:Y_{i}\to X\mid i\in I\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \upsilon _{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\circ g~:~i\in I{\text{ and }}g\in {\cal {G_{i}}}\right\}.}$

En consecuencia: si es la topología final inducida por la familia y si es cualquier mapa sobreyectivo valorado en algún espacio topológico entonces es un mapa cociente si y solo si tiene la topología final inducida por los mapas ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \pi :X\to (S,\sigma )}$ ${\displaystyle (S,\sigma ),}$ ${\displaystyle \pi :\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)\to (S,\sigma )}$ ${\displaystyle (S,\sigma )}$ ${\displaystyle \left\{\pi \circ f_{i}~:~i\in I\right\}.}$

Por la propiedad universal de la topología de unión disjunta sabemos que dada cualquier familia de aplicaciones continuas existe una única aplicación continua que es compatible con las inyecciones naturales. Si la familia de aplicaciones cubre (es decir, cada una se encuentra en la imagen de algún ), entonces la aplicación será una aplicación cociente si y solo si tiene la topología final inducida por las aplicaciones ${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$ $${\displaystyle f:\coprod _{i}Y_{i}\to X}$$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Efectos del cambio de familia de mapas

En todas partes, sea una familia de mapas con valores en donde cada mapa tiene la forma y sea la topología final en inducida por La definición de la topología final garantiza que para cada índice el mapa es continuo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$

Para cualquier subconjunto, la topología final de será más fina que (y posiblemente igual a) la topología ; es decir, implica que la igualdad de conjuntos podría cumplirse incluso si es un subconjunto propio de ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Si hay una topología en tal que y es continua para cada índice, entonces debe ser estrictamente más burda que (lo que significa que y esto se escribirá ) y, además, para cualquier subconjunto, la topología también será estrictamente más burda que la topología final que induce en (porque ); es decir, ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \neq \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to (X,\tau )}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau \neq \tau _{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle \tau \subsetneq \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau \subsetneq \tau _{\mathcal {S}}.}$

Supongamos que además, es una familia indexada de mapas -valuados cuyos dominios son espacios topológicos. Si cada es continuo, entonces agregar estos mapas a la familia no cambiará la topología final en es decir, Explícitamente, esto significa que la topología final en inducida por la "familia extendida" es igual a la topología final inducida por la familia original. Sin embargo, si en cambio hubiera existido incluso un solo mapa tal que no fuera continuo, entonces la topología final en inducida por la "familia extendida" sería necesariamente más burda que la topología final inducida por es decir, (ver esta nota al pie ^{[nota 1]} para una explicación). ${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\left\{g_{a}:a\in A\right\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g_{a}:Z_{a}\to X}$ ${\displaystyle \left(Z_{a},\zeta _{a}\right).}$ ${\displaystyle g_{a}:\left(Z_{a},\zeta _{a}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\left\{f_{i}:i\in I\right\}.}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}\subsetneq \tau _{\mathcal {F}}}$

Topología final sobre el límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita

Sea α el espacio de sucesiones finitas , donde α es el espacio de todas las sucesiones reales . Para cada número natural sea el espacio euclidiano usual dotado de la topología euclidiana y sea la función de inclusión definida por de modo que su imagen sea y en consecuencia, $${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }~:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$ $${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$$ $${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$$

Dotar al conjunto con la topología final inducida por la familia de todas las funciones de inclusión. Con esta topología, se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial localmente convexo de Hausdorff completo que no es un espacio de Fréchet–Urysohn . La topología es estrictamente más fina que la topología de subespacio inducida en por donde está dotada de su topología de producto habitual . Dotar a la imagen con la topología final inducida en ella por la biyección , es decir, está dotada de la topología euclidiana transferida a ella desde a través de Esta topología en es igual a la topología de subespacio inducida en ella por Un subconjunto es abierto (respectivamente, cerrado) en si y solo si para cada el conjunto es un subconjunto abierto (respectivamente, cerrado) de La topología es coherente con la familia de subespacios Esto hace que en un LB-espacio . En consecuencia, si y es una secuencia en entonces en si y solo si existe alguno tal que tanto y están contenidos en y en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

A menudo, para cada mapa de inclusión se utiliza para identificar con su imagen de forma explícita, los elementos y se identifican juntos. Bajo esta identificación, se convierte en un límite directo del sistema directo donde para cada mapa es el mapa de inclusión definido por donde hay ceros finales. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ ${\displaystyle m\leq n,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$ ${\displaystyle n-m}$

Descripción categórica

En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción topológica final puede describirse de la siguiente manera. Sea un funtor de una categoría discreta a la categoría de espacios topológicos Top que selecciona los espacios para Sea el funtor diagonal de Top a la categoría de funtores Top ^J (este funtor envía cada espacio al funtor constante a ). La categoría de coma es entonces la categoría de coconos de es decir, objetos en son pares donde es una familia de mapas continuos a Si es el funtor olvidadizo de Top a Set y Δ′ es el funtor diagonal de Set a Set ^J entonces la categoría de coma es la categoría de todos los coconos de La construcción topológica final puede entonces describirse como un funtor de a Este funtor es adjunto por izquierda al funtor olvidadizo correspondiente. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in J.}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle f=(f_{i}:Y_{i}\to X)_{i\in J}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta ).}$

Véase también

• Límite directo  : caso especial de colimite en la teoría de categorías
• Topología inducida  – Topología heredadaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Topología inicial  : topología más burda que hace que ciertas funciones sean continuas
• Espacio LB
• Espacio LF  – Espacio vectorial topológico

Notas

1. Por definición, que la función no sea continua significa que existe al menos un conjunto abierto tal que no sea abierto en En cambio, por definición de la topología final, la función debe ser continua. Por lo tanto, la razón por la que debe ser estrictamente más burda, en lugar de estrictamente más fina, es porque el hecho de que la función no sea continua requiere que uno o más subconjuntos abiertos de deban ser "eliminados" para que se vuelva continua. Por lo tanto, es justo que algunos conjuntos abiertos sean "eliminados" de ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle U\in \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}^{-1}(U)}$ ${\displaystyle \left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right).}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup \{g_{a_{0}}\}},}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{{\mathcal {F}}\cup \{g_{a_{0}}\}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup \{g_{a_{0}}\}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}.}$

Citas

1. Bourbaki, Nicolas (1989). Topología general . Berlín: Springer-Verlag. p. 32. ISBN. 978-3-540-64241-1.
2. Singh, Tej Bahadur (5 de mayo de 2013). Elementos de topología. CRC Press. ISBN 9781482215663. Recuperado el 21 de julio de 2020 .
3. Császár, Ákos (1978). Topología general . Bristol [Inglaterra]: A. Hilger. pag. 317.ISBN​ 0-85274-275-4.
4. "Problemas teóricos de conjuntos en la definición del espacio k o la topología final con respecto a una clase adecuada de funciones". Intercambio de pila de matemáticas .
5. Brown 2006, Sección 5.9, pág. 182.

Referencias

• Brown, Ronald (junio de 2006). Topología y grupoides . North Charleston: CreateSpace. ISBN 1-4196-2722-8.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Serie Addison-Wesley en matemáticas. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 9780201087079.Zbl 0205.26601  .( Proporciona una introducción general breve en la sección 9 y el ejercicio 9H)
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .