Teorema de categorías de Baire

En espacios topológicos donde la intersección de un número contable de conjuntos abiertos densos es densa

El teorema de categorías de Baire ( BCT ) es un resultado importante en topología general y análisis funcional . El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales proporciona condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire (un espacio topológico tal que la intersección de un número contable de conjuntos abiertos densos sigue siendo densa). Se utiliza en la demostración de resultados en muchas áreas de análisis y geometría , incluidos algunos de los teoremas fundamentales del análisis funcional .

Las primeras versiones del teorema de la categoría de Baire fueron demostradas independientemente en 1897 por Osgood para la línea real y en 1899 por Baire ^[1] para el espacio euclidiano . ^[2] La afirmación más general para espacios completamente metrizables fue demostrada por primera vez por Hausdorff ^[3] en 1914. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Declaración

Un espacio de Baire es un espacio topológico en el que cada intersección contable de conjuntos densos abiertos es densa en Consulte el artículo correspondiente para obtener una lista de caracterizaciones equivalentes, ya que algunas son más útiles que otras dependiendo de la aplicación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

• ( BCT1 ) Todo espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. ^{[4] [5] [6]} En particular, todo espacio topológico completamente metrizable es un espacio de Baire. ^[7]
• ( BCT2 ) Todo espacio regular localmente compacto es un espacio de Baire. ^{[4] [8]} En particular, todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire. ^{[9] [7]}

Ninguna de estas afirmaciones implica directamente a la otra, ya que hay espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la métrica definida a continuación; también, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita ), y hay espacios de Hausdorff localmente compactos que no son metrizables (por ejemplo, cualquier producto incontable de espacios de Hausdorff compactos no triviales; también, varios espacios funcionales utilizados en el análisis funcional; el incontable espacio de Fort ). Véase Steen y Seebach en las referencias a continuación.

Relación con el axioma de elección

La prueba de BCT1 para espacios métricos completos arbitrarios requiere alguna forma del axioma de elección ; y de hecho, BCT1 es equivalente sobre ZF al axioma de elección dependiente , una forma débil del axioma de elección. ^[10]

Una forma restringida del teorema de categoría de Baire, en la que también se supone que el espacio métrico completo es separable , se puede demostrar en ZF sin principios de elección adicionales. ^[11] Esta forma restringida se aplica en particular a la línea real , el espacio de Baire , el espacio de Cantor y un espacio de Hilbert separable como el -espacio . ${\displaystyle \omega ^{\omega },}$ ${\displaystyle 2^{\omega },}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Usos

BCT1 se utiliza en el análisis funcional para demostrar el teorema de mapeo abierto , el teorema de gráfico cerrado y el principio de acotación uniforme .

BCT1 también muestra que todo espacio métrico completo no vacío sin punto aislado es incontable . (Si es un espacio métrico contable no vacío sin punto aislado, entonces cada singleton en no es denso en ninguna parte y es magro en sí mismo). En particular, esto prueba que el conjunto de todos los números reales es incontable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

BCT1 muestra que cada uno de los siguientes es un espacio de Baire:

• El espacio de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Los números irracionales , con la métrica definida por donde es el primer índice para el cual difieren las expansiones en fracciones continuas de y (este es un espacio métrico completo) ${\displaystyle d(x,y)={\tfrac {1}{n+1}},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• El conjunto de Cantor

Por BCT2 , toda variedad de Hausdorff de dimensión finita es un espacio de Baire, ya que es localmente compacta y de Hausdorff. Esto es así incluso para variedades no paracompactas (y, por lo tanto, no metrizables) como la línea larga .

La BCT se utiliza para demostrar el teorema de Hartogs , un resultado fundamental en la teoría de varias variables complejas.

BCT1 se utiliza para demostrar que un espacio de Banach no puede tener una dimensión infinita contable.

Prueba

( BCT1 ) La siguiente es una prueba estándar de que un espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. ^[6] ${\displaystyle X}$

Sea una colección numerable de subconjuntos abiertos densos. Queremos demostrar que la intersección es densa. Un subconjunto es denso si y solo si todo subconjunto abierto no vacío lo interseca. Por lo tanto, para demostrar que la intersección es densa, basta con demostrar que todo subconjunto abierto no vacío de tiene algún punto en común con todos los . Como es denso, interseca en consecuencia, existe un punto y un número tales que: donde y denotan una bola abierta y cerrada, respectivamente, centradas en con radio Como cada una es densa, esta construcción puede continuar recursivamente para encontrar un par de sucesiones y tales que: ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U_{1};}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle 0<r_{1}<1}$ $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{1},r_{1}\right)\subseteq W\cap U_{1}}$$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle 0<r_{n}<{\tfrac {1}{n}}}$ $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)\subseteq B\left(x_{n-1},r_{n-1}\right)\cap U_{n}.}$$

(Este paso se basa en el axioma de elección y en el hecho de que una intersección finita de conjuntos abiertos es abierta y, por lo tanto, se puede encontrar una bola abierta dentro de ella centrada en ). La secuencia es de Cauchy porque siempre que y, por lo tanto, converge a algún límite por completitud. Si es un entero positivo, entonces (porque este conjunto es cerrado). Por lo tanto y para todos ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{n}\in B\left(x_{m},r_{m}\right)}$ ${\displaystyle n>m,}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)}$ ${\displaystyle x\in W}$ ${\displaystyle x\in U_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Existe una prueba alternativa que utiliza el juego de Choquet . ^[12]

( BCT2 ) La prueba de que un espacio regular localmente compacto es un espacio de Baire es similar. ^[8] Utiliza los hechos de que (1) en tal espacio cada punto tiene una base local de vecindarios compactos cerrados ; y (2) en un espacio compacto cualquier colección de conjuntos cerrados con la propiedad de intersección finita tiene intersección no vacía. El resultado para espacios de Hausdorff localmente compactos es un caso especial, ya que tales espacios son regulares. ${\displaystyle X}$

Notas

1. Baire, R. (1899). "Sobre las funciones de variables reales". Ana. Di Mat . 3 : 1–123.
2. Bourbaki 1989, Nota histórica, p. 272.
3. Engelking 1989, Notas históricas y bibliográficas de la sección 4.3, pág. 277.
4. Kelley 1975, teorema 34, pág. 200.
5. Narici y Beckenstein 2011, Teorema 11.7.2, p. 393.
6. Schechter 1996, Teorema 20.16, pág. 537.
7. Willard 2004, Corolario 25.4.
8. Schechter 1996, Teorema 20.18, pág. 538.
9. Narici y Beckenstein 2011, Teorema 11.7.3, p. 394.
10. Blair, Charles E. (1977). "El teorema de categorías de Baire implica el principio de elecciones dependientes". Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys . 25 (10): 933–934.
11. Levy 2002, pág. 212.
12. Baker, Matt (7 de julio de 2014). "Números reales y juegos infinitos, parte II: el juego de Choquet y el teorema de categorías de Baire".

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4.OCLC 246032063  .
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 27. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN. 978-0-387-90125-1.OCLC 338047  .
• Levy, Azriel (2002) [Publicado por primera vez en 1979]. Teoría básica de conjuntos (edición reimpresa). Dover. ISBN 0-486-42079-5.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr (1978). Contraejemplos en topología . Nueva York: Springer-Verlag.Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (edición Dover). 
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .

Enlaces externos

• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Baire
• Tao, T. (1 de febrero de 2009). "245B, Notas 9: El teorema de la categoría de Baire y sus consecuencias en el espacio de Banach".