En matemáticas , un espacio de Cantor , llamado así por Georg Cantor , es una abstracción topológica del conjunto de Cantor clásico : un espacio topológico es un espacio de Cantor si es homeomorfo al conjunto de Cantor. En teoría de conjuntos , el espacio topológico 2 ω se denomina "el" espacio de Cantor.
El conjunto de Cantor en sí mismo es un espacio de Cantor. Pero el ejemplo canónico de un espacio de Cantor es el producto topológico infinito numerable del espacio discreto de 2 puntos {0, 1}. Esto se escribe habitualmente como o 2 ω (donde 2 denota el conjunto de 2 elementos {0,1} con la topología discreta ). Un punto en 2 ω es una secuencia binaria infinita, es decir, una secuencia que asume solo los valores 0 o 1. Dada una secuencia de este tipo a 0 , a 1 , a 2 ,..., se puede representar con el número real
Esta aplicación da un homeomorfismo de 2 ω en el conjunto de Cantor, lo que demuestra que 2 ω es de hecho un espacio de Cantor.
Los espacios de Cantor aparecen abundantemente en el análisis real . Por ejemplo, existen como subespacios en cada espacio métrico perfecto y completo . (Para ver esto, note que en un espacio de este tipo, cualquier conjunto perfecto no vacío contiene dos subconjuntos perfectos no vacíos disjuntos de diámetro arbitrariamente pequeño, y por lo tanto se puede imitar la construcción del conjunto de Cantor habitual ). Además, cada espacio incontable , separable y completamente metrizable contiene espacios de Cantor como subespacios. Esto incluye la mayoría de los espacios comunes en el análisis real.
Una caracterización topológica de los espacios de Cantor viene dada por el teorema de Brouwer : [1]
Teorema de Brouwer : Dos espacios de Hausdorff compactos no vacíos sin puntos aislados y que tengan bases contables que consisten en conjuntos clopen son homeomorfos entre sí.
La propiedad topológica de tener una base formada por conjuntos clopen se conoce a veces como " dimensionalidad cero ". El teorema de Brouwer se puede reformular de la siguiente manera:
Teorema : Un espacio topológico es un espacio de Cantor si y solo si es no vacío, perfecto , compacto, totalmente desconectado y metrizable .
Este teorema también es equivalente (a través del teorema de representación de Stone para álgebras de Boole ) al hecho de que dos álgebras de Boole contables sin átomos son isomorfas .
Como se puede esperar del teorema de Brouwer, los espacios de Cantor aparecen en varias formas. Pero muchas propiedades de los espacios de Cantor se pueden establecer utilizando 2 ω , porque su construcción como producto lo hace susceptible de análisis.
Los espacios de Cantor tienen las siguientes propiedades:
Sea C ( X ) el espacio de todas las funciones continuas acotadas y de valor real en un espacio topológico X . Sea K un espacio métrico compacto y Δ el conjunto de Cantor. Entonces, el conjunto de Cantor tiene la siguiente propiedad:
En general, esta isometría no es única y, por lo tanto, no es propiamente una propiedad universal en el sentido categórico .
