Teorema del grafo cerrado

Teorema que relaciona la continuidad con los grafos

La gráfica de la función cúbica en el intervalo es cerrada porque la función es continua . La gráfica de la función de Heaviside en no es cerrada porque la función no es continua. ${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$ ${\displaystyle [-4,4]}$ ${\displaystyle [-2,2]}$

En matemáticas , el teorema del grafo cerrado puede referirse a uno de varios resultados básicos que caracterizan a las funciones continuas en términos de sus gráficos . Cada uno de ellos proporciona condiciones en las que las funciones con gráficos cerrados son necesariamente continuas.

Una publicación del blog de T. Tao ^[1] enumera varios teoremas de gráficos cerrados en toda la matemática.

Gráficos y mapas con gráficos cerrados

Si es una función entre espacios topológicos entonces el grafo de es el conjunto o equivalentemente, se dice que el grafo de es cerrado si es un subconjunto cerrado de (con la topología producto ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,f(x)):x\in X\}}$ $${\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma _{f}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Cualquier función continua en un espacio de Hausdorff tiene un gráfico cerrado (véase § Teorema de gráficos cerrados en topología de conjuntos de puntos)

Cualquier aplicación lineal, entre dos espacios vectoriales topológicos cuyas topologías son (Cauchy) completas con respecto a métricas invariantes de traslación, y si además (1a) es secuencialmente continua en el sentido de la topología del producto, entonces la aplicación es continua y su grafo, Gr L , es necesariamente cerrado. Por el contrario, si es una aplicación lineal de este tipo con, en lugar de (1a), se sabe que el grafo de (1b) es cerrado en el espacio del producto cartesiano , entonces es continua y, por lo tanto, necesariamente secuencialmente continua. ^[2] ${\displaystyle L:X\to Y,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle L}$

Ejemplos de mapas continuos que lo hacennotener un gráfico cerrado

Si es cualquier espacio entonces el mapa identidad es continuo pero su gráfico, que es la diagonal , es cerrado en si y sólo si es Hausdorff. ^[3] En particular, si no es Hausdorff entonces es continuo pero no tiene un gráfico cerrado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ ${\displaystyle \Gamma _{\operatorname {Id} }:=\{(x,x):x\in X\},}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$

Sea α los números reales con la topología euclidiana usual y sea α con la topología indiscreta (donde nótese que no es Hausdorff y que toda función valorada en es continua). Sea α definida por y para todo . Entonces es continua pero su grafo no es cerrado en . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Teorema de grafo cerrado en topología de conjuntos puntuales

En la topología de conjuntos de puntos , el teorema del grafo cerrado establece lo siguiente:

Teorema del grafo cerrado ^[5]  —  Si es una función de un espacio topológico en un espacio de Hausdorff , entonces el grafo de es cerrado si es continuo . Lo contrario es cierto cuando es compacto . (Tenga en cuenta que la compacidad y la Hausdorffidad no se implican entre sí). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

Prueba

Primera parte: solo note que la gráfica de es la misma que la imagen previa donde es la diagonal en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f\times \operatorname {id} _{Y})^{-1}(D)}$ ${\displaystyle D=\{(y,y)\mid y\in Y\}}$ ${\displaystyle Y^{2}}$

Segunda parte:

Para cualquier abierto , verificamos que esté abierto. Por lo tanto, tomamos cualquier , construimos un entorno abierto de , tal que . ${\displaystyle V\subset Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(U)\subset V}$

Como el gráfico de es cerrado, para cada punto de la "línea vertical en x", con , dibuje un rectángulo abierto disjunto del gráfico de . Estos rectángulos abiertos, cuando se proyectan al eje y, cubren el eje y excepto en , por lo que se agrega un conjunto más . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y')}$ ${\displaystyle y'\neq f(x)}$ ${\displaystyle U_{y'}\times V_{y'}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle V}$

Intentar tomar ingenuamente construiría un conjunto que contenga , pero no se garantiza que sea abierto, por lo que utilizamos compacidad aquí. ${\displaystyle U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}}$ ${\displaystyle x}$

Como es compacto, podemos tomar una cobertura abierta finita de como . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}}$

Ahora tomemos . Es un entorno abierto de , ya que es simplemente una intersección finita. Afirmamos que este es el entorno abierto de que queremos. ${\displaystyle U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

Supongamos que no, entonces hay algún rebelde tal que , entonces eso implicaría para algún por cubrimiento abierto, pero entonces , una contradicción ya que se supone que es disjunto del gráfico de . ${\displaystyle x'\in U}$ ${\displaystyle f(x')\not \in V}$ ${\displaystyle f(x')\in V_{y'_{i}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}}$ ${\displaystyle f}$

Si X , Y son espacios de Hausdorff compactos, entonces el teorema también puede deducirse del teorema de aplicación abierta para tales espacios; ver § Relación con el teorema de aplicación abierta.

Los espacios no Hausdorff son poco frecuentes, pero los espacios no compactos son comunes. Un ejemplo de no compacto es la recta real, que permite la función discontinua con grafo cerrado . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ if }}x\neq 0,\\0{\text{ else}}\end{cases}}}$

Además, los operadores lineales cerrados en el análisis funcional (operadores lineales con gráficos cerrados) normalmente no son continuos.

Para funciones con valores establecidos

Teorema de grafo cerrado para funciones con valores conjuntos ^[6]  —  Para un espacio de rango compacto de Hausdorff , una función con valores conjuntos tiene un grafo cerrado si y solo si es hemicontinua superior y F ( x ) es un conjunto cerrado para todos los . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to 2^{Y}}$ ${\displaystyle x\in X}$

En el análisis funcional

Si es un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS), entonces decimos que es un operador cerrado si el gráfico de es cerrado en cuando está dotado de la topología producto. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

El teorema del grafo cerrado es un resultado importante en el análisis funcional que garantiza que un operador lineal cerrado es continuo bajo ciertas condiciones. El resultado original ha sido generalizado muchas veces. Una versión conocida de los teoremas del grafo cerrado es la siguiente.

Teorema ^{[7] [8]}  —  Una función lineal entre dos F-espacios (por ejemplo, espacios de Banach ) es continua si y sólo si su gráfico es cerrado.

El teorema es una consecuencia del teorema de aplicación abierta ; véase § Relación con el teorema de aplicación abierta más abajo (a la inversa, el teorema de aplicación abierta a su vez puede deducirse del teorema de grafo cerrado).

Relación con el teorema de aplicación abierta

A menudo, los teoremas de grafos cerrados se obtienen como corolarios de los teoremas de aplicación abiertos de la siguiente manera. ^{[1] [9]} Sea cualquier aplicación. Entonces se factoriza como ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f:X{\overset {i}{\to }}\Gamma _{f}{\overset {q}{\to }}Y}$.

Ahora bien, es la inversa de la proyección . Por lo tanto, si el teorema de aplicación abierta se cumple para ; es decir, es una aplicación abierta, entonces es continua y luego es continua (como la composición de aplicaciones continuas). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p:\Gamma _{f}\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$

Por ejemplo, el argumento anterior se aplica si es un operador lineal entre espacios de Banach con gráfico cerrado, o si es una función con gráfico cerrado entre espacios compactos de Hausdorff. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Véase también

• Mapa lineal casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Grafo cerrado  – Gráfica de un mapa cerrado en el espacio del productoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador lineal cerrado
• Mapa lineal discontinuo
• Teorema del punto fijo de Kakutani  : Teorema del punto fijo para funciones con valores conjuntos
• Teorema de aplicación abierta (análisis funcional)  : condición para que un operador lineal sea abierto
• Teorema de Ursescu  : generalización del grafo cerrado, aplicación abierta y teorema de acotación uniforme
• Espacio en red  : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y grafos cerrados
• Teorema principal de Zariski  – Teorema de geometría algebraica y álgebra conmutativa

Notas

Referencias

1. https://terrytao.wordpress.com/2012/11/20/the-closed-graph-theorem-in-various-categories/
2. Rudin 1991, pág. 51-52.
3. Rudin 1991, pág. 50.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 459–483.
5. Munkres 2000, págs. 163-172.
6. Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). "Capítulo 17". Análisis de dimensión infinita: Guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer.
7. Schaefer y Wolff 1999, pág. 78.
8. Trèves (2006), pág. 173
9. https://arxiv.org/abs/2403.03904

Bibliografía

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• "Demostración del teorema del grafo cerrado". PlanetMath .