Propiedad de gráfico cerrado

En matemáticas , particularmente en análisis funcional y topología , el grafo cerrado es una propiedad de las funciones . ^[1]^[2] Una función $f : X \to Y$ entre espacios topológicos tiene un grafo cerrado si su grafo es un subconjunto cerrado del espacio producto $X \times Y$ . Una propiedad relacionada es el grafo abierto . ^[3]

Esta propiedad se estudia porque existen muchos teoremas, conocidos como teoremas de grafos cerrados , que establecen las condiciones en las que una función con un grafo cerrado es necesariamente continua . Una clase particularmente conocida de teoremas de grafos cerrados son los teoremas de grafos cerrados en el análisis funcional .

Definiciones

Gráficas y funciones con valores conjuntos

Definición y notación : La gráfica de una función

f : X \to Y

es el conjunto

Gr f := { (x, f (x)) : x \in X} = { (x, y) \in X \times Y : y = f (x) }

Notación : Si

Y

es un conjunto, entonces el conjunto potencia de

Y

, que es el conjunto de todos los subconjuntos de

Y

, se denota por

2 Y

𝒫(Y)

Definición : Si

X

Y

son conjuntos, una función con valor de conjunto en

Y

sobre

X

(también llamada multifunción con valor de

Y

sobre

X

) es una función

F

:

X

\to 2

Y

con dominio

X

que tiene valor en

2

Y

. Es decir,

F

es una función sobre

X

tal que para cada

x

\in

X

F

(

x

)

es un subconjunto de

Y

Algunos autores llaman a una función $F : X \to 2 Y$ una función de valor conjunto sólo si satisface el requisito adicional de que $F (x)$ no esté vacía para cada $x \in X$ ; este artículo no requiere esto.

Definición y notación : Si

F : X \to 2 Y

es una función de valor conjunto en un conjunto

Y

, entonces el gráfico de

F

es el conjunto

Gr F := { (x, y) \in X \times Y : y \in F (x) }

Definición : Una función

f : X \to Y

puede identificarse canónicamente con la función de valor conjunto

F : X \to 2 Y

definida por

F (x) := {f (x) }

para cada

x \in X

, donde

F

se denomina función de valor conjunto canónica inducida por (o asociada con)

f

Nótese que en este caso, $Gr f = Gr F$ .

Gráfico abierto y cerrado

Damos la definición más general de cuándo una función con valores $Y$ o una función con valores de conjunto definida en un subconjunto $S$ de $X$ tiene un gráfico cerrado, ya que esta generalidad es necesaria en el estudio de operadores lineales cerrados que están definidos en un subespacio denso $S$ de un espacio vectorial topológico $X$ (y no necesariamente definidos en todo $X$ ). Este caso particular es una de las principales razones por las que las funciones con gráficos cerrados se estudian en el análisis funcional.

Supuestos : En todo momento,

X

Y

son espacios topológicos,

S \subseteq X

, y

f

es una función con valor

Y

o una función con valor conjunto en

S

(es decir,

f : S \to Y

f : S \to 2 Y

X \times Y

siempre estará dotado de la topología de producto .

Definición : ^[4] Decimos que

f

tiene un grafo cerrado en $X \times Y$ si el grafo de

f

Gr f

, es un subconjunto cerrado de

X \times Y

cuando

X \times Y

está dotado de la topología de producto. Si

S = X

o si

X

se desprende del contexto, entonces podemos omitir la escritura "en

X \times Y

Tenga en cuenta que podemos definir un gráfico abierto , un gráfico secuencialmente cerrado y un gráfico secuencialmente abierto de maneras similares.

Observación : Si

g : S \to Y

es una función y

G

es la función de valor conjunto canónico inducida por

g

(es decir,

G : S \to 2 Y

se define por

G (s) := {g (s) }

para cada

s \in S

) entonces, dado que

Gr g = Gr G

g

tiene un grafo cerrado (resp. secuencialmente cerrado, abierto, secuencialmente abierto) en

X \times Y

si y solo si lo mismo es cierto para

G

Mapas cerrables y cierres

Definición : Decimos que la función (resp. función de valor conjunto)

f

es cerrable en $X \times Y$ si existe un subconjunto

D \subseteq X

que contiene

a S

y una función (resp. función de valor conjunto)

F : D \to Y

cuyo gráfico es igual a la clausura del conjunto

Gr f

X \times Y

. Tal

F

se llama clausura de $f$ en $X \times Y$ , se denota por

f

, y necesariamente extiende

f

Supuestos adicionales para mapas lineales : si además, $S$ , $X$ e $Y$ son espacios vectoriales topológicos y $f : S \to Y$ es un mapa lineal , entonces para llamar $a f$ cerrable también requerimos que el conjunto $D$ sea un subespacio vectorial de $X$ y que el cierre de $f$ sea un mapa lineal.

Definición : Si

f

es cerrable en

S

entonces un núcleo o dominio esencial de

f

es un subconjunto

D \subseteq S

tal que el cierre en

X \times Y

del grafo de la restricción

f | D : D \to Y

f

D

es igual al cierre del grafo de

f

X \times Y

(es decir, el cierre de

Gr f

X \times Y

es igual al cierre de

Gr f | D

X \times Y

Mapas cerrados y operadores lineales cerrados

Definición y notación : Cuando escribimos

f : D (f) \subseteq X \to Y

entonces queremos decir que

f

es una función de valor

Y con dominio

D (f)

donde

D (f) \subseteq X

. Si decimos que

f : D (f) \subseteq X \to Y

es cerrada (resp. secuencialmente cerrada ) o tiene un gráfico cerrado (resp. tiene un gráfico secuencialmente cerrado ) entonces queremos decir que el gráfico de

f

es cerrado (resp. secuencialmente cerrado) en

X \times Y

(en lugar de en

D (f) \times Y

Al leer literatura sobre análisis funcional , si $f : X \to Y$ es una función lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS) (por ejemplo, espacios de Banach ), entonces " $f$ está cerrado" casi siempre significará lo siguiente:

Definición : Una función

f : X \to Y

se denomina cerrada si su grafo es cerrado en

X \times Y

. En particular, el término " operador lineal cerrado " casi con certeza se referirá a una función lineal cuyo grafo es cerrado.

De lo contrario, especialmente en la literatura sobre topología de conjuntos de puntos , " $f$ está cerrado" puede significar lo siguiente:

Definición : Una función

f : X \to Y

entre espacios topológicos se denomina función cerrada si la imagen de un subconjunto cerrado de

X

es un subconjunto cerrado de

Y

Estas dos definiciones de "mapa cerrado" no son equivalentes. Si no está claro, se recomienda que el lector compruebe cómo se define "mapa cerrado" en la bibliografía que está leyendo.

Caracterizaciones

En todo caso, sean $X$ e $Y$ espacios topológicos.

Función con gráfico cerrado

Si $f : X \to Y$ es una función entonces las siguientes son equivalentes:

$f$ tiene un gráfico cerrado (en $X \times Y$ );
(definición) la gráfica de $f$ , $Gr f$ , es un subconjunto cerrado de $X \times Y$ ;
para cada x ∈ X y neto x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} en X tal que x _• → x en X , si y ∈ Y es tal que el neto f ( x _• ) := ( f ( x _i )) _{i ∈ I} → y en Y entonces y = f ( x ) ; ^[4]
- Comparemos esto con la definición de continuidad en términos de redes, que recordemos es la siguiente: para cada $x \in X$ y red $x • = (x i) i \in I$ en $X$ tal que $x • \to x$ en $X$ , $f (x •) \to f (x)$ en $Y$ .
- Así, para demostrar que la función $f$ tiene un gráfico cerrado , podemos suponer que $f (x •)$ converge en $Y$ a algún $y \in Y$ (y luego demostrar que $y = f (x)$ ), mientras que para demostrar que $f es continua$ no podemos suponer que $f (x •)$ converge en $Y$ a algún $y \in Y$ y, en cambio, debemos demostrar que esto es cierto (y, además, debemos demostrar más específicamente que $f (x •)$ converge a $f (x)$ en $Y$ ).

y si $Y$ es un espacio de Hausdorff que es compacto , entonces podemos agregar a esta lista:

f

es continua; ^[5]

y si tanto $X$ como $Y$ son espacios contables iniciales , entonces podemos agregar a esta lista:

f

tiene un gráfico secuencialmente cerrado (en

X \times Y

);

Función con gráfico secuencialmente cerrado

Si $f : X \to Y$ es una función entonces las siguientes son equivalentes:

$f$ tiene un gráfico secuencialmente cerrado (en $X \times Y$ );
(definición) la gráfica de $f$ es un subconjunto secuencialmente cerrado de $X \times Y$ ;
para cada $x \in X$ y secuencia $x • = (x i) \infty i = 1$ en $X$ tal que $x • \to x$ en $X$ , si $y \in Y$ es tal que la red $f (x •) := (f (x i)) \infty i = 1 \to y$ en $Y$ entonces $y = f (x)$ ; ^[4]

función de valor conjunto con un gráfico cerrado

Si $F : X \to 2 Y$ es una función de valor conjunto entre los espacios topológicos $X$ e $Y$ , entonces las siguientes son equivalentes:

$F$ tiene un gráfico cerrado (en $X \times Y$ );
(definición) el gráfico de $F$ es un subconjunto cerrado de $X \times Y$ ;

y si $Y$ es compacto y Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista:

F

es hemicontinuo superior y

F (x)

es un subconjunto cerrado de

Y

para todo

x \in X

; ^[6]

y si tanto $X$ como $Y$ son espacios metrizables entonces podemos agregar a esta lista:

para todos

x \in X

y \in Y

, y secuencias

x • = (x i) \infty i = 1

X

y • = (y i) \infty i = 1

Y

tal que

x • \to x

X

y • \to y

Y

, y

y i \in F (x i)

para todo

i

, entonces

y \in F (x)

. ^{[ cita requerida ]}

Caracterizaciones de grafos cerrados (topología general)

En su totalidad, sean y espacios topológicos y esté dotado de la topología del producto. ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización Y}$ $X\veces Y$

Función con gráfico cerrado

Si es una función entonces se dice que tiene un gráfico cerrado si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: $f:X\to Y$

(Definición): El gráfico de es un subconjunto cerrado de $\operatorname {gráfico} f$ ${\estilo de visualización f}$ $X\veces Y.$
Para cada y neto en tal que en si es tal que el neto en entonces ^[4] $x\en X$ $x_{\bullet}=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ ${\estilo de visualización X}$ $x_{\bullet}\to x$ ${\estilo de visualización X,}$ $y\en Y$ $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y$ ${\estilo de visualización Y}$ $y=f(x).$
- Comparemos esto con la definición de continuidad en términos de redes, que recordemos es la siguiente: para cada y red en tal que en en $x\en X$ $x_{\bullet}=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ ${\estilo de visualización X}$ $x_{\bullet}\to x$ ${\estilo de visualización X,}$ $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ $Y.$
- Así, para demostrar que la función tiene un gráfico cerrado, se puede suponer que converge en a algún (y luego demostrar que ) mientras que para demostrar que es continua, no se puede suponer que converge en a algún y, en cambio, se debe demostrar que esto es cierto (y además, se debe demostrar más específicamente que converge a en ). ${\estilo de visualización f}$ $f\left(x_{\bullet }\right)$ ${\estilo de visualización Y}$ $y\en Y$ $y=f(x)$ ${\estilo de visualización f}$ $f\left(x_{\bullet }\right)$ ${\estilo de visualización Y}$ $y\en Y$ $f\left(x_{\bullet }\right)$ ${\estilo de visualización f(x)}$ ${\estilo de visualización Y}$

y si es un espacio compacto de Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista: ${\estilo de visualización Y}$

${\estilo de visualización f}$ es continua. ^[5]

y si ambos son espacios contables iniciales entonces podemos agregar a esta lista: ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización Y}$

${\estilo de visualización f}$ tiene un gráfico secuencialmente cerrado en $X\veces Y.$

Función con gráfico secuencialmente cerrado

Si es una función entonces las siguientes son equivalentes: $f:X\to Y$

${\estilo de visualización f}$ tiene un gráfico secuencialmente cerrado en $X\veces Y.$
Definición: el gráfico de es un subconjunto secuencialmente cerrado de ${\estilo de visualización f}$ $X\veces Y.$
Para cada secuencia y en tal que en si es tal que la red en entonces ^[4] $x\en X$ $x_{\bullet}=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}$ ${\estilo de visualización X}$ $x_{\bullet}\to x$ ${\estilo de visualización X,}$ $y\en Y$ $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to y$ ${\estilo de visualización Y}$ $y=f(x).$

Condiciones suficientes para un grafo cerrado

Si $f : X \to Y$ es una función continua entre espacios topológicos y si $Y$ es de Hausdorff , entonces $f$ tiene un gráfico cerrado en $X \times Y$ . ^[4] Sin embargo, si $f$ es una función entre espacios topológicos de Hausdorff, entonces es posible que $f$ tenga un gráfico cerrado en $X \times Y$ pero no sea continua.

Teoremas de grafos cerrados: Cuando un grafo cerrado implica continuidad

Las condiciones que garantizan que una función con un gráfico cerrado es necesariamente continua se denominan teoremas de grafos cerrados . Los teoremas de grafos cerrados son de particular interés en el análisis funcional , donde hay muchos teoremas que dan condiciones bajo las cuales una función lineal con un gráfico cerrado es necesariamente continua.

Si $f : X \to Y$ es una función entre espacios topológicos cuyo gráfico está cerrado en $X \times Y$ y si $Y$ es un espacio compacto entonces $f : X \to Y$ es continua. ^[4]

Ejemplos

Para ver ejemplos de análisis funcional, consulte operador lineal continuo .

Continuo peronomapas cerrados

Sea $X$ el número real $ℝ$ con la topología euclidiana usual y sea $Y$ el número $ℝ$ con la topología indiscreta (obsérvese que $Y$ no es Hausdorff y que toda función valuada en $Y$ es continua). Sea $f : X \to Y$ definida por $f (0) = 1$ y $f (x) = 0$ para todo $x \neq 0$ . Entonces $f : X \to Y$ es continua pero su grafo no es cerrado en $X \times Y$ . ^[4]
Si $X$ es cualquier espacio, entonces la función identidad $Id : X \to X$ es continua pero su grafo, que es la diagonal $Gr Id := { (x, x) : x \in X}$ , es cerrado en $X \times X$ si y sólo si $X$ es Hausdorff. ^[7] En particular, si $X$ no es Hausdorff, entonces $Id : X \to X$ es continua pero no cerrada.
Si $f : X \to Y$ es una función continua cuyo gráfico no está cerrado, entonces $Y$ no es un espacio de Hausdorff.

Cerrado peronomapas continuos

Sean $X$ e $Y$ los números reales $ℝ$ con la topología euclidiana habitual . Sea $f : X \to Y$ definida por $f (0) = 0$ y $f ( x ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/incógnita⁠$ para todo $x \neq 0$ . Entonces $f : X \to Y$ tiene un grafo cerrado (y un grafo secuencialmente cerrado) en $X \times Y = ℝ 2$ pero no escontinuo (ya que tiene una discontinuidad en $x = 0$ ).^[4]
Sea $X$ el número real $ℝ$ con la topología euclidiana usual , sea $Y$ el $ℝ$ con la topología discreta , y sea $Id : X \to Y$ la función identidad (es decir, $Id(x) := x$ para cada $x \in X$ ). Entonces $Id : X \to Y$ es una función lineal cuyo grafo está cerrado en $X \times Y$ pero claramente no es continuo (ya que los conjuntos singleton son abiertos en $Y$ pero no en $X$ ). ^[4]
Sea $(X, 𝜏)$ una TVS de Hausdorff y sea $𝜐$ una topología vectorial en $X$ que es estrictamente más fina que $𝜏$ . Entonces la función identidad $Id : (X, 𝜏) \to (X, 𝜐)$ es un operador lineal discontinuo cerrado. ^[8]

Véase también

Mapa lineal casi abierto – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
Teorema del grafo cerrado – Teorema que relaciona la continuidad con los grafos
Teorema de grafos cerrados (análisis funcional) : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de grafos
Teorema del punto fijo de Kakutani : Teorema del punto fijo para funciones con valores conjuntos
Teorema de aplicación abierta (análisis funcional) : condición para que un operador lineal sea abierto
Espacio en red : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y grafos cerrados

Referencias

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