Conjunto denso en ninguna parte

Conjunto matemático cuyo cierre tiene el interior vacío.

En matemáticas , un subconjunto de un espacio topológico se llama en ninguna parte denso ^{[1] [2]} o raro ^[3] si su cierre tiene un interior vacío . En un sentido muy amplio, es un conjunto cuyos elementos no están estrechamente agrupados (como lo define la topología del espacio) en ninguna parte. Por ejemplo, los números enteros no son densos en ninguna parte entre los reales , mientras que el intervalo (0, 1) no es denso en ninguna parte.

Una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte se llama conjunto magro . Los conjuntos escasos juegan un papel importante en la formulación del teorema de la categoría de Baire , que se utiliza en la prueba de varios resultados fundamentales del análisis funcional .

Definición

En ninguna parte la densidad puede caracterizarse de maneras diferentes (pero equivalentes). La definición más simple es la de densidad:

Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es denso en otro conjunto si la intersección es un subconjunto denso de no es denso o raro en ninguna parte si no es denso en ningún subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S\cap U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Ampliando la negación de la densidad, es equivalente a requerir que cada conjunto abierto no vacío contenga un subconjunto abierto no vacío disjunto de ^[4]. Es suficiente verificar cualquiera de las condiciones sobre una base para la topología de En particular, la densidad en ninguna parte a menudo se describe como siendo denso en ningún intervalo abierto . ^{[5] [6]} ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición por cierre

La segunda definición anterior equivale a exigir que el cierre no pueda contener ningún conjunto abierto no vacío. ^[7] Esto es lo mismo que decir que el interior del cierre de está vacío; eso es, ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\varnothing .}$^{[8] [9]}

Alternativamente, el complemento de la clausura debe ser un subconjunto denso de ^{[4] [8]} en otras palabras, el exterior de es denso en ${\displaystyle X\setminus \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades

La noción de conjunto denso en ninguna parte es siempre relativa a un espacio circundante dado. Supongamos de dónde se induce la topología subespacial. El conjunto puede no ser denso en ningún lugar pero no en ningún lugar denso. Cabe destacar que un conjunto siempre es denso en su propia topología subespacial. Entonces, si no está vacío, no será denso en ninguna parte como un subconjunto de sí mismo. Sin embargo, se mantienen los siguientes resultados: ^{[10] [11]} ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A}$

• Si no hay ninguna densidad en entonces no hay ninguna densidad en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si está abierto en , entonces no es denso en ninguna parte si y sólo si no es denso en ninguna parte ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es denso en , entonces no es denso en ninguna parte si y sólo si no es denso en ninguna parte ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Un conjunto no es denso en ninguna parte si y sólo si su cierre lo es. ^[1]

Cada subconjunto de un conjunto que no es denso en ninguna parte no es denso en ninguna parte, y una unión finita de conjuntos que no son densos en ninguna parte no es denso en ninguna parte. ^[12] Así, los conjuntos densos en ninguna parte forman un ideal de conjuntos , una noción adecuada de conjunto insignificante . En general, no forman un 𝜎-ideal , ya que los conjuntos escasos , que son las uniones contables de conjuntos no densos en ninguna parte, no tienen por qué ser densos en ninguna parte. Por ejemplo, el conjunto no es nada denso en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

La frontera de todo conjunto abierto y de todo conjunto cerrado es cerrada y en ninguna parte densa. ^{[13] [2]} Un conjunto cerrado no es denso en ninguna parte si y sólo si es igual a su límite, ^[13] si y sólo si es igual al límite de algún conjunto abierto ^[2] (por ejemplo, el conjunto abierto puede tomarse como complemento del conjunto). Un conjunto arbitrario no es denso en ninguna parte si y sólo si es un subconjunto de la frontera de algún conjunto abierto (por ejemplo, el conjunto abierto puede tomarse como el exterior de ). ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

• El conjunto y su cierre no son densos en ninguna parte ya que el cierre tiene el interior vacío. ${\displaystyle S=\{1/n:n=1,2,...\}}$ ${\displaystyle S\cup \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$visto como el eje horizontal en el plano euclidiano no es denso en ninguna parte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$no es denso en ninguna parte, pero los racionales no lo son (son densos en todas partes). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup [(a,b)\cap \mathbb {Q} ]}$no es denso en ninguna parte : es denso en el intervalo abierto y en particular el interior de su cierre es ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle (a,b).}$
• El conjunto vacío no es denso en ninguna parte. En un espacio discreto , el conjunto vacío es el único conjunto que no es denso en ninguna parte. ^[14]
• En un espacio T 1 , cualquier conjunto singleton que no sea un punto aislado no es denso en ninguna parte.
• Un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico es denso o no es denso en ninguna parte. ^[15]

Conjuntos densos en ninguna parte con medida positiva

Un conjunto nada denso no es necesariamente despreciable en todos los sentidos. Por ejemplo, si es el intervalo unitario , no solo es posible tener un conjunto denso de medida de Lebesgue cero (como el conjunto de los racionales), sino que también es posible tener un conjunto denso en ninguna parte con medida positiva. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1],}$

Por ejemplo (una variante del conjunto de Cantor ), elimine de todas las fracciones diádicas , es decir, fracciones de la forma en términos más bajos para enteros positivos y los intervalos alrededor de ellos: dado que para cada una, esto elimina intervalos que suman como máximo el conjunto denso en ninguna parte El resto después de que se hayan eliminado todos esos intervalos tiene una medida de al menos (de hecho, un poco más debido a las superposiciones ^[16] ) y, en cierto sentido, representa la mayor parte del espacio ambiental. Este conjunto no es denso en ninguna parte, ya que es cerrado y tiene una Interior vacío: cualquier intervalo no está contenido en el conjunto ya que se han eliminado las fracciones diádicas. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle a/2^{n}}$ ${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}\right).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/2^{n+1},}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 0.535\ldots }$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Generalizando este método, uno no puede construir en el intervalo unitario en ninguna parte conjuntos densos de cualquier medida menor que aunque la medida no pueda ser exactamente 1 (porque de lo contrario el complemento de su cierre sería un conjunto abierto no vacío con medida cero, lo cual es imposible). ^[17] ${\displaystyle 1,}$

Para otro ejemplo más simple, si hay un subconjunto abierto denso con una medida de Lebesgue finita, entonces es necesariamente un subconjunto cerrado con una medida de Lebesgue infinita que tampoco es denso en ninguna parte (porque su interior topológico está vacío). Un subconjunto tan denso y abierto de medida de Lebesgue finita se construye comúnmente cuando se demuestra que la medida de Lebesgue de los números racionales es. Esto se puede hacer eligiendo cualquier biyección (en realidad es suficiente para que sea simplemente una sobreyección ) y para cada opción. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r>0,}$

$${\displaystyle U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)}$$

de suma de Minkowskisubconjunto F 𝜎 ${\displaystyle f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right):=\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle U_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r.}$

$${\displaystyle S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]}$$

espacio de Baire ${\displaystyle S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus S_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U_{r},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}}$$

subconjunto no exiguosegunda categoríasubconjunto más pequeñocierre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0.}$

Ver también

• Espacio de Baire  – Concepto en topología
• Conjunto Fat Cantor  : conjunto que no es denso en ninguna parte (en particular, no contiene intervalos), pero tiene medida positivaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Conjunto escaso  : subconjunto "pequeño" de un espacio topológico

Referencias

1. Bourbaki 1989, cap. IX, apartado 5.1.
2. Willard 2004, Problema 4G.
3. Narici y Beckenstein 2011, sección 11.5, págs. 387-389.
4. Fremlin 2002, 3A3F (a).
5. Oxtoby, John C. (1980). Medida y categoría (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 1–2. ISBN 0-387-90508-1. Un conjunto no es denso en ninguna parte si no lo es en ningún intervalo.; aunque tenga en cuenta que Oxtoby da más adelante la definición de interior de cierre en la página 40.
6. Natanson, Israel P. (1955). Teoria functsiy veshchestvennoy peremennoy [ Teoría de funciones de una variable real ]. vol. Yo (Capítulos 1-9). Traducido por Boron, Leo F. Nueva York: Frederick Ungar. pag. 88. hdl :2027/mdp.49015000681685. LCCN  54-7420.
7. Steen, Lynn Arthur; Seebach Jr., J. Arthur (1995). Contraejemplos en topología (reedición de Dover de Springer-Verlag, edición de 1978). Nueva York: Dover. pag. 7.ISBN​ 978-0-486-68735-3. Se dice que un subconjunto de no es denso en ninguna parte si no contiene ningún conjunto abierto no vacío de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}.}$
8. Gamelin, Theodore W. (1999). Introducción a la topología (2ª ed.). Mineola: Dover. págs. 36-37. ISBN 0-486-40680-6– a través de ProQuest ebook Central.
9. Rudin 1991, pag. 41.
10. Narici y Beckenstein 2011, Teorema 11.5.4.
11. Haworth y McCoy 1977, Proposición 1.3.
12. Fremlin 2002, 3A3F (c).
13. Narici y Beckenstein 2011, ejemplo 11.5.3 (e).
14. Narici y Beckenstein 2011, ejemplo 11.5.3 (a).
15. Narici y Beckenstein 2011, ejemplo 11.5.3(f).
16. "Algunos conjuntos densos en ninguna parte con medida positiva y una función continua estrictamente monótona con un conjunto denso de puntos con derivada cero".
17. Folland, GB (1984). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones. Nueva York: John Wiley & Sons. pag. 41. hdl :2027/mdp.49015000929258. ISBN 0-471-80958-6.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Fremlin, DH (2002). Teoría de la medida . Lulu.com. ISBN 978-0-9566071-1-9.
• Haworth, RC; McCoy, RA (1977), Baire Spaces, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
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• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
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enlaces externos

• Algunos conjuntos nada densos con medida positiva