La diferencia de Minkowski ( también resta de Minkowski , descomposición de Minkowski o diferencia geométrica ) [1] es la inversa correspondiente, donde produce un conjunto que podría sumarse con B para recuperar A. Este se define como el complemento de la suma de Minkowski del complemento de A con la reflexión de B sobre el origen. [2]
Esta definición permite una relación simétrica entre la suma y la diferencia de Minkowski. Tenga en cuenta que tomar alternativamente la suma y la diferencia con B no es necesariamente equivalente. La suma puede llenar vacíos que la diferencia tal vez no vuelva a abrir, y la diferencia puede borrar pequeñas islas que la suma no puede recrear de la nada.
A veces se utiliza una definición alternativa de la diferencia de Minkowski para calcular la intersección de formas convexas. [3] Esto no es equivalente a la definición anterior y no es una operación inversa de la operación de suma. En su lugar, reemplaza la suma vectorial de la suma de Minkowski con una resta vectorial . Si las dos formas convexas se cruzan, el conjunto resultante contendrá el origen.
Por ejemplo, si tenemos dos conjuntos A y B , cada uno de los cuales consta de tres vectores de posición (informalmente, tres puntos), que representan los vértices de dos triángulos en , con coordenadas
y
entonces su suma de Minkowski es
que comprende los vértices de un hexágono y su centro.
Para la suma de Minkowski, el conjunto cero , que contiene sólo el vector cero , 0, es un elemento identidad : para cada subconjunto S de un espacio vectorial,
El conjunto vacío es importante en la suma de Minkowski, porque el conjunto vacío aniquila todos los demás subconjuntos: para cada subconjunto S de un espacio vectorial, su suma con el conjunto vacío es vacía:
Para otro ejemplo, considere las sumas de Minkowski de bolas abiertas o cerradas en el campo , que son números reales o números complejos. Si la bola cerrada de radio está centrada en entonces para cualquier y también se cumplirá para cualquier escalar tal que el producto sea definido (lo que sucede cuando o ). Si y son todos distintos de cero, entonces se mantendrían las mismas igualdades si se hubiera definido como la bola abierta, en lugar de la bola cerrada, centrada en (la suposición distinta de cero es necesaria porque la bola abierta de radio es el conjunto vacío) . La suma de Minkowski de una bola cerrada y una bola abierta es una bola abierta. De manera más general, la suma de Minkowski de un subconjunto abierto con cualquier otro conjunto será un subconjunto abierto.
Si es la gráfica de y si y es el eje - entonces la suma de Minkowski de estos dos subconjuntos cerrados del plano es el conjunto abierto que consta de todo lo que no sea el eje -. Esto muestra que la suma de Minkowski de dos conjuntos cerrados no es necesariamente un conjunto cerrado. Sin embargo, la suma de Minkowski de dos subconjuntos cerrados será un subconjunto cerrado si al menos uno de estos conjuntos es también un subconjunto compacto .
Cascos convexos de sumas de Minkowski
La suma de Minkowski se comporta bien con respecto a la operación de tomar cascos convexos , como lo muestra la siguiente proposición:
Para todos los subconjuntos no vacíos y de un espacio vectorial real, la casco convexo de su suma de Minkowski es la suma de Minkowski de sus cascos convexos:
Este resultado es válido de manera más general para cualquier colección finita de conjuntos no vacíos:
Si es un conjunto convexo entonces también lo es; además
para cada . Por el contrario, si esta " propiedad distributiva " se cumple para todos los números reales no negativos, entonces el conjunto es convexo. [6]
La figura de la derecha muestra un ejemplo de un conjunto no convexo para el cual
Un ejemplo en dimensión es: Se puede calcular fácilmente eso , pero por lo tanto nuevamente
Las sumas de Minkowski actúan linealmente sobre el perímetro de cuerpos convexos bidimensionales: el perímetro de la suma es igual a la suma de los perímetros. Además, si es (el interior de) una curva de ancho constante , entonces la suma de Minkowski de y de su rotación es un disco. Estos dos hechos se pueden combinar para dar una breve demostración del teorema de Barbier sobre el perímetro de curvas de ancho constante. [7]
Las sumas de Minkowski se utilizan en la planificación del movimiento de un objeto entre obstáculos. Se utilizan para el cálculo del espacio de configuración , que es el conjunto de todas las posiciones admisibles del objeto. En el modelo simple de movimiento de traslación de un objeto en el plano, donde la posición de un objeto puede especificarse únicamente por la posición de un punto fijo de este objeto, el espacio de configuración es la suma de Minkowski del conjunto de obstáculos y los obstáculos móviles. Objeto colocado en el origen y girado 180 grados.
Mecanizado de control numérico (NC)
En el mecanizado de control numérico , la programación de la herramienta NC aprovecha el hecho de que la suma de Minkowski de la pieza de corte con su trayectoria da la forma del corte en el material.
modelado de sólidos 3D
En OpenSCAD, las sumas de Minkowski se utilizan para delinear una forma con otra forma, creando una combinación de ambas formas.
Teoría de la agregación
Las sumas de Minkowski también se utilizan con frecuencia en la teoría de la agregación cuando los objetos individuales que se van a agregar se caracterizan mediante conjuntos. [9] [10]
Para dos polígonos convexos P y Q en el plano con m y n vértices, su suma de Minkowski es un polígono convexo con como máximo m + n vértices y puede calcularse en el tiempo O( m + n ) mediante un procedimiento muy simple, que puede describirse informalmente de la siguiente manera. Supongamos que se dan los bordes de un polígono y la dirección, digamos, en sentido contrario a las agujas del reloj, a lo largo del límite del polígono. Entonces se ve fácilmente que estas aristas del polígono convexo están ordenadas por ángulo polar . Fusionemos las secuencias ordenadas de los bordes dirigidos de P y Q en una única secuencia ordenada S. Imagine que estos bordes son flechas sólidas que se pueden mover libremente manteniéndolas paralelas a su dirección original. Ensamble estas flechas en el orden de la secuencia S uniendo la cola de la siguiente flecha a la punta de la flecha anterior. Resulta que la cadena poligonal resultante será, de hecho, un polígono convexo que es la suma de Minkowski de P y Q.
Otro
Si un polígono es convexo y otro no, la complejidad de su suma de Minkowski es O( nm ). Si ambos son no convexos, su complejidad de suma de Minkowski es O(( mn ) 2 ).
Suma esencial de Minkowski
También existe una noción de suma esencial de Minkowski + e de dos subconjuntos del espacio euclidiano. La suma habitual de Minkowski se puede escribir como
Por tanto, la suma esencial de Minkowski está definida por
Para K y L subconjuntos convexos compactos en , la suma de Minkowski puede describirse mediante la función de soporte de los conjuntos convexos:
Para p ≥ 1, Firey [11] definió la suma L p Minkowski K + p L de conjuntos convexos compactos K y L al contener el origen como
Por la desigualdad de Minkowski , la función h K+ p L es nuevamente homogénea y convexa positiva y, por tanto, la función de soporte de un conjunto convexo compacto. Esta definición es fundamental en la teoría de L p Brunn-Minkowski.
Ver también
Suma de Blaschke : politopo que combina dos politopos más pequeños
Teorema de Brunn-Minkowski - teorema en geometría Pages displaying wikidata descriptions as a fallback, una desigualdad en los volúmenes de las sumas de Minkowski
Convolución : integral que expresa la cantidad de superposición de una función a medida que se desplaza sobre otra.
Suma : conjunto de todas las sumas posibles de un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto BPages displaying wikidata descriptions as a fallback
Zonotopo : poliedro convexo proyectado desde un hipercuboPages displaying short descriptions of redirect targets
Notas
^ Hadwiger, Hugo (1950), "Minkowskische Suma y resta beliebiger Punktmengen und die Theoreme von Erhard Schmidt", Matemáticas. Z. , 53 (3): 210–218, doi :10.1007/BF01175656, S2CID 121604732 , consultado el 12 de enero de 2023
^ Li, Wei (otoño de 2011). Computación basada en GPU de sumas de Minkowski voxelizadas con aplicaciones (Doctor). UC Berkeley . págs. 13-14 . Consultado el 10 de enero de 2023 .
^ Lozano-Pérez, Tomás (febrero de 1983). "Planificación espacial: un enfoque espacial de configuración" (PDF) . Transacciones IEEE en computadoras . C-32 (2): 111. doi :10.1109/TC.1983.1676196. hdl :1721.1/5684. S2CID 18978404 . Consultado el 10 de enero de 2023 .
^ Teorema 3 (páginas 562–563): Krein, M .; Šmulian, V. (1940). "En conjuntos regularmente convexos en el espacio conjugado con un espacio de Banach". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 41 (3): 556–583. doi :10.2307/1968735. JSTOR 1968735. SEÑOR 0002009.
^ Para conocer la conmutatividad de la suma y convexificación de Minkowski , consulte el Teorema 1.1.2 (páginas 2-3) en Schneider; esta referencia analiza gran parte de la literatura sobre los cascos convexos de las sumas de Minkowski en su "Capítulo 3 Adición de Minkowski" (páginas 126-196): Schneider, Rolf (1993). Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. vol. 44. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. xiv+490. ISBN 978-0-521-35220-8. SEÑOR 1216521.
^ Capítulo 1: Schneider, Rolf (1993). Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. vol. 44. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. xiv+490. ISBN 978-0-521-35220-8. SEÑOR 1216521.
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Referencias
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