Polígono convexo

En geometría , un polígono convexo es un polígono que es el límite de un conjunto convexo . Esto significa que el segmento de línea entre dos puntos del polígono está contenido en la unión del interior y el límite del polígono. En particular, es un polígono simple (no autointersecante ). ^[1] De manera equivalente, un polígono es convexo si cada línea que no contiene ninguna arista interseca al polígono en, como máximo, dos puntos.

Un polígono estrictamente convexo es aquel en el que ninguna línea contiene dos de sus aristas. En un polígono convexo, todos los ángulos interiores son menores o iguales a 180 grados, mientras que en un polígono estrictamente convexo todos los ángulos interiores son estrictamente menores a 180 grados.

Propiedades

Las siguientes propiedades de un polígono simple son todas equivalentes a la convexidad:

Todo ángulo interno es menor o igual a 180 grados .
Cada punto de cada segmento de línea entre dos puntos dentro o sobre el límite del polígono permanece dentro o sobre el límite.
El polígono está completamente contenido en un semiplano cerrado definido por cada uno de sus bordes.
Para cada borde, los puntos interiores están todos en el mismo lado de la línea que define el borde.
El ángulo en cada vértice contiene todos los demás vértices en sus aristas y en su interior.
El polígono es la envoltura convexa de sus aristas.

Las propiedades adicionales de los polígonos convexos incluyen:

La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
Un polígono convexo se puede triangular en tiempo lineal mediante una triangulación de abanico , que consiste en sumar diagonales de un vértice a todos los demás vértices.
Teorema de Helly : Para cada conjunto de al menos tres polígonos convexos: si todas las intersecciones de todos los polígonos excepto uno no están vacías, entonces la intersección de todos los polígonos no está vacía.
Teorema de Kerin-Milman : Un polígono convexo es la envoltura convexa de sus vértices. Por lo tanto, está completamente definido por el conjunto de sus vértices y solo se necesitan los vértices del polígono para recuperar la forma completa del polígono.
Teorema de separación de hiperplanos : Dos polígonos convexos cualesquiera que no tengan puntos en común tienen una línea separadora. Si los polígonos son cerrados y al menos uno de ellos es compacto, entonces hay incluso dos líneas separadoras paralelas (con un espacio entre ellas).
Propiedad del triángulo inscrito : De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo con un área máxima cuyos vértices son todos vértices del polígono. ^[2]
Propiedad de los triángulos inscriptos : todo polígono convexo de área puede inscribirse en un triángulo de área como máximo igual a . La igualdad se cumple (exclusivamente) para un paralelogramo . ^[3] ${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización 2A}$
Propiedad de los rectángulos inscritos/inscriptos : Para cada cuerpo convexo en el plano, podemos inscribir un rectángulo en tal que una copia homotética de esté circunscrita alrededor y la razón de homotecia positiva sea como máximo 2 y . ^[4] ${\estilo de visualización C}$ ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización C}$ ${\estilo de visualización R}$ ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización C}$ $0.5{\text{ × Área}}(R)\leq {\text{Área}}(C)\leq 2{\text{ × Área}}(r)$
El ancho medio de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por . Por lo tanto, su ancho es el diámetro de un círculo con el mismo perímetro que el polígono. ^[5] ${\estilo de visualización \pi}$

Todo polígono inscrito en un círculo (de modo que todos los vértices del polígono toquen el círculo), si no se interseca consigo mismo , es convexo. Sin embargo, no todo polígono convexo puede inscribirse en un círculo.

Convexidad estricta

Las siguientes propiedades de un polígono simple son todas equivalentes a la convexidad estricta:

Cada ángulo interno es estrictamente menor a 180 grados.
Todo segmento de línea entre dos puntos en el interior, o entre dos puntos en el límite pero no en el mismo borde, es estrictamente interior al polígono (excepto en sus puntos finales si están en los bordes).
Para cada borde, los puntos interiores y los puntos límite no contenidos en el borde están en el mismo lado de la línea que define el borde.
El ángulo en cada vértice contiene todos los demás vértices en su interior (excepto el vértice dado y los dos vértices adyacentes).

Todo triángulo no degenerado es estrictamente convexo.

Véase también

Curva convexa – Tipo de curva plana
Polígono cóncavo : Polígono simple que no es convexo.
Politopo convexo : envoltura convexa de un conjunto finito de puntos en un espacio euclidiano
Polígono cíclico – Puntos de un círculo común
Curva implícita § Aproximación suave de polígonos convexos
Polígono tangencial : Polígono convexo que contiene un círculo inscrito.

Referencias

^ Definición y propiedades de polígonos convexos con animación interactiva.
^ Chandran, Sharat; Mount, David M. (1992). "Un algoritmo paralelo para triángulos encerrados y envolventes". Revista internacional de geometría computacional y aplicaciones . 2 (2): 191–214. doi :10.1142/S0218195992000123. MR 1168956.
^ Weisstein, Eric W. "Circunscripción de un triángulo". Wolfram Math World .
^ Lassak, M. (1993). "Aproximación de cuerpos convexos mediante rectángulos". Geometriae Dedicata . 47 : 111-117. doi :10.1007/BF01263495. S2CID 119508642.
^ Belk, Jim. "¿Cuál es el ancho promedio de un polígono convexo?". Math Stack Exchange .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Polígonos convexos .

Weisstein, Eric W. "Polígono convexo". MathWorld .
http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
Schorn, Peter; Fisher, Frederick (1994), "I.2 Prueba de la convexidad de un polígono", en Heckbert, Paul S. (ed.), Graphics Gems IV, Morgan Kaufmann (Academic Press), págs. 7–15, ISBN 9780123361554