Teorema de Brunn-Minkowski

En matemáticas , el teorema de Brunn-Minkowski (o desigualdad de Brunn-Minkowski ) es una desigualdad que relaciona los volúmenes (o, de manera más general, las medidas de Lebesgue ) de subconjuntos compactos del espacio euclidiano . La versión original del teorema de Brunn-Minkowski ( Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) se aplicaba a conjuntos convexos; la generalización a conjuntos compactos no convexos que se plantea aquí se debe a Lazar Lyusternik (1935).

Declaración

Sea n ≥ 1 y μ la medida de Lebesgue en R ⁿ . Sean A y B dos subconjuntos compactos no vacíos de R ⁿ . Entonces se cumple la siguiente desigualdad :

${\displaystyle [\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n},}$

donde A + B denota la suma de Minkowski :

${\displaystyle A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.}$

El teorema también es cierto en el contexto en el que sólo se supone que son medibles y no vacíos. ^[1] ${\textstyle A,B,A+B}$

Versión multiplicativa

La forma multiplicativa de la desigualdad de Brunn-Minkowski establece que para todo . ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$ ${\textstyle \lambda \in [0,1]}$

La desigualdad de Brunn-Minkowski es equivalente a la versión multiplicativa.

En una dirección, se utiliza la desigualdad (la exponencial es convexa), que es válida para . En particular, . ${\textstyle \lambda x+(1-\lambda )y\geq x^{\lambda }y^{1-\lambda }}$ ${\textstyle x,y\geq 0,\lambda \in [0,1]}$ ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq (\lambda \mu (A)^{1/n}+(1-\lambda )\mu (B)^{1/n})^{n}\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$

Por el contrario, utilizando la forma multiplicativa, encontramos

${\textstyle \mu (A+B)=\mu (\lambda {\frac {A}{\lambda }}+(1-\lambda ){\frac {B}{1-\lambda }})\geq {\frac {\mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}{\lambda ^{n\lambda }(1-\lambda )^{n(1-\lambda )}}}}$

El lado derecho se maximiza en , lo que da ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{1+e^{C}}},C={\frac {1}{n}}\ln {\frac {\mu (A)}{\mu (B)}}}$

${\textstyle \mu (A+B)\geq (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$.

La desigualdad de Prékopa-Leindler es una generalización funcional de esta versión de Brunn-Minkowski.

Sobre la hipótesis

Medibilidad

Es posible que sea medible según Lebesgue y no lo sea; se puede encontrar un contraejemplo en "Conjuntos de medida cero con suma no medible". Por otro lado, si son mesurables según Borel, entonces es la imagen continua del conjunto de Borel , por lo que es analítico y, por lo tanto, medible. Consulte la discusión en la encuesta de Gardner para obtener más información sobre esto, así como formas de evitar la hipótesis de mensurabilidad. ${\textstyle A,B}$ ${\textstyle A+B}$ ${\textstyle A,B}$ ${\textstyle A+B}$ ${\textstyle A\times B}$

En el caso de que A y B sean compactos, también lo es A + B , siendo la imagen del conjunto compacto bajo la función de adición continua : , por lo que las condiciones de mensurabilidad son fáciles de verificar. ${\textstyle A\times B}$ ${\textstyle +:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

No-vacío

La condición de que ambos no sean vacíos es claramente necesaria. Esta condición no forma parte de las versiones multiplicativas de BM que se indican a continuación. ${\textstyle A,B}$

Pruebas

Damos dos pruebas bien conocidas de Brunn-Minkowski.

Corolarios importantes

La desigualdad de Brunn-Minkowski nos brinda información sobre la geometría de cuerpos convexos de alta dimensión. En esta sección esbozamos algunas de esas ideas.

Concavidad de la función radio (teorema de Brunn)

Consideremos un cuerpo convexo . Sean rebanadas verticales de K. Definamos como la función radio; si las rebanadas de K son discos, entonces r(x) da el radio del disco K(x) , hasta una constante. Para cuerpos más generales, esta función radio no parece tener una interpretación geométrica completamente clara más allá de ser el radio del disco obtenido al empaquetar el volumen de la rebanada lo más cerca posible del origen; en el caso en que K(x) no sea un disco, el ejemplo de un hipercubo muestra que la distancia promedio al centro de masa puede ser mucho mayor que r(x). A veces, en el contexto de una geometría convexa, la función radio tiene un significado diferente; aquí seguimos la terminología de esta lección. ${\textstyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle K(x)=K\cap \{x_{1}=x\}}$ ${\textstyle r(x)=\mu (K(x))^{\frac {1}{n-1}}}$

Por la convexidad de K, tenemos que . Aplicando la desigualdad de Brunn-Minkowski obtenemos , siempre que . Esto demuestra que la función radio es cóncava en su soporte, lo que coincide con la intuición de que un cuerpo convexo no se hunde en sí mismo en ninguna dirección. Este resultado a veces se conoce como el teorema de Brunn. ${\textstyle K(\lambda x+(1-\lambda )y)\supseteq \lambda K(x)+(1-\lambda )K(y)}$ ${\textstyle r(K(\lambda x+(1-\lambda )y))\geq \lambda r(K(x))+(1-\lambda )r(K(y))}$ ${\textstyle K(x)\not =\emptyset ,K(y)\not =\emptyset }$

Simetrización de Brunn-Minkowski de un cuerpo convexo

Consideremos nuevamente un cuerpo convexo . Fijemos una línea y para cada sea denotemos el hiperplano afín ortogonal a que pasa por . Definamos, ; como se discutió en la sección anterior, esta función es cóncava. Ahora, sea . Es decir, se obtiene de reemplazando cada rebanada con un disco del mismo volumen dimensional centrado dentro de . La concavidad de la función de radio definida en la sección anterior implica que es convexa. Esta construcción se llama simetrización de Brunn-Minkowski. ${\textstyle K}$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle t\in l}$ ${\textstyle H_{t}}$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle r(t)=Vol(K\cap H_{t})}$ ${\textstyle K'=\bigcup _{t\in l,K\cap H_{t}\not =\emptyset }B(t,r(t))\cap H_{t}}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle H_{t}\cap K}$ ${\textstyle (n-1)}$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle H_{t}}$ ${\textstyle K'}$

Teorema de Grunbaum

Teorema (teorema de Grunbaum): ^[2] Considérese un cuerpo convexo . Sea cualquier semiespacio que contenga el centro de masa de ; es decir, la ubicación esperada de un punto uniforme muestreado de Entonces . ${\textstyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle H}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K.}$ ${\textstyle \mu (H\cap K)\geq ({\frac {n}{n+1}})^{n}\mu (K)\geq {\frac {1}{e}}\mu (K)}$

El teorema de Grunbaum se puede demostrar utilizando la desigualdad de Brunn-Minkowski, específicamente la convexidad de la simetrización de Brunn-Minkowski. ^[3]

La desigualdad de Grunbaum tiene la siguiente interpretación justa de corte de pastel . Supongamos que dos jugadores están jugando a cortar un pastel convexo dimensional. El jugador 1 elige un punto en el pastel y el jugador dos elige un hiperplano para cortar el pastel a lo largo. El jugador 1 recibe entonces el trozo del pastel que contiene su punto. El teorema de Grunbaum implica que si el jugador 1 elige el centro de masas, lo peor que puede hacer un jugador adversario 2 es darle un trozo de pastel con un volumen al menos una fracción del total. En las dimensiones 2 y 3, las dimensiones más comunes para pasteles, los límites dados por el teorema son aproximadamente respectivamente. Nótese, sin embargo, que en dimensiones, calcular el centroide es difícil, ^[4] lo que limita la utilidad de esta estrategia de corte de pastel para criaturas de dimensiones superiores, pero computacionalmente limitadas. ${\textstyle n}$ ${\textstyle 1/e}$ ${\textstyle .444,.42}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \#P}$

Las aplicaciones del teorema de Grunbaum también aparecen en la optimización convexa, específicamente en el análisis del método de convergencia del centro de gravedad. ^[5]

Desigualdad isoperimétrica

Sea α la unidad de bola. Para un cuerpo convexo, K , definamos su área de superficie. Esto concuerda con el significado habitual de área de superficie según la fórmula de Minkowski-Steiner . Consideremos la función . La desigualdad isoperimétrica establece que esto se maximiza en bolas euclidianas. ${\textstyle B=B(0,1)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{2}\leq 1\}}$ ${\textstyle S(K)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\mu (K+\epsilon B)-\mu (K)}{\epsilon }}}$ ${\textstyle c(X)={\frac {\mu (K)^{1/n}}{S(K)^{1/(n-1)}}}}$

Aplicaciones a desigualdades entre volúmenes mixtos

La desigualdad de Brunn-Minkowski se puede utilizar para deducir la siguiente desigualdad , donde el término es un volumen mixto . La igualdad se cumple si y solo si K,L son homotéticos. (Véase el teorema 3.4.3 en el curso de Hug y Weil sobre geometría convexa). ${\textstyle V(K,\ldots ,K,L)^{n}\geq V(K)^{n-1}V(L)}$ ${\textstyle V(K,\ldots ,K,L)}$

Concentración de la medida en la esfera y otras superficies estrictamente convexas

Demostramos el siguiente teorema sobre la concentración de la medida, siguiendo las notas de Barvinok y las notas de Lap Chi Lau. Véase también Concentración de la medida#Concentración en la esfera .

Teorema : Sea la esfera unitaria en . Sea . Defina , donde d se refiere a la distancia euclidiana en . Sea el área de la superficie de la esfera. Entonces, para cualquier tenemos que . ${\textstyle S}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle X\subseteq S}$ ${\textstyle X_{\epsilon }=\{z\in S:d(z,X)\leq \epsilon \}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \epsilon \in (0,1]}$ ${\textstyle {\frac {\nu (X_{\epsilon })}{\nu (S)}}\geq 1-{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}e^{-{\frac {n\epsilon ^{2}}{4}}}}$

La versión de este resultado es válida también para las superficies denominadas estrictamente convexas, en las que el resultado depende del módulo de convexidad . Sin embargo, el concepto de superficie requiere una modificación, véase: las notas antes mencionadas sobre la concentración de la medida de Barvinok.

Observaciones

La prueba del teorema de Brunn-Minkowski establece que la función

${\displaystyle A\mapsto [\mu (A)]^{1/n}}$

es cóncava en el sentido de que, para cada par de subconjuntos compactos no vacíos A y B de R ⁿ y cada 0 ≤ t ≤ 1,

${\displaystyle \left[\mu (tA+(1-t)B)\right]^{1/n}\geq t[\mu (A)]^{1/n}+(1-t)[\mu (B)]^{1/n}.}$

Para los conjuntos convexos A y B de medida positiva, la desigualdad en el teorema es estricta para 0 < t < 1 a menos que A y B sean homotéticos positivos , es decir, sean iguales hasta la traslación y dilatación por un factor positivo.

Ejemplos

Cubos redondeados

Es instructivo considerar el caso en el que hay un cuadrado en el plano y una bola de radio . En este caso, es un cuadrado redondeado y su volumen se puede explicar como los cuatro cuartos de círculo redondeados de radio , los cuatro rectángulos de dimensiones a lo largo de los lados y el cuadrado original. Por lo tanto, . ${\textstyle A}$ ${\textstyle l\times l}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle \epsilon }$ ${\textstyle A+B}$ ${\textstyle \epsilon }$ ${\textstyle l\times \epsilon }$ ${\textstyle \mu (A+B)=l^{2}+4\epsilon l+{\frac {4}{4}}\pi \epsilon ^{2}=\mu (A)+4\epsilon l+\mu (B)\geq \mu (A)+2{\sqrt {\pi }}\epsilon l+\mu (B)=\mu (A)+2{\sqrt {\mu (A)\mu (B)}}+\mu (B)=(\mu (A)^{1/2}+\mu (B)^{1/2})^{2}}$

Este ejemplo también hace alusión a la teoría de volúmenes mixtos , ya que los términos que aparecen en la expansión del volumen de corresponden a las piezas de diferentes dimensiones de A. En particular, si reescribimos Brunn–Minkowski como , vemos que podemos pensar en los términos cruzados de la expansión binomial de este último como explicando, de alguna manera, la representación del volumen mixto de . Este mismo fenómeno también se puede ver para la suma de una caja n -dimensional y una bola de radio , donde los términos cruzados en , hasta constantes, explican los volúmenes mixtos. Esto se precisa para el primer volumen mixto en la sección anterior sobre las aplicaciones a volúmenes mixtos. ${\textstyle A+B}$ ${\textstyle \mu (A+B)\geq (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$ ${\textstyle \mu (A+B)=V(A,\ldots ,A)+nV(B,A,\ldots ,A)+\ldots +{n \choose j}V(B,\ldots ,B,A,\ldots ,A)+\ldots nV(B,\ldots ,B,A)+\mu (B)}$ ${\textstyle l\times l}$ ${\textstyle \epsilon }$ ${\textstyle (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$

Ejemplos en los que el límite inferior es flexible

El lado izquierdo de la desigualdad BM puede ser, en general, mucho mayor que el lado derecho. Por ejemplo, podemos tomar X como el eje x e Y como el eje y dentro del plano; entonces, cada uno tiene medida cero, pero la suma tiene medida infinita. Otro ejemplo lo da el conjunto de Cantor. Si denota el tercio medio del conjunto de Cantor, entonces es un ejercicio de análisis demostrar que . ${\textstyle C}$ ${\textstyle C+C=[0,2]}$

Conexiones con otras partes de las matemáticas

La desigualdad de Brunn-Minkowski sigue siendo relevante para la geometría y el álgebra modernas. Por ejemplo, existen conexiones con la geometría algebraica ^{[6] [7]} y versiones combinatorias sobre el conteo de conjuntos de puntos dentro de la red de números enteros. ^[8]

Véase también

• Desigualdad isoperimétrica
• Desigualdad inversa de Brunn-Minkowski de Milman
• Fórmula de Minkowski-Steiner
• Desigualdad de Prékopa-Leindler
• Desigualdad aleatoria de Brunn-Minkowski de Vitale
• Volumen mixto

Referencias

• Brunn, H. (1887). Über Ovale und Eiflächen . Tesis inaugural, Múnich.
• Fenchel, Werner ; Bonnesen, Tommy (1934). Theorie der konvexen Körper . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 3. Berlín: 1. Verlag von Julius Springer.
• Fenchel, Werner ; Bonnesen, Tommy (1987). Teoría de cuerpos convexos . Moscú, Idaho: L. Boron, C. Christenson y B. Smith. BCS Associates. ISBN 9780914351023.
• Dacorogna, Bernard (2004). Introducción al cálculo de variaciones . Londres: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.
• Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría aplicable , página 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 . 
• Lyusternik, Lazar A. (1935). "Die Brunn – Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias de la URSS . Nueva Serie. III : 55–58.
• Minkowski, Hermann (1896). Geometrie der Zahlen . Leipzig: Teubner.
• Ruzsa, Imre Z. (1997). "La desigualdad de Brunn-Minkowski y los conjuntos no convexos". Geometriae Dedicata . 67 (3): 337–348. doi :10.1023/A:1004958110076. SEÑOR  1475877. S2CID  117749981.
• Rolf Schneider , Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

Referencias

1. Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski". Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 39 (3): págs. 355–405 (electrónico). doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2. ISSN  0273-0979.
2. Grünbaum, B. (1960). "Particiones de distribuciones de masa y de cuerpos convexos por hiperplanos". Revista del Pacífico de Matemáticas . 10 : 1257–1261. MR  0124818.
3. Consulte estas notas de la clase para ver un bosquejo de prueba.
4. Rademacher, Luis (2007). "Aproximar el centroide es difícil". En Erickson, Jeff (ed.). Actas del 23.° Simposio ACM sobre geometría computacional, Gyeongju, Corea del Sur, 6-8 de junio de 2007. págs. 302-305. doi :10.1145/1247069.1247123.
5. Véase el teorema 2.1 en estas notas.
6. GROMOV, M. (1990). "CONJUNTOS CONVEXOS Y VARIEDADES DE KÄHLER". Avances en geometría diferencial y topología . WORLD SCIENTIFIC. pp. 1–38. doi :10.1142/9789814439381_0001. ISBN . 978-981-02-0494-5.
7. Neeb, Karl-Hermann (12 de octubre de 2015). "Geometría de Kaehler, mapas de momento y conjuntos convexos". arXiv : 1510.03289v1 [math.SG].
8. Hernández Cifre, María A.; Iglesias, David; Nicolás, Jesús Yepes (2018). "Sobre una desigualdad de tipo Brunn-Minkowski discreta". Revista SIAM de Matemática Discreta . 32 (3). Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM): 1840–1856. doi :10.1137/18m1166067. ISSN  0895-4801.