En matemáticas , el conjunto Smith-Volterra-Cantor ( SVC ), el conjunto ε-Cantor [1] o el conjunto gordo de Cantor es un ejemplo de un conjunto de puntos en la línea real que no es denso en ninguna parte (en particular, no contiene intervalos ). , aún tiene medida positiva . El conjunto Smith-Volterra-Cantor lleva el nombre de los matemáticos Henry Smith , Vito Volterra y Georg Cantor . En un artículo de 1875, Smith analizó un conjunto de medidas positivas en ninguna parte denso en la recta real, [2] y Volterra presentó un ejemplo similar en 1881. [3] El conjunto de Cantor tal como lo conocemos hoy siguió en 1883. El Smith– El conjunto de Volterra-Cantor es topológicamente equivalente al conjunto de Cantor de tercios medios .
De manera similar a la construcción del conjunto de Cantor , el conjunto de Smith-Volterra-Cantor se construye eliminando ciertos intervalos del intervalo unitario.
El proceso comienza quitando el 1/4 central del intervalo (lo mismo que quitar 1/8 a cada lado del punto medio en 1/2) para que el conjunto restante sea
Los siguientes pasos consisten en eliminar subintervalos de ancho del medio de cada uno de los intervalos restantes. Entonces, para el segundo paso se eliminan los intervalos y , dejando
Siguiendo indefinidamente con esta eliminación, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor es entonces el conjunto de puntos que nunca se eliminan. La siguiente imagen muestra el conjunto inicial y cinco iteraciones de este proceso.
Cada iteración posterior en la construcción del conjunto Smith-Volterra-Cantor elimina proporcionalmente menos de los intervalos restantes. Esto contrasta con el conjunto de Cantor , donde la proporción eliminada de cada intervalo permanece constante. Por tanto, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor tiene medida positiva mientras que el conjunto de Cantor tiene medida cero.
Por construcción, el conjunto Smith-Volterra-Cantor no contiene intervalos y, por tanto, tiene un interior vacío. También es la intersección de una secuencia de conjuntos cerrados , lo que significa que es cerrada. Durante el proceso, intervalos de longitud total
En general, se puede eliminar de cada subintervalo restante en el ésimo paso del algoritmo y terminar con un conjunto tipo Cantor. El conjunto resultante tendrá medida positiva si y sólo si la suma de la secuencia es menor que la medida del intervalo inicial. Por ejemplo, supongamos que los intervalos medios de longitud se eliminan para cada iteración, para algunos Entonces, el conjunto resultante tiene medida de Lebesgue
Los productos cartesianos de conjuntos de Smith-Volterra-Cantor se pueden utilizar para encontrar conjuntos totalmente desconectados en dimensiones superiores con medidas distintas de cero. Aplicando el teorema de Denjoy-Riesz a un conjunto bidimensional de este tipo, es posible encontrar una curva de Osgood , una curva de Jordan tal que los puntos de la curva tengan área positiva. [4]