Ideal (teoría de conjuntos)

Familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un ideal es una colección parcialmente ordenada de conjuntos que se consideran "pequeños" o "insignificantes". Cada subconjunto de un elemento del ideal también debe estar en el ideal (esto codifica la idea de que un ideal es una noción de pequeñez), y la unión de dos elementos cualesquiera del ideal también debe estar en el ideal.

Más formalmente, dado un conjunto, un ideal es un subconjunto no vacío del conjunto potencia de tal que: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle \varnothing \in I,}$
2. si y entonces y ${\displaystyle A\in I}$ ${\displaystyle B\subseteq A,}$ ${\displaystyle B\in I,}$
3. si entonces ${\displaystyle A,B\in I}$ ${\displaystyle A\cup B\in I.}$

Algunos autores añaden una cuarta condición en la que no se encuentra ; Los ideales con esta propiedad adicional se llaman ideales propios . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

Los ideales en el sentido de la teoría de conjuntos son exactamente ideales en el sentido de la teoría del orden , donde el orden relevante es la inclusión de conjuntos. Además, son exactamente ideales en el sentido de la teoría del anillo en el anillo booleano formado por el conjunto potencia del conjunto subyacente. La noción dual de ideal es un filtro .

Terminología

Se dice que un elemento de un ideal es nulo o insignificante , o simplemente nulo o insignificante si el ideal se entiende a partir del contexto. Si es un ideal en entonces se dice que un subconjunto de es positivo (o simplemente positivo ) si no es un elemento de Se denota la colección de todos los subconjuntos positivos de ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I^{+}.}$

Si es un ideal adecuado en y para cada uno o entonces es un ideal primo . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\in I}$ ${\displaystyle X\setminus A\in I,}$ ${\displaystyle I}$

Ejemplos de ideales

Ejemplos generales

• Para cualquier conjunto y cualquier subconjunto elegido arbitrariamente, los subconjuntos de forman un ideal. Para finitos, todos los ideales tienen esta forma. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$
• Los subconjuntos finitos de cualquier conjunto forman un ideal en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Para cualquier espacio de medida , subconjuntos de conjuntos de medida cero.
• Para cualquier espacio de medida , conjuntos de medida finita. Esto abarca subconjuntos finitos (usando medida de conteo ) y conjuntos pequeños a continuación.
• Una bornología en un set es un ideal que cubre ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Una familia no vacía de subconjuntos de es un ideal adecuado si y sólo si su dual en el que se denota y define es un filtro adecuado (un filtro es adecuado si no es igual a ). El dual del conjunto de poderes es él mismo; es decir, por tanto, una familia no vacía es un ideal si y sólo si su dual es un ideal dual (que por definición es el conjunto potencia o un filtro adecuado ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X\setminus \wp (X)=\wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$

Ideales sobre los números naturales.

• El ideal de todos los conjuntos finitos de números naturales se denota por Fin.
• El ideal sumable de los números naturales, denotado, es la colección de todos los conjuntos de números naturales tales que la suma sea finita. Ver conjunto pequeño . ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{1/n},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n+1}}}$
• El ideal de conjuntos asintóticamente de densidad cero en los números naturales, denotado es la colección de todos los conjuntos de números naturales tales que la fracción de números naturales menores que la que pertenecen tiende a cero cuando tiende al infinito. (Es decir, la densidad asintótica de es cero). ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{0},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

Ideales sobre los números reales.

• La medida ideal es la colección de todos los conjuntos de números reales tales que la medida de Lebesgue es cero. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• El ideal exiguo es la colección de todos los conjuntos exiguos de números reales.

Ideales en otros sets.

• Si es un número ordinal de cofinalidad incontable , el ideal no estacionario es la colección de todos los subconjuntos de que no son conjuntos estacionarios . Este ideal ha sido estudiado extensamente por W. Hugh Woodin . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Operaciones sobre ideales

Dados los ideales I y J en los conjuntos subyacentes X e Y respectivamente, se forma el producto sobre el producto cartesiano de la siguiente manera: Para cualquier subconjunto. Es decir, un conjunto es insignificante en el producto ideal si sólo una colección insignificante de coordenadas x corresponde a un porción no despreciable de A en la dirección y . (Quizás más claro: un conjunto es positivo en el producto ideal si muchas coordenadas x corresponden a porciones positivas). ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle A\subseteq X\times Y,}$ $${\displaystyle A\in I\times J\quad {\text{ if and only if }}\quad \{x\in X\;:\;\{y:\langle x,y\rangle \in A\}\not \in J\}\in I}$$

Un ideal I en un conjunto X induce una relación de equivalencia en el conjunto de potencias de X , considerando que A y B son equivalentes (para subconjuntos de X ) si y sólo si la diferencia simétrica de A y B es un elemento de I. El cociente de por esta relación de equivalencia es un álgebra booleana , denotada (léase "P de X mod I "). ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \wp (X)/I}$

A cada ideal le corresponde un filtro , llamado filtro dual . Si I es un ideal en X , entonces el filtro dual de I es la colección de todos los conjuntos donde A es un elemento de I. (Aquí denota el complemento relativo de A en X ; es decir, la colección de todos los elementos de X que no están en A ). ${\displaystyle X\setminus A,}$ ${\displaystyle X\setminus A}$

Relaciones entre ideales

Si y son ideales en y respectivamente, y son isomórficos de Rudin-Keisler si son el mismo ideal excepto por el cambio de nombre de los elementos de sus conjuntos subyacentes (ignorando conjuntos insignificantes). Más formalmente, el requisito es que haya conjuntos y elementos de y respectivamente, y una biyección tal que para cualquier subconjunto si y sólo si la imagen de debajo ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \varphi :X\setminus A\to Y\setminus B,}$ ${\displaystyle C\subseteq X,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \varphi \in J.}$

Si y son isomorfos de Rudin-Keisler, entonces y son isomorfos como las álgebras de Boole. Los isomorfismos de álgebras booleanas cocientes inducidos por isomorfismos de ideales de Rudin-Keisler se denominan isomorfismos triviales . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \wp (X)/I}$ ${\displaystyle \wp (Y)/J}$

Ver también

• Bornología  : generalización matemática de la acotación
• Filtro (matemáticas)  : en matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado
• Filtro (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Ideal (teoría del orden)  : subconjunto no vacío, con límite superior y cerrado hacia abajo
• Ideal (teoría de anillos)  : subgrupo aditivo de un anillo matemático que absorbe la multiplicación.
• π -sistema  - Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• σ-ideal  : familia cerrada en subconjuntos y uniones contablesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

• Farah, Ilijas (noviembre de 2000). Cocientes analíticos: Teoría de elevaciones de cocientes sobre ideales analíticos sobre los números enteros. Memorias de la AMS. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821821176.