Conjunto estacionario

Concepto de teoría de conjuntos

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos y teoría de modelos , un conjunto estacionario es un conjunto que no es demasiado pequeño en el sentido de que cruza todos los conjuntos de palos y es análogo a un conjunto de medidas distintas de cero en la teoría de medidas . Hay al menos tres nociones estrechamente relacionadas de conjunto estacionario, dependiendo de si se trata de subconjuntos de un ordinal , o subconjuntos de algo de determinada cardinalidad , o un conjunto potencia .

noción clásica

Si es un cardinal de cofinalidad incontable y corta a todos los conjuntos de clubes , se llama conjunto estacionario . ^[1] Si un conjunto no es estacionario, entonces se llama conjunto delgado . Esta noción no debe confundirse con la noción de conjunto reducido de la teoría de números . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa ,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle S}$

Si es un conjunto estacionario y es un conjunto de tréboles, entonces su intersección también es estacionaria. Esto se debe a que si hay algún conjunto de clubes, entonces es un conjunto de clubes y, por lo tanto, no está vacío. Por tanto, debe estar estacionario. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S\cap C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C\cap D}$ ${\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)}$ ${\displaystyle (S\cap C)}$

Ver también : lema de Fodor

La restricción a la cofinalidad incontable es para evitar trivialidades: supongamos que tiene cofinalidad contable. Entonces es estacionario en si y sólo si está acotado en . En particular, si la cofinalidad de es , entonces dos subconjuntos estacionarios cualesquiera de tienen intersección estacionaria. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa \setminus S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Este ya no es el caso si la cofinalidad de es incontable. De hecho, supongamos que además es regular y estacionario. Luego se puede dividir en muchos conjuntos estacionarios separados. Este resultado se debe a Solovay . Si es un cardenal sucesor , este resultado se debe a Ulam y se muestra fácilmente mediante lo que se llama una matriz de Ulam . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

H. Friedman ha demostrado que para cada ordinal sucesor contable , cada subconjunto estacionario de contiene un subconjunto cerrado de tipo de orden . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \beta }$

La noción de Jech

También existe una noción de subconjunto estacionario de , para un cardinal y un conjunto tal que , donde está el conjunto de subconjuntos de cardinalidad : . Esta noción se debe a Thomas Jech . Como antes, es estacionario si y solo si cumple con todos los clubes, donde un subconjunto de clubes es un conjunto ilimitado y cerrado bajo unión de cadenas de longitud como máximo . Estas nociones son en general diferentes, aunque para y coinciden en el sentido de que es estacionario si y sólo si es estacionario en . ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |X|\geq \lambda }$ ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}}$ ${\displaystyle S\subseteq [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X=\omega _{1}}$ ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle S\subseteq [\omega _{1}]^{\omega }}$ ${\displaystyle S\cap \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

La versión apropiada del lema de Fodor también es válida para esta noción.

Noción generalizada

Existe todavía una tercera noción, de naturaleza teórica de modelos y a la que a veces se hace referencia como estacionariedad generalizada . Esta noción probablemente se debe a Magidor , Foreman y Shelah y también ha sido utilizada de manera destacada por Woodin .

Ahora sea un conjunto no vacío. Un conjunto es club (cerrado e ilimitado) si y sólo si existe una función tal que . Aquí está la colección de subconjuntos finitos de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle F:[X]^{<\omega }\to X}$ ${\displaystyle C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subseteq z\}}$ ${\displaystyle [y]^{<\omega }}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$es estacionario si y solo si cumple con todos los subconjuntos de clubes de . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

Para ver la conexión con la teoría de modelos, observe que si es una estructura con universo en un lenguaje contable y es una función de Skolem para , entonces un estacionario debe contener una subestructura elemental de . De hecho, es estacionario si y sólo si para cualquier estructura existe una subestructura elemental a la que pertenece . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$

Referencias

1. Jech (2003) p.91

• Foreman, Matthew (2002) Conjuntos estacionarios, conjetura de Chang y teoría de la partición , en Teoría de conjuntos (La Conferencia de Hajnal) DIMACS Ser. Matemáticas discretas. Teoría. comp. Sci., 58 años, americano. Matemáticas. Soc., Providencia, RI. págs. 73–94. Archivo en [1]
• Friedman, Harvey (1974). "Sobre conjuntos cerrados de ordinales". Proc. Soy. Matemáticas. Soc . 43 (1): 190-192. doi : 10.2307/2039353 . JSTOR  2039353. Zbl  0299.04003.
• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Monografías de Springer en Matemáticas (edición del Tercer Milenio). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002.

enlaces externos

• "Juego estacionario". PlanetMath .