Espacio distinguido

TVS cuyo fuerte dual está bloqueado

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios distinguidos son espacios vectoriales topológicos (TVS) que tienen la propiedad de que los subconjuntos acotados débiles* de sus biduales (es decir, el espacio dual fuerte de su espacio dual fuerte) están contenidos en el débil-* * cierre de algún subconjunto acotado del bidual.

Definición

Supongamos que es un espacio localmente convexo y denotemos el dual fuerte de (es decir, el espacio dual continuo de dotado de la topología dual fuerte ). Denotemos el espacio dual continuo de y denotemos el dual fuerte de Denotemos dotado de la topología débil-* inducida por donde esta topología se denota por (es decir, la topología de convergencia puntual en ). Decimos que un subconjunto de es acotado si es un subconjunto acotado de y llamamos al cierre de en el TVS el cierre de . Si es un subconjunto de entonces el polar de es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.}$

Un espacio localmente convexo de Hausdorff se denomina espacio distinguido si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de cuyo cierre contiene . ^[1] ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle W}$
2. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que está contenido en el cual es el polar (relativo a la dualidad ) de ^[1] ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle B^{\circ }.}$
3. El dual fuerte de es un espacio con forma de cañón . ^[1] ${\displaystyle X}$

Si además hay un espacio vectorial topológico localmente convexo metrizable , entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

4. ( Grothendieck ) El dual fuerte de es un espacio bornológico . ^[1] ${\displaystyle X}$

Condiciones suficientes

Todos los espacios normados y los espacios semirreflexivos son espacios distinguidos. ^[2] Los espacios LF son espacios distinguidos.

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet se distingue si y sólo si es cuasibarril . ^[3] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Todo espacio distinguido localmente convexo es un espacio H. ^[2]

Ejemplos

Existen espacios de Banach distinguidos que no son semirreflexivos . ^[1] El dual fuerte de un espacio de Banach distinguido no es necesariamente separable ; es tal espacio. ^[4] El fuerte espacio dual de un espacio distinguido de Fréchet no es necesariamente metrizable . ^[1] Existe un distinguido espacio de Mackey semirreflexivo , no reflexivo , no cuasibarrilado , cuyo dual fuerte es un espacio de Banach no reflexivo. ^[1] Existen espacios H que no son espacios distinguidos. ^[1] ${\displaystyle l^{1}}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios Fréchet Montel son espacios distinguidos.

Ver también

• Espacio Montel  : espacio en forma de cañón donde los subconjuntos cerrados y acotados son compactos
• Espacio semirreflexivo

Referencias

1. Khaleelulla 1982, págs. 32–63.
2. Khaleelulla 1982, págs. 28–63.
3. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes locales contables (2014)
4. Khaleelulla 1982, págs. 32–630.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1950). "Sur sures espaces vectoriels topologiques". Annales de l'Institut Fourier (en francés). 2 : 5-16 (1951). doi : 10.5802/aif.16 . SEÑOR  0042609.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Cambridge Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). "Barrelness" en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.