En matemáticas , un H-espacio [1] es una versión homotópica-teórica de una generalización de la noción de grupo topológico , en la que se eliminan los axiomas sobre asociatividad e inversas .
Un espacio H consiste en un espacio topológico X , junto con un elemento e de X y una función continua μ : X × X → X , tal que μ( e , e ) = e y las funciones x ↦ μ( x , e ) y x ↦ μ( e , x ) son ambas homotópicas a la función identidad a través de funciones que envían e a e . [2] Esto puede considerarse como un espacio topológico puntiagudo junto con una multiplicación continua para la cual el punto base es un elemento identidad hasta la homotopía que preserva el punto base.
Se dice que un espacio topológico X es un H-espacio si existen e y μ tales que el triple ( X , e , μ) es un H-espacio como en la definición anterior. [3] Alternativamente, un H-espacio puede definirse sin requerir homotopías para fijar el punto base e , o requiriendo que e sea una identidad exacta, sin ninguna consideración de homotopía. [4] En el caso de un complejo CW , las tres definiciones son de hecho equivalentes. [5]
La definición estándar del grupo fundamental , junto con el hecho de que es un grupo, se puede reformular diciendo que el espacio de bucles de un espacio topológico puntiagudo tiene la estructura de un grupo H, equipado con las operaciones estándar de concatenación e inversión. [6] Además, un mapa continuo que preserva el punto base del espacio topológico puntiagudo induce un homomorfismo H de los espacios de bucles correspondientes; esto refleja el homomorfismo de grupo en grupos fundamentales inducido por un mapa continuo. [7]
Es sencillo verificar que, dada una equivalencia de homotopía puntiaguda de un espacio H a un espacio topológico puntiagudo, existe una estructura de espacio H natural en este último espacio. [8] Como tal, la existencia de una estructura de espacio H en un espacio dado solo depende del tipo de homotopía puntiaguda.
La estructura multiplicativa de un H-espacio añade estructura a sus grupos de homología y cohomología . Por ejemplo, el anillo de cohomología de un H-espacio conexo por trayectorias con grupos de cohomología libres y finitamente generados es un álgebra de Hopf . [9] Además, se puede definir el producto de Pontryagin sobre los grupos de homología de un H-espacio. [10]
El grupo fundamental de un H-espacio es abeliano . Para ver esto, sea X un H-espacio con identidad e y sean f y g bucles en e . Defina una función F : [0,1] × [0,1] → X por F ( a , b ) = f ( a ) g ( b ). Entonces F ( a ,0) = F ( a ,1) = f ( a ) e es homotópica a f , y F (0, b ) = F (1, b ) = eg ( b ) es homotópica a g . Es claro cómo definir una homotopía desde [ f ] [ g ] hasta [ g ][ f ].
El teorema del invariante uno de Hopf de Adams , llamado así por Frank Adams , establece que S 0 , S 1 , S 3 , S 7 son las únicas esferas que son H-espacios. Cada uno de estos espacios forma un H-espacio al verlo como el subconjunto de elementos de norma uno de los reales , complejos , cuaterniones y octoniones , respectivamente, y al usar las operaciones de multiplicación de estas álgebras. De hecho, S 0 , S 1 y S 3 son grupos ( grupos de Lie ) con estas multiplicaciones. Pero S 7 no es un grupo de esta manera porque la multiplicación de octoniones no es asociativa, ni se le puede dar ninguna otra multiplicación continua para la que sea un grupo.