Espacio bornológico

Espacio donde los operadores acotados son continuos

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , un espacio bornológico es un tipo de espacio que, en cierto sentido, posee la cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones de acotación de conjuntos y aplicaciones lineales , de la misma manera que un espacio topológico posee la cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones de continuidad . Los espacios bornológicos se distinguen por la propiedad de que una aplicación lineal de un espacio bornológico en cualquier espacio localmente convexo es continua si y solo si es un operador lineal acotado .

Los espacios bornológicos fueron estudiados por primera vez por George Mackey . ^{[ cita requerida ]} El nombre fue acuñado por Bourbaki ^{[ cita requerida ]} en honor a borné , la palabra francesa para " limitado ".

Bornologías y mapas delimitados

Una bornología de un conjunto es una colección de subconjuntos de los mismos que satisfacen todas las condiciones siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$cubre es decir, ; ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo inclusiones; es decir, si y entonces ; ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo uniones finitas; es decir, si entonces ; ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

Los elementos de la colección se denominan conjuntos acotados o simplemente conjuntos acotados si se entiende bien. ^[1] El par se denomina estructura acotada o conjunto bornológico . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$

Un sistema base o fundamental de una bornología es un subconjunto de tal que cada elemento de es un subconjunto de algún elemento de Dada una colección de subconjuntos de la bornología más pequeña que contiene se llama bornología generada por ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

Si y son conjuntos bornológicos entonces su producto bornología sobre es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma donde y ^[2] Un subconjunto de está acotado en el producto bornología si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre y están ambos acotados. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle B\times C,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Mapas delimitados

Si y son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función es una función acotada localmente o una función acotada (con respecto a estas bornologías) si asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de , es decir, si ^[2] Si además es una biyección y también está acotado, entonces se denomina isomorfismo bornológico . ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\subseteq {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Bornologías vectoriales

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo donde tiene una bornología. Una bornología en se denomina bornología vectorial en si es estable bajo la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de cascos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y es una bornología en entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una bornología vectorial;
2. Las sumas finitas y las envolturas equilibradas de conjuntos acotados son acotadas; ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. El mapa de multiplicación escalar definido por y el mapa de adición definido por están ambos acotados cuando sus dominios llevan sus bornologías de producto (es decir, asignan subconjuntos acotados a subconjuntos acotados). ^[2] ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$

Una bornología vectorial se denomina bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de envolturas convexas (es decir, la envoltura convexa de un conjunto acotado está acotada), entonces Y una bornología vectorial se denomina separada si el único subespacio vectorial acotado de es el espacio trivial de dimensión 0. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Por lo general, se trata de números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial se denominará bornología vectorial convexa si tiene una base formada por conjuntos convexos . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Subconjuntos bornívoros

Un subconjunto de se llama bornívoro y un bornívoro si absorbe todos los conjuntos acotados. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

En una bornología vectorial, es bornívora si absorbe cada conjunto equilibrado acotado y en una bornología vectorial convexa es bornívora si absorbe cada disco acotado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Dos topologías TVS en el mismo espacio vectorial tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos bornívoros. ^[3]

Cada subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un vecindario del origen. ^[4]

Convergencia de Mackey

Se dice que una secuencia en una TVS es convergente de Mackey a si existe una secuencia de números reales positivos que divergen a tal que converge a en ^[5] ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=(r_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle (r_{i}x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Bornología de un espacio vectorial topológico

Todo espacio vectorial topológico al menos en un cuerpo de valor no discreto da una bornología en al definir un subconjunto que se debe acotar (o acotar von-Neumann), si y solo si para todos los conjuntos abiertos que contienen cero existe un con Si es un espacio vectorial topológico localmente convexo , entonces está acotado si y solo si todas las seminormas continuas en están acotadas en ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq rU.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B.}$

El conjunto de todos los subconjuntos acotados de un espacio vectorial topológico se denomina bornología o bornología de von Neumann. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un espacio vectorial topológico localmente convexo , entonces un disco absorbente en es bornívoro (resp. infrabornívoro) si y solo si su funcional de Minkowski está acotado localmente (resp. infracolocado). ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

Topología inducida

Si es una bornología vectorial convexa en un espacio vectorial , entonces la colección de todos los subconjuntos convexos balanceados de que son bornívoros forma una base de vecindad en el origen para una topología localmente convexa en llamada topología inducida por . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Si es un TVS entonces el espacio bornológico asociado con es el espacio vectorial dotado de la topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann de ^[4] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Teorema ^[4]  —  Sea y TVS localmente convexo y denote dotado de la topología inducida por la bornología de von Neumann de Defina de manera similar. Entonces una función lineal es un operador lineal acotado si y solo si es continua. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y_{b}}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X_{b}\to Y}$

Además, si es bornológico, es Hausdorff, y es una función lineal continua, entonces también lo es. Si además es también ultrabornológico, entonces la continuidad de implica la continuidad de donde es el espacio ultrabornológico asociado con ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{b}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{ub},}$ ${\displaystyle Y_{ub}}$ ${\displaystyle Y.}$

Espacios cuasibornológicos

Los espacios cuasibornológicos fueron introducidos por S. Iyahen en 1968. ^[6]

Un espacio vectorial topológico (TVS) con un dual continuo se denomina espacio cuasibornológico ^[6] si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. Todo operador lineal acotado de en otro TVS es continuo . ^[6] ${\displaystyle X}$
2. Todo operador lineal acotado de un TVS metrizable completo es continuo. ^{[6] [7]} ${\displaystyle X}$
3. Cada nudo de una cuerda bornívora es un vecindario del origen. ^[6]

Todo TVS pseudometrizable es cuasibornológico. ^[6] Un TVS en el que cada conjunto bornívoro es un vecindario del origen es un espacio cuasibornológico. ^[8] Si es un TVS cuasibornológico, entonces la topología localmente convexa más fina en ese es más burda que lo convierte en un espacio bornológico localmente convexo. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

Espacio bornológico

En el análisis funcional, un espacio vectorial topológico localmente convexo es un espacio bornológico si su topología puede recuperarse a partir de su bornología de manera natural.

Todo espacio cuasiberológico localmente convexo es cuasiberológico pero existen espacios cuasiberológicos que no son cuasiberológicos. ^[6]

Un espacio vectorial topológico (TVS) con un dual continuo se denomina espacio bornológico si es localmente convexo y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. Todo conjunto convexo, equilibrado y bornívoro es un vecindario de cero. ^[4] ${\displaystyle X}$
2. Todo operador lineal acotado de en un TVS localmente convexo es continuo . ^[4] ${\displaystyle X}$
   • Recordemos que una función lineal está acotada si y solo si asigna cualquier secuencia que converge en el dominio a un subconjunto acotado del codominio. ^[4] En particular, cualquier función lineal que sea secuencialmente continua en el origen está acotada. ${\displaystyle 0}$
3. Todo operador lineal acotado de un espacio seminormado es continuo. ^[4] ${\displaystyle X}$
4. Todo operador lineal acotado de un espacio de Banach es continuo. ^[4] ${\displaystyle X}$

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista: ^[7] ${\displaystyle X}$

5. La topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann es la misma que la topología dada de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X}$
6. Toda seminoma acotada es continua. ^[4] ${\displaystyle X}$
7. Cualquier otra topología de espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff que tenga la misma bornología (von Neumann) es necesariamente más burda que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau .}$
8. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de los espacios normados. ^[4]
9. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de los espacios normados como varía sobre los discos cerrados y acotados de (o como varía sobre los discos acotados de ). ^[4] ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$lleva la topología de Mackey y todas las funciones lineales acotadas son continuas. ^[4] ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$ ${\displaystyle X}$
11. ${\displaystyle X}$tiene ambas propiedades siguientes:
    • ${\displaystyle X}$es convexo-secuencial o C-secuencial , lo que significa que cada subconjunto abierto secuencialmente convexo de es abierto, ${\displaystyle X}$
    • ${\displaystyle X}$es secuencialmente bornológico o S-bornológico , lo que significa que cada subconjunto convexo y bornívoro de es secuencialmente abierto. ${\displaystyle X}$
    donde un subconjunto de se llama secuencialmente abierto si cada secuencia que converge a eventualmente pertenece a ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A.}$

Todo operador lineal secuencialmente continuo de un espacio bornológico localmente convexo a un TVS localmente convexo es continuo, ^[4] donde recordemos que un operador lineal es secuencialmente continuo si y solo si es secuencialmente continuo en el origen. Por lo tanto, para los mapas lineales de un espacio bornológico a un espacio localmente convexo, la continuidad es equivalente a la continuidad secuencial en el origen. De manera más general, incluso tenemos lo siguiente:

• Cualquier mapa lineal de un espacio bornológico localmente convexo a un espacio localmente convexo que mapea secuencias nulas en subconjuntos acotados de es necesariamente continuo. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Condiciones suficientes

Teorema de Mackey-Ulam ^[9]  —  El producto de una colección de espacios bornológicos localmente convexos es bornológico si y sólo si no admite una medida de Ulam . ${\displaystyle X_{\bullet }=(X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$

Como consecuencia del teorema de Mackey-Ulam, "para todos los efectos prácticos, el producto de los espacios bornológicos es bornológico". ^[9]

Los siguientes espacios vectoriales topológicos son todos bornológicos:

• Cualquier TVS pseudometrizable localmente convexo es bornológico. ^{[4] [10]}
  • Por lo tanto, todo espacio normado y todo espacio de Fréchet es bornológico.
• Cualquier límite inductivo estricto de espacios bornológicos, en particular cualquier espacio LF estricto , es bornológico.
  • Esto demuestra que hay espacios bornológicos que no son metrizables.
• Un producto contable de espacios bornológicos localmente convexos es bornológico. ^{[11] [10]}
• Los cocientes de espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff son bornológicos. ^[10]
• La suma directa y el límite inductivo de los espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff es bornológica. ^[10]
• Los espacios de Fréchet Montel tienen duales bornológicos fuertes .
• El dual fuerte de todo espacio reflexivo de Fréchet es bornológico. ^[12]
• Si el dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable es separable , entonces es bornológico. ^[12]
• Un subespacio vectorial de un espacio bornológico localmente convexo de Hausdorff que tiene codimensión finita en es bornológico. ^{[4] [10]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• La topología localmente convexa más fina en un espacio vectorial es la bornológica. ^[4]

Contraejemplos

Existe un espacio LB bornológico cuyo bidual fuerte no es bornológico. ^[13]

Un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo no es necesariamente bornológico. ^{[4] [14]} Existe un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo que es completo (y por lo tanto secuencialmente completo) pero no tiene forma de barril ni es bornológico. ^[4]

Los espacios bornológicos no necesitan ser barrilizados y los espacios barrilizados no necesitan ser bornológicos. ^[4] Debido a que cada espacio ultrabornológico localmente convexo es barrilizado, ^[4] se deduce que un espacio bornológico no es necesariamente ultrabornológico.

Propiedades

• El espacio dual fuerte de un espacio bornológico localmente convexo es completo . ^[4]
• Todo espacio bornológico localmente convexo está infrabarrilado . ^[4]
• Cada TVS bornológica secuencialmente completa de Hausdorff es ultrabornológica . ^[4]
  • Por lo tanto, todo espacio bornológico de Hausdorff completo es ultrabornológico.
  • En particular, todo espacio de Fréchet es ultrabornológico. ^[4]
• El producto finito de espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico. ^[4]
• Todo espacio bornológico de Hausdorff es cuasi-barrilado . ^[15]
• Dado un espacio bornológico con dual continuo la topología de coincide con la topología de Mackey ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime }).}$
  • En particular, los espacios bornológicos son espacios de Mackey .
• Todo espacio bornológico cuasicompleto (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados son completos) tiene forma de barril . Sin embargo, existen espacios bornológicos que no tienen forma de barril.
• Todo espacio bornológico es el límite inductivo de los espacios normados (y de los espacios de Banach si el espacio también es cuasicompleto).
• Sea un espacio localmente convexo metrizable con dual continuo. Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
  1. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$Es bornológico.
  2. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$es cuasi-barrilado .
  3. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$está en cañón .
  4. ${\displaystyle X}$Es un espacio distinguido .
• Si es una función lineal entre espacios localmente convexos y si es bornológica, entonces las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$
  1. ${\displaystyle L:X\to Y}$es continua
  2. ${\displaystyle L:X\to Y}$es secuencialmente continua. ^[4]
  3. Para cada conjunto que está acotado, está acotado. ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(B)}$
  4. Si es una secuencia nula en entonces es una secuencia nula en ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
  5. Si es una secuencia nula convergente de Mackey en entonces es un subconjunto acotado de ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
• Supóngase que y son TVS localmente convexos y que el espacio de mapas lineales continuos está dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de Si es un espacio bornológico y si es completo , entonces es un TVS completo. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • En particular, el dual fuerte de un espacio bornológico localmente convexo es completo. ^[4] Sin embargo, no necesita ser bornológico.

Subconjuntos

• En un espacio bornológico localmente convexo, cada conjunto bornívoro convexo es un vecindario de ( no es necesario que sea un disco). ^[4] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B}$
• Cada subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un vecindario del origen. ^[4]
• Los subespacios vectoriales cerrados del espacio bornológico no necesitan ser bornológicos. ^[4]

Espacios ultrabornológicos

Un disco en un espacio vectorial topológico se llama infrabornívoro si absorbe todos los discos de Banach . ${\displaystyle X}$

Si es localmente convexo y de Hausdorff, entonces un disco es infrabornívoro si y sólo si absorbe todos los discos compactos. ${\displaystyle X}$

Un espacio localmente convexo se denomina ultrabornológico si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada disco infrabornívoro es un barrio del origen.
2. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de los espacios que varía en todos los discos compactos en ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$
3. Una seminorma acotada en cada disco de Banach es necesariamente continua. ${\displaystyle X}$
4. Para cada espacio localmente convexo y cada aplicación lineal, si está acotada en cada disco de Banach, entonces es continua. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$
5. Para cada espacio de Banach y cada aplicación lineal, si está acotado en cada disco de Banach, entonces es continuo. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Propiedades

El producto finito de los espacios ultrabornológicos es ultrabornológico. Los límites inductivos de los espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.

Véase también

• Bornología  – Generalización matemática de la acotación
• Conjunto bornívoro  : Un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado.
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad
• Bornología vectorial

Referencias

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2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
3. Wilansky 2013, pág. 50.
4. Narici & Beckenstein 2011, págs.
5. Swartz 1992, págs. 15-16.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs.
7. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs.
8. Wilansky 2013, pág. 48.
9. Narici y Beckenstein 2011, pag. 450.
10. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs.
11. Narici y Beckenstein 2011, pág. 453.
12. Schaefer & Wolff 1999, pág. 144.
13. Khaleelulla 1982, págs. 28–63.
14. Schaefer y Wolff 1999, págs. 103-110.
15. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs. 70–73.

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