espacio de schwartz

Function space of all functions whose derivatives are rapidly decreasing

En matemáticas , el espacio de Schwartz ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es el espacio funcional de todas las funciones cuyas derivadas disminuyen rápidamente. Este espacio tiene la importante propiedad de que la transformada de Fourier es un automorfismo en este espacio. Esta propiedad permite, por dualidad, definir la transformada de Fourier para elementos en el espacio dual de , es decir, para distribuciones templadas . Una función en el espacio de Schwartz a veces se denomina función de Schwartz . ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Una función gaussiana bidimensional es un ejemplo de una función que decrece rápidamente.

El espacio de Schwartz lleva el nombre del matemático francés Laurent Schwartz .

Definición

Sea el conjunto de números enteros no negativos y, para cualquiera , sea el producto cartesiano n veces . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}}$

El espacio de Schwartz o espacio de funciones decrecientes rápidamente es el espacio de funciones ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},}$$

funciones suaves ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.}$$

supremonotación de índices múltiples ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$ ${\displaystyle D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}}$

Para expresar en lenguaje común esta definición, se podría considerar una función decreciente rápidamente como esencialmente una función f ( x ) tal que f ( x ) , f  ′( x ) , f  “( x ) , ... existen todas en todas partes en R y llega a cero cuando x → ±∞ más rápido que cualquier potencia recíproca de x . En particular, S ( R ⁿ , C ) es un subespacio del espacio funcional C ^∞ ( R ⁿ , C ) de funciones suaves desde R ⁿ en C .

Ejemplos de funciones en el espacio de Schwartz

• Si es un índice múltiple y a es un número real positivo , entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

  ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).}$

• Cualquier función suave f con soporte compacto está en S ( R ⁿ ). Esto está claro ya que cualquier derivada de f es continua y está sustentada en el soporte de f , por lo que ( tiene un máximo en R ⁿ según el teorema del valor extremo . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f}$
• Debido a que el espacio de Schwartz es un espacio vectorial, cualquier polinomio puede multiplicarse por un factor de una constante real, para obtener un elemento del espacio de Schwartz. En particular, hay una incrustación de polinomios dentro de un espacio de Schwartz. ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }})}$ ${\displaystyle e^{-ax^{2}}}$ ${\displaystyle a>0}$

Propiedades

Propiedades analíticas

• De la regla de Leibniz , se deduce que 𝒮( R ⁿ ) también es cerrado bajo multiplicación puntual :

  Si f , g ∈ 𝒮( R ⁿ ) entonces el producto fg ∈ 𝒮( R ⁿ ) .

En particular, esto implica que 𝒮( R ⁿ ) es un R -álgebra. De manera más general, si f ∈ 𝒮( R ) y H es una función suave acotada con derivadas acotadas de todos los órdenes, entonces fH ∈ 𝒮( R ) .

• La transformada de Fourier es un isomorfismo lineal F:𝒮( R ⁿ ) → 𝒮( R ⁿ ) .
• Si f ∈ 𝒮( R ) entonces f es uniformemente continua en R .
• 𝒮( R ⁿ ) es un TVS de Fréchet Schwartz localmente convexo que se distingue sobre los números complejos .
• Tanto 𝒮( R ⁿ ) como su espacio dual fuerte también son:

1. completar espacios localmente convexos de Hausdorff ,
2. espacios nucleares de Montel ,

Se sabe que en el espacio dual de cualquier espacio Montel, una secuencia converge en la topología dual fuerte si y sólo si converge en la topología débil* , ^[1]

1. Espacios ultrabornológicos ,
2. Espacios reflexivos de Mackey con barriles .

Relación de espacios de Schwartz con otros espacios vectoriales topológicos

• Si 1 ≤ p ≤ ∞ , entonces 𝒮( R ⁿ ) ⊂ L ^p ( R ⁿ ) .
• Si 1 ≤ p < ∞ , entonces 𝒮( R ⁿ ) es denso en L ^p ( R ⁿ ) .
• El espacio de todas las funciones de relieve , C.^∞c
  _​( R ⁿ ) , está incluido en 𝒮( R ⁿ ) .

Ver también

• Función de golpe
• Función de Schwartz-Bruhat
• espacio nuclear

Referencias

1. Trèves 2006, págs. 351–359.

Fuentes

• Hörmander, L. (1990). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I, (Teoría de la distribución y análisis de Fourier) (2ª ed.). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X.
• Caña, M.; Simón, B. (1980). Métodos de la física matemática moderna: análisis funcional I (edición revisada y ampliada). San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-585050-6.
• Stein, Elías M.; Shakarchi, Rami (2003). Análisis de Fourier: una introducción (Conferencias de Princeton sobre análisis I) . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-11384-X.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

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