Función localmente integrable

En matemáticas , una función localmente integrable (a veces también llamada función localmente sumable ) ^[1] es una función que es integrable (por lo que su integral es finita) en cada subconjunto compacto de su dominio de definición . La importancia de tales funciones radica en el hecho de que su espacio funcional es similar a L ^p espacios , pero sus miembros no están obligados a satisfacer ninguna restricción de crecimiento en su comportamiento en el límite de su dominio (en el infinito si el dominio es ilimitado): en otras palabras, las funciones localmente integrables pueden crecer arbitrariamente rápido en el límite del dominio, pero aún son manejables de manera similar a las funciones integrables ordinarias.

Definición

Definición estándar

Definición 1 . ^[2] Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano y f  : Ω → sea una función medible de Lebesgue . Si f en Ω es tal que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

es decir, su integral de Lebesgue es finita en todos los subconjuntos compactos K de Ω , ^[3] entonces f se llama localmente integrable . El conjunto de todas estas funciones se denota por L _1,loc (Ω) :

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},}$

donde denota la restricción de f al conjunto K . ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$

La definición clásica de una función localmente integrable implica sólo conceptos teóricos de medida y topológicos ^[4] y puede trasladarse a funciones abstractas y de valores complejos en un espacio de medidas topológicas ( X , Σ, μ ) : ^[5] sin embargo, dado que la mayoría La aplicación común de tales funciones es la teoría de la distribución en espacios euclidianos, ^[2] todas las definiciones en esta y las siguientes secciones tratan explícitamente sólo de este importante caso.

Una definición alternativa

Definición 2 . ^[6] Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano . Entonces una función f  : Ω → tal que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

para cada función de prueba φ ∈ C ∞c
_ (Ω) se llama localmente integrable , y el conjunto de tales funciones se denota por L _1,loc (Ω) . aquí c ∞c
_ (Ω) denota el conjunto de todas las funciones infinitamente diferenciables φ  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con soporte compacto contenido en Ω .

Esta definición tiene sus raíces en el enfoque de la teoría de la medida y la integración basado en el concepto de funcional lineal continuo sobre un espacio vectorial topológico , desarrollado por la escuela de Nicolas Bourbaki : ^[7] es también el adoptado por Strichartz (2003) y por Maz'ya y Shaposhnikova (2009, p. 34). ^[8] Esta definición "teórica de la distribución" es equivalente a la estándar, como lo demuestra el siguiente lema:

Lema 1 . Una función dada f  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {C} }$ es localmente integrable según la Definición 1 si y sólo si es localmente integrable según la Definición 2 , es decir

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

Prueba del Lema 1

Si parte : Sea φ ∈ C ∞c
_ (Ω) sea una función de prueba. Está limitado por su norma suprema || ϕ || _∞ , medible y tiene un soporte compacto , llamémoslo K . Por eso

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty }$

por Definición 1 .

Sólo si parte : Sea K un subconjunto compacto del conjunto abierto Ω . Primero construiremos una función de prueba φ _K ∈ C ∞c
_ (Ω) que mayoriza la función indicadora χ _K de K . La distancia establecida habitual ^[9] entre K y el límite ∂Ω es estrictamente mayor que cero, es decir

${\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,}$

por lo tanto, es posible elegir un número real δ tal que Δ > 2 δ > 0 (si ∂Ω es el conjunto vacío, tome Δ = ∞ ). Sean K _δ y K _{2 δ} los barrios cerrados δ y 2 δ de K , respectivamente. También son compactos y satisfacen

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

Ahora use la convolución para definir la función φ _K  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {R} }$ por

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}$

donde φ _δ es un suavizador construido utilizando el simétrico positivo estándar . Obviamente φ _K no es negativo en el sentido de que φ _K ≥ 0 , infinitamente diferenciable, y su soporte está contenido en K _{2 δ} , en particular es una función de prueba. Como φ _K ( x ) = 1 para todo x ∈ K , tenemos que χ _K ≤ φ _K .

Sea f una función localmente integrable según la Definición 2 . Entonces

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

Dado que esto es válido para cada subconjunto compacto K de Ω , la función f es localmente integrable según la Definición 1 . □

Generalización: localmente p -funciones integrables

Definición 3 . ^[10] Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano y f  : Ω → sea una función medible de Lebesgue. Si, para un p dado con 1 ≤ p ≤ +∞ , f satisface ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

es decir, pertenece a L _p ( K ) para todos los subconjuntos compactos K de Ω , entonces f se llama localmente p - integrable o también p - localmente integrable . ^[10] El conjunto de todas estas funciones se denota por L _{p ,loc} (Ω) :

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}$

También se puede dar una definición alternativa, completamente análoga a la dada para funciones localmente integrables, para funciones localmente p -integrables: también puede ser y demostrar ser equivalente a la de esta sección. ^[11] A pesar de su aparente mayor generalidad, las funciones localmente p -integrables forman un subconjunto de funciones localmente integrables para cada p tal que 1 < p ≤ +∞ . ^[12]

Notación

Aparte de los diferentes glifos que pueden usarse para la "L" mayúscula, ^[13] existen pocas variantes para la notación del conjunto de funciones localmente integrables.

• ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$adoptado por (Hörmander 1990, p. 37), (Strichartz 2003, pp. 12-13) y (Vladimirov 2002, p. 3).
• ${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$adoptado por (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) y Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44).
• ${\displaystyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),}$adoptado por (Maz'ja 1985, p. 6) y (Maz'ya 2011, p. 2).

Propiedades

L p ,loc es un espacio métrico completo para todo p ≥ 1

Teorema 1 . ^[14] L _{p ,loc} es un espacio metrizable completo : su topología puede generarse mediante la siguiente métrica :

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

donde { ω _k } _{k ≥1} es una familia de conjuntos abiertos no vacíos tales que

• ω _k ⊂⊂ ω _{k +1} , lo que significa que ω _k está incluido de forma compacta en ω _{k +1} , es decir, es un conjunto que tiene un cierre compacto estrictamente incluido en el conjunto de índice superior.
• ∪ _k ω _k = Ω .
• ${\displaystyle \scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}}$, k ∈ es una familia indexada de seminormas , definida como ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

En referencias (Gilbarg y Trudinger 2001, p. 147), (Maz'ya y Poborchi 1997, p. 5), (Maz'ja 1985, p. 6) y (Maz'ya 2011, p. 2), este teorema se afirma pero no se prueba de manera formal: ^[15] se encuentra una prueba completa de un resultado más general, que lo incluye, en (Meise & Vogt 1997, p. 40).

L p es un subespacio de L 1,loc para todo p ≥ 1

Teorema 2 . Toda función f perteneciente a L _p (Ω) , 1 ≤ p ≤ +∞ , donde Ω es un subconjunto abierto de , es localmente integrable. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Prueba . El caso p = 1 es trivial, por lo tanto en la continuación de la prueba se supone que 1 < p ≤ +∞ . Considere la función característica χ _K de un subconjunto compacto K de Ω : entonces, para p ≤ +∞ ,

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

dónde

• q es un número positivo tal que 1/ p + 1/ q = 1 para un dado 1 ≤ p ≤ +∞
• | k | es la medida de Lebesgue del conjunto compacto K

Entonces, para cualquier f perteneciente a L _p (Ω) , por la desigualdad de Hölder , el producto fχ _K es integrable , es decir, pertenece a L ₁ (Ω) y

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

por lo tanto

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

Tenga en cuenta que dado que la siguiente desigualdad es cierta

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

el teorema es válido también para funciones f que pertenecen sólo al espacio de funciones localmente p -integrables, por lo tanto, el teorema implica también el siguiente resultado.

Corolario 1 . Cada función en , es localmente integrable, es decir, pertenece a . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L_{p,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle 1<p\leq \infty }$ ${\displaystyle L_{1,loc}(\Omega )}$

Nota: Si es un subconjunto abierto que también está acotado, entonces se tiene la inclusión estándar que tiene sentido dada la inclusión anterior . Pero la primera de estas afirmaciones no es cierta si no está acotada; entonces sigue siendo cierto que para cualquiera , pero no para eso . Para ver esto, normalmente se considera la función , que está dentro pero no dentro de cualquier finito . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u(x)=1}$ ${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p}$

L 1,loc es el espacio de densidades de medidas absolutamente continuas

Teorema 3 . Una función f es la densidad de una medida absolutamente continua si y sólo si . ${\displaystyle f\in L_{1,loc}}$

La prueba de este resultado está esbozada por (Schwartz 1998, p. 18). Reformulando su enunciado, este teorema afirma que toda función localmente integrable define una medida absolutamente continua y, a la inversa, que toda medida absolutamente continua define una función localmente integrable: esta es también, en el marco de la teoría de la medida abstracta, la forma del importante teorema de Radón-Nikodym. dado por Stanisław Saks en su tratado. ^[dieciséis]

Ejemplos

• La función constante 1 definida en la recta real es localmente integrable pero no globalmente integrable ya que la recta real tiene medida infinita. De manera más general, las constantes , las funciones continuas ^[17] y las funciones integrables son localmente integrables. ^[18]
• La función para x ∈ (0, 1) es localmente pero no globalmente integrable en (0, 1). Es localmente integrable ya que cualquier conjunto compacto K ⊆ (0, 1) tiene una distancia positiva de 0 y, por lo tanto, f está acotado en K. Este ejemplo respalda la afirmación inicial de que las funciones localmente integrables no requieren la satisfacción de condiciones de crecimiento cerca del límite en dominios acotados. ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• La función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R} }$

no es localmente integrable en x = 0 : de hecho, es localmente integrable cerca de este punto ya que su integral sobre todo conjunto compacto que no lo incluye es finita. Hablando formalmente, [ ^19] sin embargo, esta función se puede extender a una distribución en su conjunto como un valor principal de Cauchy . ^[20] ${\displaystyle 1/x\in L_{1,loc}(\mathbb {R} \setminus 0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El ejemplo anterior plantea una pregunta: ¿toda función que es localmente integrable en Ω ⊊ admite una extensión al todo como distribución? La respuesta es negativa y la siguiente función proporciona un contraejemplo: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}}$

no define ninguna distribución en . ^[21] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El siguiente ejemplo, similar al anterior, es una función perteneciente a L _1,loc (  \ 0) que sirve como contraejemplo elemental en la aplicación de la teoría de distribuciones a operadores diferenciales con coeficientes singulares irregulares : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}}$

donde k ₁ y k ₂ son constantes complejas , es una solución general de la siguiente ecuación diferencial elemental no fucsiana de primer orden

${\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.}$

Nuevamente, no define ninguna distribución en su conjunto , si k ₁ o k ₂ no son cero: la única solución distributiva global de tal ecuación es, por lo tanto, la distribución cero, y esto muestra cómo, en esta rama de la teoría de ecuaciones diferenciales, No se puede esperar que los métodos de la teoría de distribuciones tengan el mismo éxito logrado en otras ramas de la misma teoría, especialmente en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. ^[22] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Aplicaciones

Las funciones localmente integrables juegan un papel destacado en la teoría de la distribución y ocurren en la definición de varias clases de funciones y espacios funcionales , como funciones de variación acotada . Además, aparecen en el teorema de Radon-Nikodym al caracterizar la parte absolutamente continua de cada medida.

Ver también

• Conjunto compacto
• Distribución (matemáticas)
• Teorema de densidad de Lebesgue
• Teorema de diferenciación de Lebesgue
• Integral de Lebesgue
• espacio LP

Notas

1. Según Gel'fand y Shilov (1964, p. 3).
2. Véase, por ejemplo, (Schwartz 1998, p. 18) y (Vladimirov 2002, p. 3).
3. Otra ligera variante de esta definición, elegida por Vladimirov (2002, p. 1), es requerir solo que K ⋐ Ω (o, usando la notación de Gilbarg & Trudinger (2001, p. 9), K ⊂⊂ Ω ) , lo que significa que K está estrictamente incluido en Ω , es decir, es un conjunto que tiene un cierre compacto incluido estrictamente en el conjunto ambiental dado.
4. La noción de compacidad obviamente debe definirse en el espacio de medida abstracto dado.
5. Este es el enfoque desarrollado, por ejemplo, por Cafiero (1959, págs. 285-342) y por Saks (1937, capítulo I), sin abordar explícitamente el caso localmente integrable.
6. Véase, por ejemplo (Strichartz 2003, págs. 12-13).
7. Este enfoque fue elogiado por Schwartz (1998, págs. 16-17), quien destacó también su utilidad, aunque utilizó la Definición 1 para definir funciones localmente integrables.
8. Tenga en cuenta que Maz'ya y Shaposhnikova definen explícitamente sólo la versión "localizada" del espacio de Sobolev W ^{k , p} (Ω) , aunque afirman explícitamente que se utiliza el mismo método para definir versiones localizadas de todos los demás espacios de Banach utilizados en el Libro citado: en particular, L _{p ,loc} (Ω) se presenta en la página 44.
9. No confundir con la distancia de Hausdorff .
10. Véase, por ejemplo (Vladimirov 2002, p. 3) y (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4).
11. Como se señaló en la sección anterior, este es el enfoque adoptado por Maz'ya & Shaposhnikova (2009), sin desarrollar los detalles elementales.
12. Precisamente, forman un subespacio vectorial de L _1,loc (Ω) : ver Corolario 1 del Teorema 2 .
13. Véase, por ejemplo (Vladimirov 2002, p. 3), donde se utiliza una ℒ caligráfica.
14. Véase (Gilbarg & Trudinger 2001, p. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5) para una declaración de estos resultados, y también las breves notas en (Maz'ja 1985, p. 6) y ( Maz'ya 2011, pág.2).
15. Gilbarg & Trudinger (2001, p. 147) y Maz'ya & Poborchi (1997, p. 5) sólo esbozan muy brevemente el método de prueba, mientras que en (Maz'ja 1985, p. 6) y (Maz'ya 2011, p.2) se asume como un resultado conocido, a partir del cual parte el desarrollo posterior.
16. Según Saks (1937, p. 36), " Si E es un conjunto de medida finita, o, más generalmente, la suma de una secuencia de conjuntos de medida finita ( μ ) , entonces, para que una función aditiva de a conjunto ( 𝔛 ) en E sea absolutamente continuo en E , es necesario y suficiente que esta función de un conjunto sea la integral indefinida de alguna función integrable de un punto de E ". Suponiendo que ( μ ) sea la medida de Lebesgue, se puede considerar que las dos afirmaciones son equivalentes.
17. Véase, por ejemplo (Hörmander 1990, p. 37).
18. Ver (Strichartz 2003, pag. 12).
19. Ver (Schwartz 1998, pag. 19).
20. Ver (Vladimirov 2002, págs. 19-21).
21. Ver (Vladimirov 2002, p. 21).
22. Para una breve discusión de este ejemplo, consulte (Schwartz 1998, págs. 131-132).

Referencias

• Cafiero, Federico (1959), Misura e integrazione , Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (en italiano), vol. 5, Roma : Edizioni Cremonese, págs. VII+451, MR  0215954, Zbl  0171.01503. Medida e integración (como dice la traducción al inglés del título) es una monografía definitiva sobre la integración y la teoría de la medida: el tratamiento del comportamiento limitante de la integral de varios tipos de secuencias de estructuras relacionadas con medidas (funciones medibles, conjuntos medibles , medidas y sus combinaciones) es algo concluyente.
• Gel'fand, IM ; Shilov, GE (1964) [1958], Funciones generalizadas. vol. I: Propiedades y operaciones, Nueva York – Londres: Academic Press , págs. xviii+423, ISBN 978-0-12-279501-5, SEÑOR  0166596, Zbl  0115.33101. Traducido de la edición rusa original de 1958 por Eugene Saletan, esta es una importante monografía sobre la teoría de funciones generalizadas , que trata tanto de distribuciones como de funcionales analíticos.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, Classics in Mathematics (tercera edición revisada de la 2.ª ed.), Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer Verlag , págs. xiv+517, ISBN 3-540-41160-7, SEÑOR  1814364, Zbl  1042.35002.
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2.ª ed.), Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , págs. xii+440, ISBN 0-387-52343-X, SEÑOR  1065136, Zbl  0712.35001(disponible también como ISBN 3-540-52343-X ). 
• Maz'ja, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces , Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag , págs. xix+486, ISBN 3-540-13589-8, SEÑOR  0817985, Zbl  0692.46023(disponible también como ISBN 0-387-13589-8 ). 
• Maz'ya, Vladimir G. (2011) [1985], Espacios Sobolev. Con aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales elípticas. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 342 (segunda edición revisada y aumentada), Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer Verlag , págs. xxviii+866, ISBN 978-3-642-15563-5, SEÑOR  2777530, Zbl  1217.46002.
• Maz'ya, Vladimir G .; Poborchi, Sergei V. (1997), Funciones diferenciables en dominios malos , Singapur – Nueva Jersey – Londres – Hong Kong: World Scientific , págs. xx+481, ISBN 981-02-2767-1, SEÑOR  1643072, Zbl  0918.46033.
• Maz'ya, Vladimir G .; Shaposhnikova, Tatyana O. (2009), Teoría de los multiplicadores de Sobolev. Con aplicaciones a operadores diferenciales e integrales, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 337, Heidelberg : Springer-Verlag , págs. xiii+609, ISBN 978-3-540-69490-8, SEÑOR  2457601, Zbl  1157.46001.
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997), Introducción al análisis funcional , Textos de posgrado en matemáticas de Oxford, vol. 2, Oxford: Clarendon Press , págs. x+437, ISBN 0-19-851485-9, SEÑOR  1483073, Zbl  0924.46002.
• Saks, Stanisław (1937), Teoría de la integral, Monografie Matematyczne, vol. 7 (2ª ed.), Warszawa - Lwów : GE Stechert & Co., págs. VI+347, JFM  63.0183.05, MR  0167578, Zbl  0017.30004. Traducción al inglés de Laurence Chisholm Young , con dos notas adicionales de Stefan Banach : el número de Mathematical Reviews se refiere a la edición de Dover Publications de 1964, que es básicamente una reimpresión.
• Schwartz, Laurent (1998) [1966], Théorie des Distributions , Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (en francés), vol. No. IX–X (Nouvelle ed.), París: Hermann Éditeurs, págs. xiii+420, ISBN 2-7056-5551-4, SEÑOR  0209834, Zbl  0149.09501.
• Strichartz, Robert S. (2003), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier (segunda edición impresa), River Edge, Nueva Jersey : World Scientific Publishers , págs. x+226, ISBN 981-238-430-8, SEÑOR  2000535, Zbl  1029.46039.
• Vladimirov, VS (2002), Métodos de la teoría de funciones generalizadas, Métodos analíticos y funciones especiales, vol. 6, Londres-Nueva York: Taylor & Francis , págs. XII+353, ISBN 0-415-27356-0, SEÑOR  2012831, Zbl  1078.46029. Una monografía sobre la teoría de funciones generalizadas escrita con miras a sus aplicaciones a varias variables complejas y a la física matemática , como es habitual en el autor.

enlaces externos

• Rowland, Todd. "Localmente integrable". MundoMatemático .
• Vinogradova, IA (2001) [1994], "Función localmente integrable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

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