Medir el espacio

Conjunto sobre el que se define una generalización de volúmenes e integrales

Un espacio de medida es un objeto básico de la teoría de la medida , una rama de las matemáticas que estudia nociones generalizadas de volúmenes . Contiene un conjunto subyacente, los subconjuntos de este conjunto que son factibles de medir (el σ -álgebra ) y el método que se utiliza para medir (la medida ). Un ejemplo importante de un espacio de medida es un espacio de probabilidad .

Un espacio medible consta de los dos primeros componentes sin una medida específica.

Definición

Un espacio de medida es un triple donde ^{[1] [2]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),}$

• ${\displaystyle X}$es un conjunto
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es una σ -álgebra en el conjunto ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu }$es una medida sobre ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

En otras palabras, un espacio de medida consiste en un espacio medible junto con una medida en él. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

Ejemplo

Conjunto . El -álgebra sobre conjuntos finitos como el anterior es usualmente el conjunto potencia , que es el conjunto de todos los subconjuntos (de un conjunto dado) y se denota por Siguiendo esta convención, establecemos ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle \wp (\cdot ).}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}=\wp (X)}$$

En este caso simple, el conjunto potencia se puede escribir explícitamente: $${\displaystyle \wp (X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$$

Como medida, definamos por así (por aditividad de medidas) y (por definición de medidas). ${\textstyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$$ ${\textstyle \mu (X)=1}$ ${\textstyle \mu (\varnothing )=0}$

Esto nos lleva al espacio de medida . Es un espacio de probabilidad , ya que la medida corresponde a la distribución de Bernoulli con la que se utiliza, por ejemplo, para modelar un lanzamiento de moneda justo. ${\textstyle (X,\wp (X),\mu ).}$ ${\textstyle \mu (X)=1.}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$

Clases importantes de espacios de medida

Las clases más importantes de espacios de medida se definen por las propiedades de sus medidas asociadas. Esto incluye, en orden de generalidad creciente:

• Espacios de probabilidad , un espacio de medida donde la medida es una medida de probabilidad ^[1]
• Espacios de medida finita, donde la medida es una medida finita ^[3]
• ${\displaystyle \sigma }$-espacios de medida finita, donde la medida es una medida -finita ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

Otra clase de espacios de medida son los espacios de medida completos . ^[4]

Referencias

1. Kosorok, Michael R. (2008). Introducción a los procesos empíricos y a la inferencia semiparamétrica . Nueva York: Springer. p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 18. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Anosov, DV (2001) [1994], "Medir el espacio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
4. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 33. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.