Punto singular regular

En matemáticas , en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano complejo , los puntos de se clasifican en puntos ordinarios , en los que los coeficientes de la ecuación son funciones analíticas , y puntos singulares , en los que algún coeficiente tiene una singularidad . Entonces, entre los puntos singulares, se hace una distinción importante entre un punto singular regular , donde el crecimiento de las soluciones está acotado (en cualquier sector pequeño) por una función algebraica , y un punto singular irregular , donde el conjunto completo de soluciones requiere funciones con tasas de crecimiento más altas. Esta distinción se da, por ejemplo, entre la ecuación hipergeométrica , con tres puntos singulares regulares, y la ecuación de Bessel que es en cierto sentido un caso límite , pero donde las propiedades analíticas son sustancialmente diferentes. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Definiciones formales

Más precisamente, consideremos una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden n con funciones meromórficas p _i ( z ) . $${\displaystyle f^{(n)}(z)+\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0}$$

La ecuación debe estudiarse en la esfera de Riemann para incluir el punto en el infinito como un posible punto singular. Se puede aplicar una transformación de Möbius para mover ∞ a la parte finita del plano complejo, si es necesario; consulte el ejemplo de la ecuación diferencial de Bessel a continuación.

Entonces, el método de Frobenius basado en la ecuación indicial puede aplicarse para encontrar posibles soluciones que sean series de potencias multiplicadas por potencias complejas ( z − a ) ^r cerca de cualquier a dado en el plano complejo donde r no necesita ser un entero; esta función puede existir, por lo tanto, solo gracias a un corte de rama que se extiende desde a , o en una superficie de Riemann de algún disco perforado alrededor de a . Esto no presenta ninguna dificultad para a un punto ordinario ( Lazarus Fuchs 1866). Cuando a es un punto singular regular , lo que por definición significa que tiene un polo de orden como máximo i en a , el método de Frobenius también puede hacerse funcionar y proporcionar n soluciones independientes cerca de a . $${\displaystyle p_{n-i}(z)}$$

De lo contrario, el punto a es una singularidad irregular . En ese caso, el grupo de monodromía que relaciona soluciones por continuación analítica tiene menos que decir en general, y las soluciones son más difíciles de estudiar, excepto en términos de sus expansiones asintóticas. La irregularidad de una singularidad irregular se mide por el rango de Poincaré (Arscott (1995)).

La condición de regularidad es una especie de condición de polígono de Newton , en el sentido de que los polos permitidos están en una región, cuando se trazan frente a i , delimitada por una línea a 45° de los ejes.

Una ecuación diferencial ordinaria cuyos únicos puntos singulares, incluido el punto en el infinito, son puntos singulares regulares se llama fucsiana.ecuación diferencial ordinaria.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales de segundo orden

En este caso la ecuación anterior se reduce a: $${\displaystyle f''(x)+p_{1}(x)f'(x)+p_{0}(x)f(x)=0.}$$

Se distinguen los siguientes casos:

• El punto a es un punto ordinario cuando las funciones p ₁ ( x ) y p ₀ ( x ) son analíticas en x = a .
• El punto a es un punto singular regular si p ₁ ( x ) tiene un polo de hasta orden 1 en x = a y p ₀ tiene un polo de orden hasta 2 en x = a .
• De lo contrario, el punto a es un punto singular irregular .

Podemos comprobar si existe un punto singular irregular en el infinito utilizando la sustitución y las relaciones: ${\displaystyle w=1/x}$ $${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^{3}{\frac {df}{dw}}}$$

Podemos así transformar la ecuación en una ecuación en w , y comprobar lo que ocurre en w = 0 . Si y son cocientes de polinomios, entonces habrá un punto singular irregular en el infinito x a menos que el polinomio en el denominador de sea de grado al menos uno mayor que el grado de su numerador y el denominador de sea de grado al menos dos mayores que el grado de su numerador. ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ${\displaystyle p_{2}(x)}$ ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ${\displaystyle p_{2}(x)}$

A continuación se enumeran varios ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de la física matemática que tienen puntos singulares y soluciones conocidas.

Ecuación diferencial de Bessel

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Se encuentra en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas : para un número real o complejo arbitrario α (el orden de la función de Bessel ). El caso especial más común e importante es aquel en el que α es un número entero n . $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})f=0}$$

Dividiendo esta ecuación por x ² obtenemos: $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0.}$$

En este caso p ₁ ( x ) = 1/ x tiene un polo de primer orden en x = 0 . Cuando α ≠ 0 , p ₀ ( x ) = (1 − α ² / x ² ) tiene un polo de segundo orden en x = 0 . Por lo tanto, esta ecuación tiene una singularidad regular en 0.

Para ver qué sucede cuando x → ∞ hay que utilizar una transformación de Möbius , por ejemplo . Después de realizar el álgebra: ${\displaystyle x=1/w}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0}$$

Ahora bien, en , tiene un polo de primer orden, pero tiene un polo de cuarto orden. Por lo tanto, esta ecuación tiene una singularidad irregular en correspondiente a x en ∞. ${\displaystyle w=0}$ $${\displaystyle p_{1}(w)={\frac {1}{w}}}$$ $${\displaystyle p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}}$$ ${\displaystyle w=0}$

Ecuación diferencial de Legendre

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Se encuentra en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas : $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+\ell (\ell +1)f=0.}$$

Abriendo el corchete obtenemos: $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){d^{2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+\ell (\ell +1)f=0.}$$

Y dividiendo por (1 − x ² ) : $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}{\frac {df}{dx}}+{\frac {\ell (\ell +1)}{1-x^{2}}}f=0.}$$

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en ±1 y ∞.

Ecuación diferencial de Hermite

Esta ecuación diferencial ordinaria de segundo orden se encuentra al resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo para un oscilador armónico . En este caso, la energía potencial V ( x ) es: $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi }$$ $${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$$

Esto conduce a la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden: $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{dx}}+\lambda f=0.}$$

Esta ecuación diferencial tiene una singularidad irregular en ∞. Sus soluciones son polinomios de Hermite .

Ecuación hipergeométrica

La ecuación puede definirse como $${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.}$$

Dividiendo ambos lados por z (1 − z ) obtenemos: $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\frac {ab}{z(1-z)}}f=0.}$$

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en 0, 1 e ∞. Una solución es la función hipergeométrica .

Referencias

• Arscott, FM (1995). "Ecuación de Heun". En A. Ronveaux (ed.). Ecuaciones diferenciales de Heun. Oxford University Press. pág. 74. ISBN 0198596952.
• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: McGraw-Hill .
• ET Copson , Introducción a la teoría de funciones de variable compleja (1935)
• Fedoryuk, MV (2001) [1994], "Ecuación de Fuchs", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• AR Forsyth Teoría de ecuaciones diferenciales Vol. IV: Ecuaciones lineales ordinarias (Cambridge University Press, 1906)
• Édouard Goursat , Un curso de análisis matemático, Volumen II, Parte II: Ecuaciones diferenciales págs. 128-ss. (Ginn y compañía, Boston, 1917)
• EL Ince, Ecuaciones diferenciales ordinarias , Dover Publications (1944)
• Il'yashenko, Yu. S. (2001) [1994], "Punto singular regular", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• TM MacRobert Funciones de una variable compleja p. 243 (MacMillan, Londres, 1917)
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• ET Whittaker y GN Watson Un curso de análisis moderno , págs. 188 y siguientes (Cambridge University Press, 1915)