Espacio vectorial topológico

Espacio vectorial con noción de cercanía.

En matemáticas , un espacio vectorial topológico (también llamado espacio topológico lineal y comúnmente abreviado TVS o tvs ) es una de las estructuras básicas investigadas en el análisis funcional . Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial que también es un espacio topológico con la propiedad de que las operaciones del espacio vectorial (suma de vectores y multiplicación escalar) también son funciones continuas . Tal topología se llama topología vectorial y cada espacio vectorial topológico tiene una estructura topológica uniforme , lo que permite una noción de convergencia e integridad uniformes . Algunos autores también exigen que el espacio sea un espacio de Hausdorff (aunque este artículo no lo hace). Una de las categorías de TVS más estudiadas son los espacios vectoriales topológicos localmente convexos . Este artículo se centra en los TVS que no son necesariamente localmente convexos. Los espacios de Banach , los espacios de Hilbert y los espacios de Sobolev son otros ejemplos bien conocidos de TVS.

Muchos espacios vectoriales topológicos son espacios de funciones u operadores lineales que actúan sobre espacios vectoriales topológicos, y la topología a menudo se define para capturar una noción particular de convergencia de secuencias de funciones.

En este artículo, se supondrá que el campo escalar de un espacio vectorial topológico son los números complejos o los números reales , a menos que se indique claramente lo contrario. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Motivación

Espacios normados

Todo espacio vectorial normado tiene una estructura topológica natural : la norma induce una métrica y la métrica induce una topología. Este es un espacio vectorial topológico porque:

1. El mapa de suma de vectores definido por es (conjuntamente) continuo con respecto a esta topología. Esto se deriva directamente de la desigualdad triangular que obedece la norma. ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$
2. El mapa de multiplicación escalar definido por dónde está el campo escalar subyacente de es (conjuntamente) continuo. Esto se desprende del triángulo de desigualdad y homogeneidad de la norma. ${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto s\cdot x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X,}$

Por tanto, todos los espacios de Banach y los espacios de Hilbert son ejemplos de espacios vectoriales topológicos.

Espacios no normados

Existen espacios vectoriales topológicos cuya topología no está inducida por una norma, pero que aún son de interés en el análisis. Ejemplos de tales espacios son espacios de funciones holomorfas en un dominio abierto, espacios de funciones infinitamente diferenciables , los espacios de Schwartz y espacios de funciones de prueba y espacios de distribuciones en ellos. ^[1] Todos estos son ejemplos de espacios de Montel . Un espacio Montel de dimensión infinita nunca es normal. La existencia de una norma para un espacio vectorial topológico determinado se caracteriza por el criterio de normalidad de Kolmogorov .

Un campo topológico es un espacio vectorial topológico sobre cada uno de sus subcampos .

Definición

Una familia de vecindades del origen con las dos propiedades anteriores determina de forma única un espacio vectorial topológico. El sistema de vecindades de cualquier otro punto del espacio vectorial se obtiene por traslación .

Un espacio vectorial topológico ( TVS ) es un espacio vectorial sobre un campo topológico (más a menudo los números reales o complejos con sus topologías estándar) que está dotado de una topología tal que la suma de vectores y la multiplicación escalar son funciones continuas (donde los dominios de estos Las funciones están dotadas de topologías de producto ). Esta topología se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$topología vectorial oTopología TVS activada ${\displaystyle X.}$

Todo espacio vectorial topológico es también un grupo topológico conmutativo bajo suma.

Suposición de Hausdorff

Muchos autores (por ejemplo, Walter Rudin ), pero no esta página, requieren que la topología sea T 1 ; de ello se sigue que el espacio es Hausdorff , e incluso Tychonoff . Se dice que un espacio vectorial topológico es ${\displaystyle X}$separado si es Hausdorff; Es importante destacar que "separados" no significaseparables. Las estructuras algebraicas topológica y lineal se pueden vincular aún más estrechamente con suposiciones adicionales, las más comunes se enumeran a continuación.

Categoría y morfismos

La categoría de espacios vectoriales topológicos sobre un campo topológico dado se denota comúnmente como Los objetos son los espacios vectoriales topológicos y los morfismos son los mapas lineales continuos de un objeto a otro. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathrm {TVS} _{\mathbb {K} }}$ ${\displaystyle \mathrm {TVect} _{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

AHomomorfismo topológico del espacio vectorial (abreviadoHomomorfismo TVS ), también llamadohomomorfismo topológico ,^[2][3]es unmapa linealcontinuo entre espacios vectoriales topológicos (TVS), de modo que el mapa inducidoes unmapeo abiertocuandocuál es el rango o imagen dese da latopología del subespacioinducida por ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle Y.}$

Aincrustación de espacio vectorial topológico (abreviadoIncrustación de TVS ), también llamadamonomorfismo topológico , es uninyectivo. De manera equivalente, una incrustación de TVS es un mapa lineal que también es unaincrustación topológica. ^[2]

AIsomorfismo del espacio vectorial topológico (abreviadoIsomorfismo TVS ), también llamadoisomorfismo de vector topológico ^[4]o unEl isomorfismo en la categoría de TVS es unhomeomorfismolineal . De manera equivalente, es unaincrustación TVSsobreyectiva^[2]

Muchas propiedades de los TVS que se estudian, como la convexidad local , la metrizabilidad , la completitud y la normalidad , son invariantes bajo los isomorfismos de TVS.

Una condición necesaria para una topología vectorial

Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditiva ^[5] si para cada uno existe alguno tal que ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Caracterización de la continuidad de la suma en ^[5] ${\displaystyle 0}$  -  Si es un grupo (como lo son todos los espacios vectoriales), es una topología y está dotado de la topología del producto , entonces el mapa de suma (definido por ) es continuo en el origen de si y sólo si el conjunto de vecindades del origen en es aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "vecindario" se reemplaza por "vecindario abierto". ${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

En consecuencia, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial.

Definición de topologías utilizando vecindades del origen.

Dado que cada topología vectorial es invariante de traducción (lo que significa que para todos los mapas definidos por es un homeomorfismo ), para definir una topología vectorial es suficiente definir una base (o subbase) de vecindad para ella en el origen. ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$

Teorema ^[6]  (Filtro de vecindad del origen)  :  supongamos que es un espacio vectorial real o complejo. Si es una colección aditiva no vacía de subconjuntos equilibrados y absorbentes de entonces es una base de vecindad para una topología vectorial. Es decir, se supone que es una base de filtro que satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Todo es equilibrado y absorbente . ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es aditivo: para cada existe un tal que ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq B,}$

Si satisface las dos condiciones anteriores pero no es una base de filtro, entonces formará una subbase de vecindad en (en lugar de una base de vecindad) para una topología vectorial en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

En general, el conjunto de todos los subconjuntos equilibrados y absorbentes de un espacio vectorial no satisface las condiciones de este teorema y no forma una base de vecindad en el origen de ninguna topología vectorial. ^[5]

Definir topologías usando cadenas

Sea un espacio vectorial y sea una secuencia de subconjuntos de Cada conjunto de la secuencia se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$El nudo dey para cada índicese llama el-ésimo nudodeEl conjuntose llamacomienzodeLa secuenciaes/es un:^[7][8][9] ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$

• Sumativo sipara cada índice ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• Equilibrado (resp. absorbente , cerrado , ^{[nota 1]} convexo , abierto , simétrico , en forma de barril , absolutamente convexo/en forma de disco , etc.) si esto es cierto para cada ${\displaystyle U_{i}.}$
• String ifes sumativo, absorbente y equilibrado. ${\displaystyle U_{\bullet }}$
• Cadena topológica o unacadena vecina en un TVSsies una cadena y cada uno de sus nudos es una vecindad del origen en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$

Si hay un disco absorbente en un espacio vectorial , entonces la secuencia definida por forma una cadena que comienza con Esto se llama cadena natural de ^[7] Además, si un espacio vectorial tiene dimensiones contables, entonces cada cadena contiene una cadena absolutamente convexa . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}$ ${\displaystyle U_{1}=U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Las secuencias sumativas de conjuntos tienen la propiedad particularmente buena de que definen funciones subaditivas continuas de valor real no negativas . Luego, estas funciones se pueden utilizar para demostrar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos.

Teorema  ( función con valor inducido por una cadena) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :  sea una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que y para todos Para todos sea ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$

$${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

Definir por si y en caso contrario dejar ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$

$${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

Entonces es subaditivo (es decir, para todos ) y así sucesivamente en particular. Si todos son conjuntos simétricos entonces y si todos están equilibrados entonces para todos los escalares tales que y todos Si es un espacio vectorial topológico y si todos son vecinos del origen entonces es continuo , donde si además es Hausdorff y forma una base de vecindades equilibradas del origen en entonces es una métrica que define la topología vectorial en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i};}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ ${\displaystyle X.}$

En el artículo sobre espacios vectoriales topológicos metrizables se ofrece una prueba del teorema anterior .

Si y son dos colecciones de subconjuntos de un espacio vectorial y si es un escalar, entonces por definición: ^[7] ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle V_{\bullet }}$ contiene : si y sólo si para cada índice ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq V_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• Conjunto de nudos : ${\displaystyle \ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.}$
• Núcleo : ${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
• Múltiplo escalar : ${\displaystyle \ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Suma : ${\displaystyle \ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Intersección : ${\displaystyle \ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$

Si es una colección de secuencias de subconjuntos de entonces se dice que está dirigida ( hacia abajo ) bajo inclusión o simplemente dirigida hacia abajo si no está vacía y para todos existe algo tal que y (dicho de otra manera, si y solo si es un prefiltro con respecto a la contención definida anteriormente). ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

Notación : Sea el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas en ${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Definir topologías vectoriales utilizando colecciones de cadenas es particularmente útil para definir clases de TVS que no son necesariamente localmente convexos.

Teorema ^[7]  (Topología inducida por cuerdas)  :  si es un espacio vectorial topológico, entonces existe un conjunto ^{[prueba 1]} de cuerdas vecinas que está dirigida hacia abajo y tal que el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas es una base de vecindad. en el origen de esta colección de cadenas se dice que es fundamental . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle \tau }$

Por el contrario, si es un espacio vectorial y si es una colección de cadenas que se dirige hacia abajo, entonces el conjunto de todos los nudos de todas las cadenas forma una base de vecindad en el origen para una topología vectorial en En este caso, esta topología se denota por y se llama topología generada por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Si es el conjunto de todas las cadenas topológicas en un TVS, entonces ^[7] Un TVS de Hausdorff es metrizable si y sólo si su topología puede ser inducida por una única cadena topológica. ^[10] ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}$

Estructura topológica

Un espacio vectorial es un grupo abeliano con respecto a la operación de suma, y ​​en un espacio vectorial topológico la operación inversa siempre es continua (ya que es lo mismo que la multiplicación por ). Por tanto, todo espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano . Cada TVS es completamente normal , pero no es necesario que sea normal . ^[11] ${\displaystyle -1}$

Sea un espacio vectorial topológico. Dado un subespacio, el espacio cociente con la topología de cociente habitual es un espacio vectorial topológico de Hausdorff si y sólo si es cerrado. ^{[nota 2]} Esto permite la siguiente construcción: dado un espacio vectorial topológico (que probablemente no sea Hausdorff), formar el espacio cociente donde está el cierre de es entonces un espacio vectorial topológico de Hausdorff que se puede estudiar en lugar de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$

Invariancia de topologías vectoriales.

Una de las propiedades más utilizadas de las topologías vectoriales es que cada topología vectorial estraducción invariante :

porque todo el mapa definido por es un homeomorfismo , pero si entonces no es lineal y, por lo tanto, no es un isomorfismo TVS. ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$

La multiplicación escalar por un escalar distinto de cero es un isomorfismo TVS. Esto significa que si entonces el mapa lineal definido por es un homeomorfismo. El uso produce el mapa de negación definido por el cual es, en consecuencia, un homeomorfismo lineal y, por tanto, un isomorfismo TVS. ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto sx}$ ${\displaystyle s=-1}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto -x,}$

Si y cualquier subconjunto entonces ^[6] y además, si entonces es una vecindad (resp. vecindad abierta, vecindad cerrada) de en si y sólo si lo mismo es cierto en el origen. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

Nociones locales

Se dice que un subconjunto de un espacio vectorial es ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• absorbente (en): si para cadaexiste un realtal quepara cualquier escalarsatisfaga ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in E}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
• equilibrado o encerrado en un círculo : sipara cada escalar ^[12] ${\displaystyle tE\subseteq E}$ ${\displaystyle |t|\leq 1.}$
• convexo : sipara todo real ^[12] ${\displaystyle tE+(1-t)E\subseteq E}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$
• un disco o absolutamente convexo : si es convexo y equilibrado. ${\displaystyle E}$
• simétrico : sio equivalentemente, si ${\displaystyle -E\subseteq E,}$ ${\displaystyle -E=E.}$

Cada vecindad del origen es un conjunto absorbente y contiene una vecindad equilibrada abierta de ^[6] , por lo que cada espacio vectorial topológico tiene una base local de conjuntos absorbentes y equilibrados . El origen incluso tiene una base de vecindad que consta de vecindades equilibradas cerradas. Si el espacio es localmente convexo , también tiene una base de vecindad que consta de vecindades equilibradas convexas cerradas del origen. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0;}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto de un espacio vectorial topológico está acotado ^[13] si para cada vecindad del origen existe tal que . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV}$

La definición de limitación puede debilitarse un poco; está acotado si y sólo si cada subconjunto contable del mismo está acotado. Un conjunto es acotado si y sólo si cada una de sus subsecuencias es un conjunto acotado. ^[14] Además, está acotado si y sólo si para cada vecindad equilibrada del origen, existe tal que Además, cuando es localmente convexo, la acotación puede caracterizarse por seminormas : el subconjunto está acotado si y sólo si cada seminorma continua es limitado a ^[15] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E.}$

Todo conjunto totalmente acotado está acotado. ^[14] Si es un subespacio vectorial de un TVS , entonces un subconjunto de está acotado si y sólo si está acotado en ^[14] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Metrizabilidad

Teorema de Birkhoff-Kakutani  :  sies un espacio vectorial topológico, entonces las siguientes cuatro condiciones son equivalentes: ^{[16] [nota 3]} ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. El origen está cerrado y existe una base contable de barrios en el origen en ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$es metrizable (como espacio topológico).
3. Hay una métrica invariante de traducción que induce en la topología cuál es la topología dada en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle (X,\tau )}$es un espacio vectorial topológico metrizable . ^{[nota 4]}

Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que existe una métrica equivalente que es invariante a la traducción.

Un TVS es pseudometrizable si y solo si tiene una base de vecindad contable en el origen, o equivalente, si y solo si su topología es generada por una F -seminorma . Un TVS es metrizable si y sólo si es Hausdorff y pseudometrizable.

Más claramente: se dice que un espacio vectorial topológico es normal si su topología puede ser inducida por una norma. Un espacio vectorial topológico es normal si y sólo si es Hausdorff y tiene una vecindad acotada convexa del origen. ^[17]

Sea un campo topológico localmente compacto no discreto , por ejemplo los números reales o complejos. Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es localmente compacto si y sólo si es de dimensión finita , es decir, isomorfo a algún número natural ^[18] ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Completitud y estructura uniforme.

La uniformidad canónica ^[19] en un TVS es la uniformidad única invariante de traducción que induce la topología en ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Se supone que cada TVS está dotado de esta uniformidad canónica, lo que convierte a todos los TVS en espacios uniformes . Esto permite hablar ^{[ se necesita aclaración ]} sobre nociones relacionadas como completitud , convergencia uniforme , redes de Cauchy y continuidad uniforme , etc., que siempre se supone que son con respecto a esta uniformidad (a menos que se indique lo contrario). Esto implica que todo espacio vectorial topológico de Hausdorff es Tychonoff . ^[20] Un subconjunto de un TVS es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado (para los TVS de Hausdorff, un conjunto totalmente acotado equivale a que sea precompacto ). Pero si el TVS no es Hausdorff, entonces existen subconjuntos compactos que no están cerrados. Sin embargo, el cierre de un subconjunto compacto de un TVS que no es de Hausdorff es nuevamente compacto (por lo que los subconjuntos compactos son relativamente compactos ).

Con respecto a esta uniformidad, una red (o secuencia ) es Cauchy si y sólo si para cada vecindad de existe algún índice tal que siempre y cuando ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in V}$ ${\displaystyle i\geq n}$ ${\displaystyle j\geq n.}$

Cada secuencia de Cauchy está limitada, aunque las redes de Cauchy y los filtros de Cauchy pueden no estarlo. Un espacio vectorial topológico donde converge cada secuencia de Cauchy se llama secuencialmente completo ; en general, puede que no esté completo (en el sentido de que todos los filtros de Cauchy convergen).

La operación de suma en el espacio vectorial es uniformemente continua y de mapa abierto. La multiplicación escalar es continua de Cauchy pero, en general, casi nunca es uniformemente continua. Debido a esto, cada espacio vectorial topológico puede completarse y, por tanto, es un subespacio lineal denso de un espacio vectorial topológico completo .

• Cada TVS tiene una terminación y cada TVS de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff. ^[6] Cada TVS (incluso aquellas que son Hausdorff y/o completas) tiene infinitas terminaciones no isomorfas que no son Hausdorff.
• Un subconjunto compacto de un TVS (no necesariamente Hausdorff) está completo. ^[21] Se cierra un subconjunto completo de un TVS de Hausdorff. ^[21]
• Si es un subconjunto completo de un TVS, entonces cualquier subconjunto cerrado está completo. ^[21] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Una secuencia de Cauchy en un TVS de Hausdorff no es necesariamente relativamente compacta (es decir, su cierre no es necesariamente compacto). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si un filtro Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación , entonces converge a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
• Si una serie converge ^{[nota 5]} en un TVS entonces en ^[22] ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

Topología vectorial más fina y más gruesa

Sea un espacio vectorial real o complejo. ${\displaystyle X}$

Topología trivial

La topología trivial o topología indiscreta es siempre una topología TVS en cualquier espacio vectorial y es la topología TVS más burda posible. Una consecuencia importante de esto es que la intersección de cualquier colección de topologías TVS siempre contiene una topología TVS. Cualquier espacio vectorial (incluidos aquellos que son de dimensión infinita) dotado de la topología trivial es un espacio vectorial topológico localmente convexo pseudometrizable seminormable compacto (y por lo tanto localmente compacto ) completo . Es Hausdorff si y sólo si ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$

La mejor topología vectorial

Existe una topología TVS llamada ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle X,}$La topología vectorial más fina es mejor que cualquier otra topología TVS(es decir, cualquier topología TVSes necesariamente un subconjunto de). ^[23][24]Cada mapa lineal desdeotro TVS es necesariamente continuo. Sibase de Hamelincontable,entoncesnoeslocalmenteconvexonimetrizable. ^[24] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{f}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$

productos cartesianos

Un producto cartesiano de una familia de espacios vectoriales topológicos, cuando está dotado de la topología del producto , es un espacio vectorial topológico. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todas las funciones que lleva su topología euclidiana habitual . Este conjunto es un espacio vectorial real (donde la suma y la multiplicación escalar se definen puntualmente, como es habitual) que puede identificarse (y de hecho, a menudo se define como) el producto cartesiano que lleva la topología del producto natural . Con esta topología de producto, se convierte en un espacio vectorial topológico cuya topología se llama topología de convergencia puntual en La razón de este nombre es la siguiente: si es una secuencia (o más generalmente, una red ) de elementos en y si luego converge a en si y sólo si para todo número real converge a en Este TVS es completo , de Hausdorff y localmente convexo pero no metrizable y, en consecuencia, no normable ; de hecho, cada vecindad del origen en la topología del producto contiene líneas (es decir, subespacios vectoriales unidimensionales, que son subconjuntos de la forma con ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },,}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in X}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f\neq 0}$

Espacios de dimensión finita

Según el teorema de F. Riesz , un espacio vectorial topológico de Hausdorff es de dimensión finita si y sólo si es localmente compacto , lo que ocurre si y sólo si tiene una vecindad compacta del origen.

Denotemos o y dotemos con su habitual topología euclidiana normada por Hausdorff . Sea un espacio vectorial de dimensión finita y que sea un espacio vectorial isomorfo a (explícitamente, esto significa que existe un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales y ). Este espacio vectorial de dimensión finita siempre tiene una topología vectorial de Hausdorff única , lo que lo hace TVS-isomorfo, donde está dotado de la topología euclidiana habitual (que es la misma que la topología del producto ). Esta topología vectorial de Hausdorff es también la topología vectorial más fina (única) y tiene una topología vectorial única si y solo si Si entonces, aunque no tiene una topología vectorial única, sí tiene una topología vectorial de Hausdorff única . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle n:=\dim X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$ ${\displaystyle \dim X\neq 0}$ ${\displaystyle X}$

• Entonces If tiene exactamente una topología vectorial: la topología trivial , que en este caso (y sólo en este caso) es Hausdorff. La topología trivial en un espacio vectorial es Hausdorff si y sólo si el espacio vectorial tiene dimensión ${\displaystyle \dim X=0}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$
• Si entonces tiene dos topologías vectoriales: la topología euclidiana habitual y la topología trivial (no Hausdorff). ${\displaystyle \dim X=1}$ ${\displaystyle X}$
  • Dado que el campo es en sí mismo un espacio vectorial topológico de dimensión y juega un papel importante en la definición de espacios vectoriales topológicos, esta dicotomía juega un papel importante en la definición de un conjunto absorbente y tiene consecuencias que repercuten en todo el análisis funcional . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Esquema de prueba

La prueba de esta dicotomía (es decir, que una topología vectorial es trivial o isomorfa para ) es sencilla, por lo que sólo se ofrece un resumen con las observaciones importantes. Como es habitual, se supone que tienen la topología euclidiana (normada). Sea para todos Sea un espacio vectorial -dimensional sobre Si y es una bola centrada en entonces siempre que contenga una "secuencia ilimitada", por lo que se entiende una secuencia de la forma donde y es ilimitada en el espacio normado (en el sentido habitual) . Cualquier topología vectorial será invariante de traducción e invariante bajo multiplicación escalar distinta de cero, y para cada uno, el mapa dado por es una biyección lineal continua. Porque para cualquier subconjunto de puede escribirse como para algún subconjunto único. Y si esta topología vectorial tiene una vecindad del origen que no es igual a todos, entonces la continuidad de la multiplicación escalar en el origen garantiza la existencia de una bola abierta. centrado en y una vecindad abierta del origen de modo que implica que no contiene ninguna "secuencia ilimitada". Esto implica que para cada existe algún número entero positivo tal que De esto se puede deducir que si no lleva la topología trivial y si entonces para cualquier centro de bola en 0 contiene una vecindad abierta del origen en la que se demuestra que es un homeomorfismo lineal . QED ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B_{r}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}}$ ${\displaystyle r>0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\cdot S=X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(a_{i}x\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle M_{x}:\mathbb {K} \to X}$ ${\displaystyle M_{x}(a):=ax}$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Fx=M_{x}(F)}$ ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle B_{r}\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{r}\cdot S\subseteq W\neq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S\subseteq B_{n}x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle M_{x}(B)=Bx}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M_{x}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

• Si entonces tiene infinitas topologías vectoriales distintas: ${\displaystyle \dim X=n\geq 2}$ ${\displaystyle X}$
  • A continuación se describen algunas de estas topologías: Cada funcional lineal en el cual el espacio vectorial es isomórfico induce una seminorma definida por donde Cada seminorma induce una topología vectorial ( pseudometrizable localmente convexa ) y las seminormas con distintos núcleos inducen topologías distintas de modo que, en particular, las seminormas que son inducidos por funcionales lineales con núcleos distintos inducirán distintas topologías vectoriales en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle |f|:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle \ker f=\ker |f|.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
  • Sin embargo, si bien hay infinitas topologías vectoriales en cuando hay, hasta el isomorfismo TVS , solo topologías vectoriales en. Por ejemplo, si entonces las topologías vectoriales en consisten en la topología trivial, la topología euclidiana de Hausdorff y luego las infinitas restantes Las topologías vectoriales no triviales y no euclidianas son todas TVS isomorfas entre sí. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X\geq 2,}$ ${\displaystyle 1+\dim X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle n:=\dim X=2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Topologías no vectoriales

Topologías discretas y cofinitas.

Si es un espacio vectorial no trivial (es decir, de dimensión distinta de cero), entonces la topología discreta ( que siempre es metrizable ) no es una topología TVS porque a pesar de hacer que la suma y la negación sean continuas (lo que la convierte en un grupo topológico bajo suma), no logra hacer que la multiplicación escalar sea continua. La topología cofinita en (donde un subconjunto es abierto si y sólo si su complemento es finito) tampoco es una topología TVS en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

mapas lineales

Un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos que es continuo en un punto es continuo en todo el dominio. Además, un operador lineal es continuo si está acotado (como se define a continuación) por alguna vecindad del origen. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X}$

Un hiperplano en un espacio vectorial topológico es denso o cerrado. Un funcional lineal en un espacio vectorial topológico tiene un núcleo denso o cerrado. Además, es continua si y sólo si su núcleo es cerrado . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Tipos

Dependiendo de la aplicación, normalmente se imponen restricciones adicionales a la estructura topológica del espacio. De hecho, varios resultados principales del análisis funcional no se cumplen en general para espacios vectoriales topológicos: el teorema del grafo cerrado , el teorema del mapeo abierto y el hecho de que el espacio dual del espacio separa puntos en el espacio.

A continuación se muestran algunos espacios vectoriales topológicos comunes, aproximadamente en orden creciente de "amabilidad".

• Los espacios F son espacios vectoriales topológicos completos con una métrica invariante a la traducción. ^[25] Estos incluyen espacios para todos. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>0.}$
• Espacios vectoriales topológicos localmente convexos : aquí cada punto tiene una base local que consta de conjuntos convexos . ^[25] Mediante una técnica conocida como funcionales de Minkowski se puede demostrar que un espacio es localmente convexo si y sólo si su topología puede definirse mediante una familia de seminormas. ^[26] La convexidad local es el requisito mínimo para argumentos "geométricos" como el teorema de Hahn-Banach . Los espacios son localmente convexos (de hecho, espacios de Banach) para todos pero no para ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$
• Espacios en cañón : espacios localmente convexos donde se cumple el teorema de Banach-Steinhaus .
• Espacio bornológico : un espacio localmente convexo donde los operadores lineales continuos de cualquier espacio localmente convexo son exactamente los operadores lineales acotados .
• Espacio estereotipado : un espacio localmente convexo que satisface una variante de la condición de reflexividad , donde el espacio dual está dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados .
• Espacio Montel : un espacio en forma de barril donde todo conjunto cerrado y acotado es compacto
• Espacios de Fréchet : son espacios completos localmente convexos donde la topología proviene de una métrica invariante a la traducción, o equivalentemente: de una familia contable de seminormas. Muchos espacios interesantes de funciones entran en esta clase: es un espacio de Fréchet según las seminormas. Un espacio F localmente convexo es un espacio de Fréchet. ^[25] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.}$
• Los espacios LF son límites de los espacios de Fréchet . Los espacios ILH son límites inversos de los espacios de Hilbert.
• Espacios nucleares : son espacios localmente convexos con la propiedad de que cada mapa acotado desde el espacio nuclear hasta un espacio arbitrario de Banach es un operador nuclear .
• Espacios normados y espacios seminormados : espacios localmente convexos donde la topología puede describirse mediante una única norma o seminorma. En espacios normados un operador lineal es continuo si y sólo si está acotado.
• Espacios de Banach : Espacios vectoriales normados completos . La mayor parte del análisis funcional está formulado para espacios de Banach. Esta clase incluye los espacios con el espacio de funciones de variación acotada y ciertos espacios de medidas. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle BV}$
• Espacios de Banach reflexivos : los espacios de Banach son naturalmente isomorfos a su doble dual (ver más abajo), lo que garantiza que se puedan llevar a cabo algunos argumentos geométricos. Un ejemplo importante que no es reflexivo es , cuyo dual está pero está estrictamente contenido en el dual de ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$
• Espacios de Hilbert : estos tienen un producto interno ; aunque estos espacios puedan ser de dimensiones infinitas, en ellos se puede llevar a cabo la mayor parte del razonamiento geométrico familiar en dimensiones finitas. Estos incluyen espacios, los espacios de Sobolev y los espacios de Hardy . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle W^{2,k},}$
• Espacios euclidianos : o con la topología inducida por el producto interno estándar. Como se señaló en la sección anterior, para un finito dado sólo existe un espacio vectorial topológico unidimensional, hasta el isomorfismo. De esto se deduce que cualquier subespacio de dimensión finita de un TVS está cerrado. Una caracterización de la dimensionalidad finita es que un TVS de Hausdorff es localmente compacto si y sólo si es de dimensión finita (por lo tanto, isomorfo a algún espacio euclidiano). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

doble espacio

Todo espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo : el conjunto de todos los funcionales lineales continuos, es decir, mapas lineales continuos desde el espacio hasta el campo base. Se puede definir una topología en el dual como la topología más burda tal que el emparejamiento dual de cada uno La evaluación de puntos es continua. Esto convierte el dual en un espacio vectorial topológico localmente convexo. Esta topología se denomina topología débil* . ^[27] Esta puede no ser la única topología natural en el espacio dual; por ejemplo, el dual de un espacio normado tiene una norma natural definida. Sin embargo, es muy importante en aplicaciones debido a sus propiedades de compacidad (ver teorema de Banach-Alaoglu ). Precaución: Siempre que sea un espacio localmente convexo no normable, entonces el mapa de emparejamiento nunca es continuo, sin importar qué topología de espacio vectorial se elija. Un espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo no trivial si y solo si tiene un espacio convexo adecuado barrio de origen. ^[28] ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X'\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'\times X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'.}$

Propiedades

Para cualquiera de un TVS, el casco convexo (resp. equilibrado , en disco , convexo cerrado, cerrado equilibrado, en disco cerrado ) es el subconjunto más pequeño que tiene esta propiedad y contiene el cierre (respectivamente, interior, casco convexo , casco equilibrado, casco disqueado) de un conjunto a veces se denota por (respectivamente, ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

La cáscara convexa de un subconjunto es igual al conjunto de todas las combinaciones convexas de elementos en las cuales hay combinaciones lineales finitas de la forma donde es un número entero y su suma es ^[29] La intersección de cualquier familia de conjuntos convexos es convexa y convexa El casco de un subconjunto es igual a la intersección de todos los conjuntos convexos que lo contienen. ^[29] ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

Barrios y decorados abiertos

Propiedades de vecindades y conjuntos abiertos.

Cada TVS está conectado ^[6] y localmente ^[30] y cualquier subconjunto abierto conectado de un TVS está conectado en arco . Si y es un subconjunto abierto de entonces es un conjunto abierto en ^[6] y si tiene un interior no vacío entonces es una vecindad del origen. ^[6] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S-S}$

Los subconjuntos convexos abiertos de un TVS (no necesariamente Hausdorff o localmente convexos) son exactamente aquellos que tienen la forma ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$

funcionales sublineales^[28] ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un disco absorbente en un TVS y si es funcional Minkowski de entonces ^[31] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:=p_{K}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K}$$

donde, lo que es más importante, no ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$

Sean y dos topologías vectoriales en Entonces si y solo si siempre que una red en converge en entonces en ^[32] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \nu }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Sea una base de vecindad del origen en let y let Entonces si y sólo si existe una red en (indexada por ) tal que en ^[33] Esto muestra, en particular, que a menudo será suficiente considerar redes indexadas por una vecindad base del origen en lugar de redes en lances dirigidos arbitrariamente. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un TVS que es de segunda categoría en sí mismo (es decir, un espacio no exiguo ), entonces cualquier subconjunto absorbente convexo cerrado de es una vecindad del origen. ^[34] Esto ya no está garantizado si el conjunto no es convexo (existe un contraejemplo incluso en ) o si no es de la segunda categoría en sí mismo. ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$

Interior

Si y tiene un interior no vacío, entonces ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).}$$

El interior topológico de un disco no está vacío si y sólo si este interior contiene el origen. ^[35] De manera más general, si un televisor es un conjunto equilibrado con un interior no vacío, necesariamente estará equilibrado; ^[6] en consecuencia, estará equilibrado si y sólo si contiene el origen. ^{[prueba 2]} Para que esto (es decir ) sea cierto, basta con que también sea convexo (además de estar equilibrado y tener un interior no vacío).; ^[6] La conclusión podría ser falsa si no es también convexa; ^[35] por ejemplo, en el interior del conjunto cerrado y equilibrado se encuentra ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S:=\{(x,y):xy\geq 0\}}$ ${\displaystyle \{(x,y):xy>0\}.}$

Si es convexo y entonces ^[36] Explícitamente, esto significa que si es un subconjunto convexo de un TVS (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo), y luego el segmento de línea abierta que se une y pertenece al interior de ese es, ^{[37] [ 38] [prueba 3]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {int} _{X}C,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$

Si hay alguna vecindad equilibrada del origen, entonces ¿ dónde está el conjunto de todos los escalares tales que ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|<1.}$

Si pertenece al interior de un conjunto convexo y entonces el segmento de recta medio abierta ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{X}S,}$

$${\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y}$$

^[37]

$${\displaystyle [x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.}$$

equilibradasimétricas ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},}$ ${\displaystyle N\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}}$ ${\displaystyle r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.}$

Espacios no Hausdorff y el cierre del origen

Un espacio vectorial topológico es Hausdorff si y sólo si es un subconjunto cerrado de o equivalentemente, si y sólo si Porque es un subespacio vectorial del mismo es cierto de su cierre que se conoce como el cierre del origen en Este espacio vectorial satisface ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N}$$

topología subespacialtopología trivialespacio compactosubconjunto acotado^[14]subespacio^{[prueba 4]}compactos y completosno^[39] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Si es compacto, entonces y este conjunto es compacto. Por tanto, el cierre de un subconjunto compacto de un TVS es compacto (dicho de otra manera, todos los conjuntos compactos son relativamente compactos ), ^{[40] lo que no está garantizado para} espacios topológicos arbitrarios no Hausdorff . ^{[nota 6]} ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

Para cada subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X,}$

$${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$

^{prueba 5]}arbitrarioo"tubo" ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle S}$está totalmente acotado .
• ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$está totalmente acotado. ^[41]
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$está totalmente acotado. ^{[42] [43]}
• La imagen si está bajo el mapa del cociente canónico está totalmente acotada. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$

Si es un subespacio vectorial de un TVS, entonces es Hausdorff si y solo si está cerrado. Además, el mapa del cociente es siempre un mapa cerrado en el (necesariamente) TVS de Hausdorff. ^[44] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

Cada subespacio vectorial de that es un complemento algebraico de (es decir, un subespacio vectorial que satisface y ) es un complemento topológico de En consecuencia, si es un complemento algebraico de in entonces el mapa de suma definido por es un isomorfismo TVS, donde es necesariamente Hausdorff y tiene la topología indiscreta . ^[45] Además, si es una terminación de Hausdorff de entonces es una terminación de ^[41] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}=H\cap \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X=H+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}\to X,}$ ${\displaystyle (h,n)\mapsto h+n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X\cong H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Conjuntos cerrados y compactos.

Conjuntos compactos y totalmente delimitados.

Un subconjunto de un TVS es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado . ^[39] Así, en un espacio vectorial topológico completo , un subconjunto cerrado y totalmente acotado es compacto. ^[39] Un subconjunto de un TVS está totalmente acotado si y sólo si está totalmente acotado, ^{[42] [43]} si y sólo si su imagen bajo el mapa de cociente canónico ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$

$${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$$

^[41]

Todo conjunto relativamente compacto está totalmente acotado ^[39] y el cierre de un conjunto totalmente acotado está totalmente acotado. ^[39] La imagen de un conjunto totalmente acotado bajo un mapa uniformemente continuo (como un mapa lineal continuo, por ejemplo) está totalmente acotado. ^[39] Si es un subconjunto de un TVS tal que cada secuencia tiene un punto de agrupación, entonces está totalmente acotada. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Si es un subconjunto compacto de TVS y es un subconjunto abierto de contenido , entonces existe una vecindad de 0 tal que ^[46] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K+N\subseteq U.}$

Cierre y conjunto cerrado

El cierre de cualquier subconjunto convexo (respectivamente, equilibrado o absorbente) de cualquier TVS tiene esta misma propiedad. En particular, el cierre de cualquier subconjunto convexo, equilibrado y absorbente es un barril .

El cierre de un subespacio vectorial de un TVS es un subespacio vectorial. Todo subespacio vectorial de dimensión finita de un TVS de Hausdorff está cerrado. La suma de un subespacio vectorial cerrado y un subespacio vectorial de dimensión finita es cerrada. ^[6] Si es un subespacio vectorial de y es una vecindad cerrada del origen en tal que está cerrada entonces está cerrada en ^[46] La suma de un conjunto compacto y un conjunto cerrado es cerrada. Sin embargo, la suma de dos subconjuntos cerrados puede no ser cerrada ^[6] (consulte esta nota al pie ^{[nota 7]} para ver ejemplos). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Si y es un escalar entonces ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle a\operatorname {cl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}(aS),}$$

^[47] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\neq 0,{\text{ or }}S=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(aS)=a\operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S{\text{ nor }}\operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {cl} A\right)\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\operatorname {cl} _{X}(AS).}$

Si entonces es convexo. ^[47] ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}S+S\subseteq 2\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$

Si entonces ^[6] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}(R+S)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)\right]~=~\operatorname {cl} _{X}(R+S)}$$

^[47] ${\displaystyle R+S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S).}$

Si es un TVS real y entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$

$${\displaystyle \bigcap _{r>1}rS\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$

${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle S}$

Para cualquier subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X,}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S~=~\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}(S+N)}$$

^[48] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U~\supseteq ~\bigcap \{U:S\subseteq U,U{\text{ is open in }}X\}}$$

^[49][50] ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U\subseteq U+U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Cascos cerrados

En un espacio localmente convexo, los cascos convexos de conjuntos acotados están acotados. Esto no es cierto para los TVS en general. ^[14]

• La cubierta convexa cerrada de un conjunto es igual al cierre de la cubierta convexa de ese conjunto; es decir, igual a ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$
• El casco cerrado equilibrado de un conjunto es igual al cierre del casco equilibrado de ese conjunto; es decir, igual a ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {bal} S).}$
• El casco con disco cerrado de un conjunto es igual al cierre del casco con disco de ese conjunto; es decir, igual a ^[51] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {cobal} S).}$

Si y el casco convexo cerrado de uno de los conjuntos o es compacto entonces ^[51] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R+S))~=~\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)+\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$$

^[51] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R\cup S))~=~\operatorname {co} \left[\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)\cup \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)\right].}$$

Cascos y compacidad

En un TVS general, el casco convexo cerrado de un conjunto compacto puede no ser compacto. El casco equilibrado de un conjunto compacto (respectivamente, totalmente acotado ) tiene esa misma propiedad. ^[6] La cáscara convexa de una unión finita de conjuntos compactos convexos es nuevamente compacta y convexa. ^[6]

Otras propiedades

Escaso, en ninguna parte denso, y Baire

Un disco en un TVS no es denso en ninguna parte si y sólo si su cierre es una vecindad del origen. ^[9] Un subespacio vectorial de un TVS que está cerrado pero no abierto no es denso en ninguna parte . ^[9]

Supongamos que es un TVS que no lleva la topología indiscreta . Entonces es un espacio de Baire si y sólo si no tiene un subconjunto denso equilibrado que no absorba ninguna parte. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un TVS es un espacio de Baire si y sólo si no es exiguo , lo que ocurre si y sólo si no existe un conjunto denso en ninguna parte tal que ^[9] Cada TVS localmente convexo no exiguo es un espacio en forma de barril . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nD.}$

Hechos algebraicos importantes y conceptos erróneos comunes

Si entonces ; si es convexo entonces se cumple la igualdad. Para un ejemplo en el que la igualdad no se cumple, sea distinto de cero y establecer también funciona. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle 2S\subseteq S+S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S=\{-x,x\};}$ ${\displaystyle S=\{x,2x\}}$

Un subconjunto es convexo si y sólo si para todo real positivo ^[29] o de manera equivalente, si y sólo si para todo ^[52] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$

La carcasa convexa equilibrada de un conjunto es igual a la carcasa convexa de la carcasa equilibrada de es decir, es igual a Pero en general, ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$

casco equilibrado ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Si y es un escalar entonces ^[6] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle a(R+S)=aR+aS,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (R+S)=\operatorname {co} R+\operatorname {co} S,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (aS)=a\operatorname {co} S.}$$

${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\not \in R\cup S,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {co} (R\cup \{x\})=\varnothing }$ ${\displaystyle R\cap \operatorname {co} (S\cup \{x\})=\varnothing .}$

En cualquier espacio vectorial no trivial existen dos subconjuntos convexos disjuntos no vacíos cuya unión es ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Otras propiedades

Cada topología TVS puede ser generada por una familia de F -seminormas . ^[53]

Si es un predicado unario (una afirmación verdadera o falsa que depende de ) entonces para cualquier ^{[prueba 6]} Entonces, por ejemplo, si denota " " entonces para cualquier De manera similar, si es un escalar entonces Los elementos de estos conjuntos deben abarcar un espacio vectorial (es decir, sobre ) en lugar de no solo un subconjunto o estas igualdades ya no están garantizadas; de manera similar, debe pertenecer a este espacio vectorial (es decir, ). ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \|x\|<1}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:\|x\|<1\}=\{x\in X:\|x-z\|<1\}.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle s\{x\in X:P(x)\}=\left\{x\in X:P\left({\tfrac {1}{s}}x\right)\right\}.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in X}$

Propiedades preservadas por operadores de conjuntos

• El casco equilibrado de un conjunto compacto (respectivamente, totalmente delimitado , abierto) tiene esa misma propiedad. ^[6]
• La suma (Minkowski) de dos conjuntos compactos (respectivamente, acotados, equilibrados y convexos) tiene la misma propiedad. ^[6] Pero la suma de dos conjuntos cerrados no necesita ser cerrada.
• El casco convexo de un conjunto equilibrado (o abierto) está equilibrado (respectivamente, abierto). Sin embargo, no es necesario que el casco convexo de un conjunto cerrado esté cerrado. ^[6] Y el casco convexo de un conjunto acotado no necesita estar acotado.

En la siguiente tabla, el color de cada celda indica si una propiedad dada de los subconjuntos de (indicada por el nombre de la columna, "convexa", por ejemplo) se conserva bajo el operador de conjunto (indicado por el nombre de la fila, "cierre", por ejemplo). ). Si en cada TVS se conserva una propiedad bajo el operador de conjunto indicado, entonces esa celda se coloreará de verde; de lo contrario, se coloreará de rojo. ${\displaystyle X}$

Así, por ejemplo, dado que la unión de dos conjuntos absorbentes es nuevamente absorbente, la celda de la fila " " y la columna "Absorbente" se colorea de verde. Pero como la intersección arbitraria de conjuntos absorbentes no tiene por qué ser absorbente, la celda de la fila "Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 conjunto)" y la columna "Absorbente" está coloreada en rojo. Si una celda no está coloreada, entonces esa información aún no se ha completado. ${\displaystyle R\cup S}$

Ver también

• Espacio de Banach  : espacio vectorial normado que está completo
• Campo completo  : estructura algebraica completa en relación con una métricaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio vectorial líquido  - Concepto en matemáticas condensadas
• Espacio normado  : espacio vectorial en el que se define una distancia.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Campo localmente compacto
• Grupo localmente compacto  : grupo topológico G para el cual la topología subyacente es localmente compacta y Hausdorff, de modo que se puede definir la medida de Haar.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo cuántico localmente compacto  : enfoque algebraico C* relativamente nuevo hacia grupos cuánticosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Grupo abeliano topológico  - concepto en matemáticasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Campo topológico  : estructura algebraica con suma, multiplicación y división.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Grupo topológico  : grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua.
• módulo topológico
• Anillo topológico  : anillo donde las operaciones del anillo son continuasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Semigrupo topológico  – semigrupo con operación continuaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Red vectorial topológica

Notas

1. Las propiedades topológicas, por supuesto, también requieren que sea un TVS. ${\displaystyle X}$
2. En particular, es Hausdorff si y sólo si el conjunto es cerrado (es decir, es un espacio T 1 ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$
3. De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no utiliza multiplicaciones escalares.
4. También llamado espacio lineal métrico , lo que significa que es un espacio vectorial real o complejo junto con una métrica invariante de traslación para la cual la suma y la multiplicación escalar son continuas.
5. Se dice que una serie converge en un TVS si la secuencia de sumas parciales converge. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$
6. En topología general, el cierre de un subconjunto compacto de un espacio que no es de Hausdorff puede no ser compacto (por ejemplo, la topología puntual particular en un conjunto infinito). Este resultado muestra que esto no sucede en los TVS que no son de Hausdorff. es compacto porque es la imagen del conjunto compacto bajo el mapa de suma continua. Recuerde también que la suma de un conjunto compacto (es decir, ) y un conjunto cerrado es cerrado, por lo que está cerrado en ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$
7. En la suma del eje -y cuya gráfica es el complemento del eje -, está abierto en En la suma de Minkowski hay un subconjunto denso contable de por lo que no está cerrado ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Pruebas

1. Esta condición se cumple si denota el conjunto de todas las cadenas topológicas en ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
2. Esto se debe a que todo conjunto equilibrado no vacío debe contener el origen y porque si y sólo si ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.}$
3. Arreglar para que quede por demostrar que pertenece a Al reemplazar con si es necesario, podemos suponer sin pérdida de generalidad que y por lo tanto queda por demostrar que es una vecindad del origen. Sea que Dado que la multiplicación escalar por es un homeomorfismo lineal Dado y se sigue que donde porque es abierto, existe algo que satisface Definir por cuál es un homeomorfismo porque El conjunto es por tanto un subconjunto abierto de que además contiene Si entonces desde es convexo, y que prueba que Así es un subconjunto abierto de que contiene el origen y está contenido en QED ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$
4. Dado que tiene la topología trivial, también la tiene cada uno de sus subconjuntos, lo que los hace todos compactos. Se sabe que un subconjunto de cualquier espacio uniforme es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$
5. Si entonces Porque si está cerrado, entonces se cumple la igualdad. Utilizando el hecho de que es un espacio vectorial, se verifica fácilmente que el complemento in de cualquier conjunto que satisfaga la igualdad también debe satisfacer esta igualdad (cuando se sustituye por ). ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S}$
6. $${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}}$$
   y así usar y el hecho de que esto es igual a ${\displaystyle y=z+x}$ ${\displaystyle z+X=X,}$
   $${\displaystyle \{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.}$$
   QED ${\displaystyle \blacksquare }$

Citas

1. Rudin 1991, pag. 4-5 §1.3.
2. Köthe 1983, pag. 91.
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4. Grothendieck 1973, págs. 34-36.
5. Wilansky 2013, págs.
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7. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs.
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11. Wilansky 2013, pag. 53.
12. Rudin 1991, pag. 6 §1.4.
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24. Narici y Beckenstein 2011, pag. 111.
25. Rudin 1991, pag. 9 §1.8.
26. Rudin 1991, pag. 27 Teorema 1.36.
27. Rudin 1991, pag. 62-68 §3.8-3.14.
28. Narici y Beckenstein 2011, págs.
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Bibliografía

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Otras lecturas

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enlaces externos

• Medios relacionados con espacios vectoriales topológicos en Wikimedia Commons