Lema del tubo

En matemáticas , particularmente en topología , el lema del tubo , también llamado teorema de Wallace, es una herramienta útil para demostrar que el producto finito de espacios compactos es compacto.

Declaración

El lema utiliza la siguiente terminología:

• Si y son espacios topológicos y es el espacio del producto, dotado de la topología del producto , un corte en es un conjunto de la forma for . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle x\in X}$
• Un tubo en es un subconjunto de la forma donde es un subconjunto abierto de . Contiene todas las porciones para . ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle U\times Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle x\in U}$

Lema del tubo  :  permita que y sean espacios topológicos con compacto y considere el espacio del producto . Si es un conjunto abierto que contiene un segmento, entonces existe un tubo que contiene este segmento y está contenido en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle N.}$

Utilizando el concepto de mapas cerrados , esto se puede reformular de manera concisa de la siguiente manera: si hay un espacio topológico cualquiera y un espacio compacto, entonces el mapa de proyección es cerrado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y\to X}$

Lema 1 del tubo generalizado  :  Sea y espacios topológicos y considere el espacio producto. Sea un subconjunto compacto de y un subconjunto compacto de Si es un conjunto abierto que contiene entonces existe abierto en y abierto en tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A\times B,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A\times B\subseteq U\times V\subseteq N.}$

Lema 2 del tubo generalizado  :  sean espacios topológicos y considere el espacio producto para cada uno , sea un subconjunto compacto de Si es un conjunto abierto que contiene entonces existe un espacio abierto para todos menos una cantidad finita de , tal que ${\displaystyle X_{i},i\in I}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}U_{i}\subseteq N.}$

Ejemplos y propiedades

1. Considere la topología del producto, es decir, el plano euclidiano , y el conjunto abierto. El conjunto abierto contiene pero no contiene tubo, por lo que en este caso el lema del tubo falla. De hecho, si es un tubo que contiene y está contenido en debe ser un subconjunto de para todos , lo que significa contradecir el hecho de que está abierto (porque es un tubo). Esto muestra que el supuesto de compacidad es esencial. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N=\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ~:~|xy|<1\}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle W\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \left(-1/x,1/x\right)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle W=\{0\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle W\times \mathbb {R} }$

2. El lema del tubo se puede utilizar para demostrar que si y son espacios compactos, entonces es compacto de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Sea una portada abierta de . Para cada , cubra la porción con un número finito de elementos de (esto es posible ya que es compacto y es homeomórfico para ). Llame a la unión de estos un número finito de elementos Por el lema del tubo, hay un conjunto abierto de la forma que contiene y contenido en La colección de todos para es una cubierta abierta de y por lo tanto tiene una subcubierta finita . Así, la colección finita cubre . Usando el hecho de que cada uno está contenido en y cada uno es la unión finita de elementos de , se obtiene una subcolección finita de eso cubre . ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle N_{x}.}$ ${\displaystyle W_{x}\times Y}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle N_{x}.}$ ${\displaystyle W_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{W_{x_{1}},\dots ,W_{x_{n}}\}}$ ${\displaystyle \{W_{x_{1}}\times Y,\dots ,W_{x_{n}}\times Y\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle W_{x_{i}}\times Y}$ ${\displaystyle N_{x_{i}}}$ ${\displaystyle N_{x_{i}}}$ ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

3. Por la parte 2 y por inducción, se puede demostrar que el producto finito de espacios compactos es compacto.

4. El lema del tubo no se puede utilizar para demostrar el teorema de Tychonoff , que generaliza lo anterior a productos infinitos.

Prueba

El lema tubular se deriva del lema tubular generalizado tomando y, por lo tanto, es suficiente probar el lema tubular generalizado. Según la definición de la topología del producto, para cada uno hay conjuntos abiertos y tales que For cualquiera es una cubierta abierta del conjunto compacto , por lo que esta cubierta tiene una subcobertura finita; es decir, hay un conjunto finito tal que contiene donde observar que es abierto en Para cada let que es un conjunto abierto ya que es finito. Además, la construcción de y implica que ahora esencialmente repetimos el argumento para eliminar la dependencia de Sea un subconjunto finito tal que contenga y conjunto. Luego se deduce del razonamiento anterior que y y son abiertos, lo que completa la prueba. ${\displaystyle A=\{x\}}$ ${\displaystyle B=Y.}$ ${\displaystyle (a,b)\in A\times B}$ ${\displaystyle U_{a,b}\subseteq X}$ ${\displaystyle V_{a,b}\subseteq Y}$ ${\displaystyle (a,b)\in U_{a,b}\times V_{a,b}\subseteq N.}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \left\{V_{a,b}~:~b\in B\right\}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{0}(a)\subseteq B}$ ${\displaystyle V_{a}:=\bigcup _{b\in B_{0}(a)}V_{a,b}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle U_{a}:=\bigcap _{b\in B_{0}(a)}U_{a,b},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{0}(a)}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle \{a\}\times B\subseteq U_{a}\times V_{a}\subseteq N.}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle A_{0}\subseteq A}$ ${\displaystyle U:=\bigcup _{a\in A_{0}}U_{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V:=\bigcap _{a\in A_{0}}V_{a}.}$ ${\displaystyle A\times B\subseteq U\times V\subseteq N}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$

Ver también

• Teorema de la subbase de Alexander  : colección de subconjuntos que generan una topologíaPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Vecindad tubular  : vecindad de una subvariedad homeomorfa al paquete normal de esa subvariedadPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Teorema de Tychonoff  : el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compactoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

• James Munkres (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• José J. Rotman (1988). Introducción a la topología algebraica . Saltador. ISBN 0-387-96678-1. (Ver Capítulo 8, Lema 8.9)