En matemáticas , el teorema de Tychonoff establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto con respecto a la topología del producto . El teorema lleva el nombre de Andrey Nikolayevich Tikhonov (cuyo apellido a veces se transcribe Tychonoff ), quien lo demostró por primera vez en 1930 para potencias del intervalo unitario cerrado y en 1935 expuso el teorema completo junto con la observación de que su demostración era la misma que para el caso especial. La prueba publicada más antigua conocida está contenida en un artículo de 1935 de Tychonoff, "Über einen Funktionenraum" . [1]
El teorema de Tychonoff a menudo se considera quizás el resultado más importante en topología general (junto con el lema de Urysohn ). [2] El teorema también es válido para espacios topológicos basados en conjuntos difusos . [3]
El teorema depende crucialmente de las definiciones precisas de compacidad y de la topología del producto ; de hecho, el artículo de Tychonoff de 1935 define la topología del producto por primera vez. Por el contrario, parte de su importancia es dar confianza en que estas definiciones particulares son las más útiles (es decir, las que mejor se comportan).
De hecho, la definición de compacidad de Heine y Borel (que toda cobertura de un espacio por conjuntos abiertos admite una subcobertura finita) es relativamente reciente. Más popular en el siglo XIX y principios del XX fue el criterio de Bolzano-Weierstrass de que toda secuencia infinita acotada admite una subsecuencia convergente, ahora llamada compacidad secuencial . Estas condiciones son equivalentes para espacios metrizables , pero ninguna implica la otra en la clase de todos los espacios topológicos.
Es casi trivial demostrar que el producto de dos espacios secuencialmente compactos es secuencialmente compacto: se pasa a una subsecuencia para el primer componente y luego a una subsecuencia para el segundo componente. Un argumento de "diagonalización" ligeramente más elaborado establece la compacidad secuencial de un producto contable de espacios secuencialmente compactos. Sin embargo, el producto del continuo de muchas copias del intervalo unitario cerrado (con su topología habitual) no logra ser secuencialmente compacto con respecto a la topología del producto, aunque sí lo es según el teorema de Tychonoff (por ejemplo, ver Wilansky 1970, p. 134). .
Este es un fallo crítico: si X es un espacio de Hausdorff completamente regular , hay una incrustación natural de X en [0,1] C ( X ,[0,1]) , donde C ( X ,[0,1]) es el conjunto de mapas continuos de X a [0,1]. La compacidad de [0,1] C ( X ,[0,1]) muestra así que todo espacio de Hausdorff completamente regular se incrusta en un espacio de Hausdorff compacto (o puede "compactarse"). Esta construcción es la compactación de Stone-Čech . Por el contrario, todos los subespacios de los espacios compactos de Hausdorff son Hausdorff completamente regulares, por lo que esto caracteriza a los espacios de Hausdorff completamente regulares como aquellos que pueden compactarse. Estos espacios ahora se denominan espacios de Tychonoff .
El teorema de Tychonoff se ha utilizado para demostrar muchos otros teoremas matemáticos. Estos incluyen teoremas sobre la compacidad de ciertos espacios, como el teorema de Banach-Alaoglu sobre la compacidad débil-* de la bola unitaria del espacio dual de un espacio vectorial normado , y el teorema de Arzelà-Ascoli que caracteriza las secuencias de funciones en las que cada subsecuencia tiene una subsecuencia uniformemente convergente . También incluyen declaraciones menos obviamente relacionadas con la compacidad, como el teorema de De Bruijn-Erdős que establece que cada gráfico k -cromático mínimo es finito, y el teorema de Curtis-Hedlund-Lyndon que proporciona una caracterización topológica de los autómatas celulares .
Como regla general, cualquier tipo de construcción que tome como entrada un objeto bastante general (a menudo de naturaleza algebraica o topológico-algebraica) y genere un espacio compacto probablemente utilice Tychonoff: por ejemplo, el espacio de Gelfand de ideales máximos de un álgebra C* conmutativa , el espacio de Stone de ideales máximos de un álgebra booleana y el espectro de Berkovich de un anillo de Banach conmutativo .
1) La prueba de Tychonoff de 1930 utilizó el concepto de punto de acumulación completo .
2) El teorema es un corolario rápido del teorema de la subbase de Alexander .
Las pruebas más modernas han sido motivadas por las siguientes consideraciones: el enfoque de la compacidad mediante la convergencia de subsecuencias conduce a una prueba simple y transparente en el caso de conjuntos de índices contables. Sin embargo, el enfoque de la convergencia en un espacio topológico utilizando secuencias es suficiente cuando el espacio satisface el primer axioma de contabilidad (como lo hacen los espacios metrizables), pero generalmente no en caso contrario. Sin embargo, el producto de incontables espacios metrizables, cada uno con al menos dos puntos, no logra ser el primero en contarse. Por tanto, es natural esperar que una noción adecuada de convergencia en espacios arbitrarios conduzca a un criterio de compacidad que generalice la compacidad secuencial en espacios metrizables y que se aplique con la misma facilidad para deducir la compacidad de productos. Éste resultó ser el caso.
3) La teoría de la convergencia vía filtros, debida a Henri Cartan y desarrollada por Bourbaki en 1937, conduce al siguiente criterio: asumiendo el lema del ultrafiltro , un espacio es compacto si y sólo si cada ultrafiltro del espacio converge. Con esto en la mano, la prueba se vuelve fácil: la imagen (el filtro generado por) de un ultrafiltro en el espacio del producto bajo cualquier mapa de proyección es un ultrafiltro en el espacio de los factores, que por lo tanto converge, al menos a un x i . Luego se muestra que el ultrafiltro original converge a x = ( xi ). En su libro de texto, Munkres ofrece una reelaboración de la prueba de Cartan-Bourbaki que no utiliza explícitamente ningún lenguaje ni preliminares de teoría de filtros.
4) De manera similar, la teoría de la convergencia a través de redes de Moore-Smith , complementada por la noción de red universal de Kelley , conduce al criterio de que un espacio es compacto si y sólo si cada red universal en el espacio converge. Este criterio conduce a una prueba (Kelley, 1950) del teorema de Tychonoff, que es, palabra por palabra, idéntica a la prueba de Cartan/Bourbaki usando filtros, salvo por la repetida sustitución de "red universal" por "base de ultrafiltro".
5) Paul Chernoff presentó en 1992 una prueba utilizando redes pero no redes universales.
Todas las demostraciones anteriores utilizan el axioma de elección (AC) de alguna manera. Por ejemplo, la tercera prueba utiliza que cada filtro está contenido en un ultrafiltro (es decir, un filtro máximo), y esto se ve invocando el lema de Zorn . El lema de Zorn también se utiliza para demostrar el teorema de Kelley, de que toda red tiene una subred universal. De hecho, estos usos de AC son esenciales: en 1950 Kelley demostró que el teorema de Tychonoff implica el axioma de elección en ZF . Tenga en cuenta que una formulación de AC es que el producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos no está vacío; pero como el conjunto vacío es ciertamente compacto, la demostración no puede proceder de manera tan directa. Así, el teorema de Tychonoff se une a varios otros teoremas básicos (por ejemplo, que todo espacio vectorial tiene una base) para ser equivalente a AC.
Por otro lado, la afirmación de que cada filtro está contenido en un ultrafiltro no implica CA. De hecho, no es difícil ver que es equivalente al teorema del ideal primo booleano (BPI), un conocido punto intermedio entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y la teoría ZF aumentada por el axioma de elección. (ZFC). Un primer vistazo a la segunda prueba de Tychnoff puede sugerir que la prueba no utiliza más que (BPI), en contradicción con lo anterior. Sin embargo, los espacios en los que todo filtro convergente tiene un límite único son precisamente los espacios de Hausdorff. En general debemos seleccionar, para cada elemento del conjunto de índices, un elemento del conjunto de límites no vacío de la base del ultrafiltro proyectada, y por supuesto esto utiliza AC. Sin embargo, también muestra que la compacidad del producto de espacios compactos de Hausdorff se puede demostrar utilizando (BPI) y, de hecho, también se cumple lo contrario. El estudio de la solidez del teorema de Tychonoff para varias clases restringidas de espacios es un área activa en la topología de la teoría de conjuntos .
El análogo del teorema de Tychonoff en topología inútil no requiere ninguna forma de axioma de elección.
Para demostrar que el teorema de Tychonoff en su versión general implica el axioma de elección, establecemos que todo producto cartesiano infinito de conjuntos no vacíos lo es. La parte más complicada de la prueba es introducir la topología correcta. Resulta que la topología correcta es la topología cofinita con un pequeño giro. Resulta que cada conjunto con esta topología se convierte automáticamente en un espacio compacto. Una vez que tenemos este hecho, se puede aplicar el teorema de Tychonoff; Luego utilizamos la definición de compacidad de la propiedad de intersección finita (FIP). La prueba en sí (debida a JL Kelley ) es la siguiente:
Sea { A i } una familia indexada de conjuntos no vacíos, para i en I (donde I es un conjunto de indexación arbitrario). Deseamos demostrar que el producto cartesiano de estos conjuntos no está vacío. Ahora, para cada i , tome Xi como Ai con el índice i agregado (cambiando el nombre de los índices usando la unión disjunta si es necesario, podemos asumir que i no es miembro de Ai , así que simplemente tome X i = A yo ∪ { yo }).
Ahora defina el producto cartesiano.
Le damos a cada X j la topología cuyos conjuntos abiertos son: el conjunto vacío, el singleton { i }, el conjunto X i . Esto hace que X i sea compacto y, según el teorema de Tychonoff, X también es compacto (en la topología del producto). Los mapas de proyección son continuos; todos los A i son cerrados, siendo complementos del conjunto abierto singleton { i } en X i . Entonces las imágenes inversas π i −1 ( A i ) son subconjuntos cerrados de X . Notamos eso
Según la definición de compacidad de la FIP, toda la intersección sobre I no debe estar vacía y la prueba está completa.
