Espacio funcional de todas las funciones cuyas derivadas están decreciendo rápidamente
En matemáticas , el espacio de Schwartz es el espacio funcional de todas las funciones cuyas derivadas disminuyen rápidamente. Este espacio tiene la importante propiedad de que la transformada de Fourier es un automorfismo en este espacio. Esta propiedad permite, por dualidad, definir la transformada de Fourier para elementos en el espacio dual de , es decir, para distribuciones templadas . Una función en el espacio de Schwartz a veces se denomina función de Schwartz .
Una función gaussiana bidimensional es un ejemplo de una función que decrece rápidamente.
El espacio de Schwartz lleva el nombre del matemático francés Laurent Schwartz .
Definición
Sea el conjunto de números enteros no negativos y, para cualquiera , sea el producto cartesiano n veces . El espacio de Schwartz o espacio de funciones decrecientes rápidamente es el espacio de funciones
Para expresar en lenguaje común esta definición, se podría considerar una función decreciente rápidamente como esencialmente una función f ( x ) tal que f ( x ) , f ′( x ) , f “( x ) , ... existen todas en todas partes en R y llega a cero cuando x → ±∞ más rápido que cualquier potencia recíproca de x . En particular, S ( R n , C ) es un subespacio del espacio funcional C ∞ ( R n , C ) de funciones suaves desde R n en C .
Ejemplos de funciones en el espacio de Schwartz
Si α es un índice múltiple y a es un número real positivo , entonces
Cualquier función suave f con soporte compacto está en S ( R n ). Esto está claro ya que cualquier derivada de f es continua y está sustentada en el soporte de f , por lo que ( x α D β ) f tiene un máximo en R n según el teorema del valor extremo .
Debido a que el espacio de Schwartz es un espacio vectorial, cualquier polinomio puede multiplicarse por un factor de una constante real, para obtener un elemento del espacio de Schwartz. En particular, hay una incrustación de polinomios dentro de un espacio de Schwartz.
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