En matemáticas , en el campo del análisis funcional , una funcional de Minkowski (en honor a Hermann Minkowski ) o función de calibre es una función que recupera una noción de distancia en un espacio lineal.
Si es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo , entonces el funcional de Minkowski o calibre de se define como la función valorada en los números reales extendidos , definido por
donde el ínfimo del conjunto vacío se define como infinito positivo (que no es un número real, por lo que entonces no tendría valor real).
A menudo se supone/se elige que el conjunto tiene propiedades, como ser un disco absorbente en esa garantía de que será una seminorma de valor real en
De hecho, cada seminorma en es igual a la función de Minkowski (es decir, ) de cualquier subconjunto de que satisface (donde estos tres conjuntos son necesariamente absorbentes en y el primero y el último también son discos).
Así, cada seminorma (que es una función definida por propiedades puramente algebraicas) puede asociarse (de manera no única) con un disco absorbente (que es un conjunto con ciertas propiedades geométricas) y, a la inversa, cada disco absorbente puede asociarse con su funcional de Minkowski (que necesariamente será una seminorma). Estas relaciones entre seminormas, funcionales de Minkowski y discos absorbentes son una de las principales razones por las que los funcionales de Minkowski se estudian y se utilizan en el análisis funcional. En particular, a través de estas relaciones, los funcionales de Minkowski permiten "traducir" ciertas propiedades geométricas de un subconjunto de en ciertas propiedades algebraicas de una función en
La función de Minkowski siempre es no negativa (es decir, ). Esta propiedad de no ser negativa contrasta con otras clases de funciones, como las funciones sublineales y las funcionales lineales reales , que sí admiten valores negativos. Sin embargo, podría no tener un valor real, ya que para cualquier valor dado es un número real si y solo si no está vacío . En consecuencia, se suele suponer que tiene propiedades (como ser absorbente en , por ejemplo) que garantizarán que tenga un valor real.
Definición
Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo. Defina el calibre de o la función de Minkowski asociada con o inducida por como la función valorada en los números reales extendidos , definida por
donde recuerde que el ínfimo del conjunto vacío es (es decir, ). Aquí, es una abreviatura de
Para cualquier si y solo si no está vacío. Las operaciones aritméticas en se pueden extender para operar en donde para todos los productos reales distintos de cero .
Los productos y permanecen indefinidos.
Algunas condiciones que hacen que un indicador tenga un valor real
En el campo del análisis convexo , la aplicación que toma el valor de no es necesariamente un problema. Sin embargo, en el análisis funcional casi siempre tiene un valor real (es decir, nunca toma el valor de ), lo que sucede si y solo si el conjunto no está vacío para cada
Para que sea de valor real, basta con que el origen de pertenezca al interior algebraico o núcleo de en [1]
Si es absorbente en donde recordemos que esto implica que entonces el origen pertenece al interior algebraico de en y por lo tanto es de valor real. A continuación se dan caracterizaciones de cuando es de valor real.
Ejemplos motivadores
Ejemplo 1
Considere un espacio vectorial normado con la norma y sea la bola unitaria en Entonces para cada Por lo tanto, la funcional de Minkowski es simplemente la norma en
Ejemplo 2
Sea un espacio vectorial sin topología con un campo escalar subyacente
Sea cualquier funcional lineal en (no necesariamente continuo). Solución
Sea el conjunto
y sea el funcional de Minkowski de
Entonces
La función tiene las siguientes propiedades:
Es subaditivo :
Es absolutamente homogénea : para todos los escalares
No es negativo :
Por lo tanto, es una seminorma con una topología inducida. Esto es característico de los funcionales de Minkowski definidos mediante conjuntos "agradables". Existe una correspondencia biunívoca entre las seminormas y el funcional de Minkowski dado por dichos conjuntos. Lo que se entiende exactamente por "agradable" se analiza en la sección siguiente.
Obsérvese que, a diferencia de un requisito más fuerte para una norma, no necesariamente implica
En el ejemplo anterior, se puede tomar un valor distinto de cero del núcleo de
En consecuencia, la topología resultante no necesita ser Hausdorff .
Las condiciones comunes que garantizan que los calibres son semi-normales
Para garantizar que de ahora en adelante se asumirá que
Para que sea una seminorma basta que sea disco (es decir, convexa y equilibrada) y absorbente en la que se supone que es la más común.
Teorema [2] — Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces su funcional de Minkowski es la función definida por
es una seminorma en
Además,
En términos más generales, si es convexo y el origen pertenece al interior algebraico de entonces es una función sublineal no negativa en lo que implica en particular que es subaditiva y homogénea positiva . Si es absorbente en entonces es homogénea positiva, lo que significa que para todos los reales donde [3]
Si es una función real no negativa en que es homogénea positiva, entonces los conjuntos y satisfacen y
si además es absolutamente homogénea entonces ambos y están balanceados . [3]
Calibres de discos absorbentes
Podría decirse que los requisitos más comunes que se le imponen a un conjunto para garantizar que sea una seminorma son que sea un disco absorbente . Debido
a lo comunes que son estas suposiciones, ahora se investigarán las propiedades de un funcional de Minkowski cuando es un disco absorbente. Dado que todos los resultados mencionados anteriormente hicieron pocas suposiciones (si es que hubo alguna) sobre, se pueden aplicar en este caso especial.
Teorema — Supongamos que es un subconjunto absorbente de
Se demuestra que:
Además, la funcional de Minkowski es continua si y sólo si es un vecindario del origen en [6]
Si es continua entonces [6]
Requisitos mínimos del set
En esta sección se investigará el caso más general del calibre de cualquier subconjunto de
El caso especial más común donde se supone que es un disco absorbente en se discutió anteriormente.
Propiedades
Todos los resultados de esta sección se pueden aplicar al caso en que se trate de un disco absorbente.
En todo momento, es cualquier subconjunto de
Resumen — Supongamos que es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo
Una función se llama homogénea no negativa [7] si para todos y cada uno de los reales no negativos Como no está definida, una función que toma infinito como valor no es homogénea no negativa.
Valores reales : es el conjunto de todos los puntos en los que tiene un valor real. Por lo tanto, tiene un valor real si y solo si, en cuyo caso
Valor en : si y solo si si y solo si
Espacio nulo : Sientoncessi y sólo sisi y sólo si existe una secuencia divergente de números reales positivostales quepara todosAdemás, el conjunto cero dees
Comparación con una constante : Si entonces para cualquier si y sólo si esto se puede reformular como: Si entonces
De ello se deduce que si es real entonces donde el conjunto del lado derecho denota y no su subconjunto Si entonces estos conjuntos son iguales si y solo si contiene
En particular, si o entonces , pero lo que es más importante, lo inverso no es necesariamente cierto.
Comparación de calibre : para cualquier subconjunto si y solo si, por lo tanto, si y solo si
La asignación es de orden inverso en el sentido de que si entonces [8]
Como el conjunto satisface se deduce que reemplazar con no cambiará el funcional de Minkowski resultante. Lo mismo es cierto para y para
Si entonces y tiene la propiedad particularmente agradable de que si es real entonces si y solo si o [nota 1] Además, si es real entonces si y solo si
Desigualdad subaditiva /:es subaditiva si y solo sies convexa. Sies convexa, entonces también lo son tantoy comoy, además,es subaditiva.
Escalando el conjunto : Si es un escalar entonces para todos
Por lo tanto, si es real entonces
Simétrico : es simétrico (lo que significa que para todos ) si y solo si es un conjunto simétrico (lo que significa que ), lo que sucede si y solo si
Homogeneidad absoluta :para todoslos escalares de longitud unitaria [nota 2] si y solo sipara todos los escalares de longitud unitariaen cuyo casopara todoslosescalares distintos de cero Si ademástambién tiene valor real, entonces esto se cumple para todos los escalares(es decir,es absolutamente homogéneo [nota 3] ).
para todas las unidades de longitud si y solo si para todas las unidades de longitud
para todos los escalares unitarios si y solo si para todos los escalares unitarios si este es el caso entonces para todos los escalares unitarios
Absorbente : Sies convexo o equilibrado y sientonceses absorbente en
Si un conjunto absorbe en y luego absorbe en
Si es convexo y entonces en cuyo caso
Restricción a un subespacio vectorial : Si es un subespacio vectorial de y si denota la funcional de Minkowski de en entonces donde denota la restricción de a
Ejemplos
Si es una colección no vacía de subconjuntos de entonces para todos donde
Así que para todos
Si es una colección no vacía de subconjuntos de y satisface
entonces para todos
Los siguientes ejemplos muestran que la contención podría ser adecuada.
Ejemplo : Si y entonces pero que muestra que es posible que sea un subconjunto propio de cuando
El siguiente ejemplo muestra que la contención puede ser apropiada cuando el ejemplo puede generalizarse a cualquier real.
Suponiendo que el siguiente ejemplo es representativo de cómo sucede que satisface pero
Ejemplo : Sea distinto de cero y sea tal que y
De ello se sigue que
Eso se sigue de observar que para cada que contiene
Así y
Sin embargo, de modo que como se desea.
La homogeneidad positiva caracteriza a los funcionales de Minkowski
El siguiente teorema muestra que los funcionales de Minkowski son exactamente aquellas funciones que tienen una cierta propiedad puramente algebraica que se encuentra comúnmente.
Teorema : Sea cualquier función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
Este teorema se puede extender para caracterizar ciertas clases de funciones de valores reales (por ejemplo, funciones sublineales de valores reales ) en términos de funcionales de Minkowski. Por ejemplo, se puede utilizar para describir cómo cada función homogénea real (como los funcionales lineales) se puede escribir en términos de un funcional de Minkowski único que tiene una determinada propiedad.
Caracterización de los funcionales de Minkowski en conjuntos estelares
Proposición [10] — Sea cualquier función y cualquier subconjunto. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
es (estrictamente) positiva homogénea, y
es la funcional de Minkowski de (es decir, ), contiene el origen y tiene forma de estrella en el origen.
El conjunto tiene forma de estrella en el origen si y sólo si siempre que y Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto estrella . [9]
Caracterización de los funcionales de Minkowski que son seminomas
En este siguiente teorema, que se desprende inmediatamente de las afirmaciones anteriores, no se supone que sea absorbente en y, en cambio, se deduce que es absorbente cuando es una seminorma. Tampoco se supone que esté equilibrada (que es una propiedad que a menudo se requiere que tenga); en su lugar se encuentra la condición más débil de que para todos los escalares que satisfacen
el requisito común de que sea convexo también se debilita a solo requerir que sea convexo.
Teorema — Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo.
Entonces es una seminorma de si y solo si se cumplen todas las siguientes condiciones:
Es suficiente (pero no necesario) que sea convexo.
para todos los escalares unitarios
Esta condición se cumple si está equilibrada o, de forma más general, si para todos los escalares unitarios
en cuyo caso tanto y como serán subconjuntos convexos, equilibrados y absorbentes de
Por el contrario, si es una seminorma en entonces el conjunto satisface las tres condiciones anteriores (y por lo tanto también las conclusiones) y
además, es necesariamente convexo, equilibrado, absorbente y satisface
Corolario : Si es un subconjunto convexo, equilibrado y absorbente de un espacio vectorial real o complejo , entonces es una seminorma en
Funciones sublineales positivas y funcionales de Minkowski
Se puede demostrar que una función subaditiva de valor real en un espacio vectorial topológico arbitrario es continua en el origen si y solo si es uniformemente continua, donde si además es no negativo, entonces es continua si y solo si es un entorno abierto en [11].
Si es subaditiva y satisface, entonces es continua si y solo si su valor absoluto es continuo.
Una función sublineal no negativa es una función homogénea no negativa que satisface la desigualdad triangular. De los resultados que se indican a continuación se deduce inmediatamente que para dicha función, si entonces
Dado que la función de Minkowski es una función sublineal si y solo si es de valor real y subaditiva, lo que sucede si y solo si y es convexa.
Correspondencia entre conjuntos convexos abiertos y funciones sublineales continuas positivas
Teorema [11] — Supóngase que es un espacio vectorial topológico (no necesariamente localmente convexo o Hausdorff) sobre los números reales o complejos. Entonces los subconjuntos convexos abiertos no vacíos de son exactamente aquellos conjuntos que tienen la forma para alguna y alguna función sublineal continua positiva en
Topología localmente convexa más fina : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexosPages displaying short descriptions of redirect targets
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Seminorma : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad triangular y es absolutamente homogénea.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
^ En general, es falso que si y solo si (por ejemplo, considere cuándo es una norma o una seminorma). La afirmación correcta es: Si, entonces , si y solo si o
^ tiene longitud unitaria, lo que significa que
^ El mapa se llama absolutamente homogéneo si está bien definido y para todos los escalares (no sólo los escalares distintos de cero).
Referencias
^ Narici y Beckenstein 2011, pág. 109.
^ Narici y Beckenstein 2011, pág. 119.
^ desde Jarchow 1981, págs. 104-108.
^ ab Narici y Beckenstein 2011, págs.
^ desde Schaefer 1999, pág. 40.
^ abc Narici y Beckenstein 2011, pág. 119-120.
^ Kubrusly 2011, pág. 200.
^ desde Schechter 1996, pág. 316.
^ Schechter 1996, pág. 303.
^ Schechter 1996, págs. 313–317.
^ ab Narici y Beckenstein 2011, págs.
Berberian, Sterling K. (1974). Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN.978-0-387-90081-0.OCLC 878109401 .
Diestel, Joe (2008). La teoría métrica de los productos tensoriales: una revisión del currículum de Grothendieck . Vol. 16. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 9781470424831.OCLC 185095773 .
Dineen, Seán (1981). Análisis complejo en espacios localmente convexos . North-Holland Mathematics Studies. Vol. 57. Ámsterdam, Nueva York. Nueva York: North-Holland Pub. Co., Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087168-4.OCLC 16549589 .
Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6.OCLC 30593138 .
Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098 .
Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional: Curso introductorio sobre la teoría de la dualidad Topología-Bornología y su uso en el análisis funcional . Estudios matemáticos de Holanda Septentrional. Vol. 26. Ámsterdam, Nueva York, Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087137-0. Sr. 0500064. OCLC 316549583.
Hogbe-Nlend, Henri ; Moscatelli, VB (1981). Espacios nucleares y connucleares: Curso introductorio sobre espacios nucleares y connucleares a la luz de la dualidad "topología-bornología" . Estudios matemáticos de Holanda Septentrional. Vol. 52. Ámsterdam Nueva York Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087163-9.OCLC 316564345 .
Kubrusly, Carlos S. (2011). Los elementos de la teoría de operadores (segunda edición). Boston: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2.OCLC 710154895 .
Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342 .
Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Sr. 0248498. OCLC 840293704.
Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 237. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9.OCLC 180577972 .
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834 .
Pietsch, Albrecht (1979). Espacios nucleares localmente convexos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 66 (Segunda ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9.OCLC 539541 .
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7.OCLC 589250 .
Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135 .
F. Simeski, AMP Boelens y M. Ihme. Modelado de la adsorción en poros de sílice mediante funcionales de Minkowski y momentos electrostáticos moleculares. Energies 13 (22) 5976 (2020). https://doi.org/10.3390/en13225976