Función sublineal

Tipos de funciones en álgebra lineal

En álgebra lineal , una función sublineal (o funcional , como se usa más a menudo en análisis funcional ), también llamada cuasi-seminorma o funcional de Banach , en un espacio vectorial es una función de valor real con solo algunas de las propiedades de una seminorma . A diferencia de las seminormas, una función sublineal no tiene que tener un valor no negativo y tampoco tiene que ser absolutamente homogénea . Las seminormas son en sí mismas abstracciones de la noción más conocida de normas , donde una seminorma tiene todas las propiedades definitorias de una norma excepto que no se requiere que mapee vectores no nulos a valores no nulos. ${\displaystyle X}$

En el análisis funcional se utiliza a veces el nombre de función de Banach , lo que refleja que se utilizan más comúnmente cuando se aplica una formulación general del teorema de Hahn-Banach . La noción de función sublineal fue introducida por Stefan Banach cuando demostró su versión del teorema de Hahn-Banach . ^[1]

También existe una noción diferente en informática , que se describe a continuación, que también se conoce con el nombre de "función sublineal".

Definiciones

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo donde son los números reales o los números complejos. Una función de valor real en se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$función sublineal (o unafuncional sublineal si), y también a veces llamado ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$cuasi-seminorma o unaFuncional de Banach , si tiene estas dos propiedades:^[1]

1. Homogeneidad positiva / Homogeneidad no negativa : ^[2] para todos los realesy todos ${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
   • Esta condición se cumple si y sólo si para todos los reales positivos y todos ${\displaystyle p(rx)\leq rp(x)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. Subaditividad / Desigualdad triangular : ^[2] para todos ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
   • Esta condición de subaditividad requiere tener un valor real. ${\displaystyle p}$

Una función se llama ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$positivo ^[3]ono negativo sipara todosaunque algunos autores^[4]definen ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X,}$positivo en lugar de significar quesiempreque estas definiciones no sean equivalentes. Es una ${\displaystyle p(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x\neq 0;}$función simétrica sipara todo Toda función simétrica subaditiva es necesariamente no negativa.^{[prueba 1]} Una función sublineal en un espacio vectorial real es simétrica si y solo si es unaseminorma. Una función sublineal en un espacio vectorial real o complejo es una seminorma si y solo si es unafunción balanceadao equivalentemente, si y solo sipara cadaunidad de longitudescalar(que satisface) y cada ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle x\in X.}$

El conjunto de todas las funciones sublineales en denotadas por se puede ordenar parcialmente declarando si y solo si para todo Una función sublineal se llama mínima si es un elemento mínimo de bajo este orden. Una función sublineal es mínima si y solo si es una función lineal real . ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\#},}$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Toda norma , seminorma y funcional lineal real es una función sublineal. La función identidad en es un ejemplo de una función sublineal (de hecho, incluso es una funcional lineal) que no es ni positiva ni seminorma; lo mismo es cierto para la negación de esta función ^[5] De manera más general, para cualquier real la función es una función sublineal en y además, toda función sublineal es de esta forma; específicamente, si y entonces y ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto -x.}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S_{a,b}:\;&&\mathbb {R} &&\;\to \;&\mathbb {R} \\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&{\begin{cases}ax&{\text{ if }}x\leq 0\\bx&{\text{ if }}x\geq 0\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a:=-p(-1)}$ ${\displaystyle b:=p(1)}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle p=S_{a,b}.}$

Si y son funciones sublineales en un espacio vectorial real, entonces también lo es el mapa. De manera más general, si es cualquier colección no vacía de funcionales sublineales en un espacio vectorial real y si para todos entonces es un funcional sublineal en ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle q(x):=\sup\{p(x):p\in {\mathcal {P}}\},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$

Una función que es subaditiva , convexa y satisface también es positivamente homogénea (la última condición es necesaria como lo demuestra el ejemplo de en ). Si es positivamente homogénea, es convexa si y solo si es subaditiva. Por lo tanto, suponiendo , dos propiedades cualesquiera entre subaditividad, convexidad y homogeneidad positiva implica la tercera. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(x):={\sqrt {x^{2}+1}}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$

Propiedades

Toda función sublineal es una función convexa : Para ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}}$$

Si es una función sublineal en un espacio vectorial entonces ^{[prueba 2] [3]} para cada lo que implica que al menos uno de y debe ser no negativo; es decir, para cada ^[3] Además, cuando es una función sublineal en un espacio vectorial real entonces la función definida por es una seminorma. ^[3] ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}$$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(-x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}$$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

La subaditividad de garantiza que para todos los vectores ^{[1] [prueba 3],} por lo que si también es simétrico, entonces la desigualdad del triángulo inverso se cumplirá para todos los vectores. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),}$$ $${\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).}$$

Definir entonces la subaditividad también garantiza que para todo el valor de en el conjunto es constante e igual a ^{[prueba 4]} En particular, si es un subespacio vectorial de entonces y la asignación que se denotará por es una función sublineal de valor real bien definida en el espacio cociente que satisface Si es una seminorma entonces es simplemente la norma canónica habitual en el espacio cociente ${\displaystyle \ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}$ ${\displaystyle p(x).}$ ${\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -\ker p=\ker p}$ ${\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}$ ${\displaystyle {\hat {p}},}$ ${\displaystyle X\,/\,\ker p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle X\,/\,\ker p.}$

Lema de sublinealidad de Pryce ^[2]  — Supongamosque es una función sublineal en un espacio vectorialy quees un subconjunto convexo no vacío. Sies un vector yson números reales positivos tales que entonces para cada real positivoexiste algunotal que ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a,c>0}$ $${\displaystyle p(x)+ac~<~\inf _{k\in K}p(x+ak)}$$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} \in K}$ $${\displaystyle p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{k\in K}p(x+a\mathbf {z} +bk).}$$

Sumando ambos lados de la hipótesis (donde ) y combinando eso con la conclusión se obtiene que produce muchas más desigualdades, incluyendo, por ejemplo, una en la que una expresión de un lado de una desigualdad estricta se puede obtener del otro reemplazando el símbolo con (o viceversa) y moviendo el paréntesis de cierre a la derecha (o izquierda) de un sumando adyacente (todos los demás símbolos permanecen fijos y sin cambios). ${\displaystyle bc}$ ${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$ ${\displaystyle p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}}$ $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)}$$ $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )}$$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$

Seminorma asociada

Si es una función sublineal de valor real en un espacio vectorial real (o si es compleja, entonces cuando se considera como un espacio vectorial real), entonces la función define una seminorma en el espacio vectorial real llamada seminorma asociada con ^[3]. Una función sublineal en un espacio vectorial real o complejo es una función simétrica si y solo si donde como antes. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

De manera más general, si es una función sublineal de valor real en un espacio vectorial (real o complejo), entonces definirá una seminoma en si este supremo es siempre un número real (es decir, nunca igual a ). ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{|u|=1}p(ux)~=~\sup\{p(ux):u{\text{ is a unit scalar }}\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$

Relación con los funcionales lineales

Si es una función sublineal en un espacio vectorial real , entonces las siguientes son equivalentes: ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$es una funcional lineal .
2. Para cada uno ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0.}$
3. Para cada uno ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0.}$
4. ${\displaystyle p}$es una función sublineal mínima.

Si es una función sublineal en un espacio vectorial real entonces existe una función lineal en tal que ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p.}$

Si es un espacio vectorial real, es una función lineal en y es una función sublineal positiva en entonces en si y solo si ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Dominando una función lineal

Se dice que una función de valor real definida en un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo está dominada por una función sublineal si para cada que pertenece al dominio de Si es una funcional lineal real en entonces ^{[6] [1]} está dominada por (es decir, ) si y solo si Además, si es una seminorma o alguna otra función simétrica (lo que por definición significa que se cumple para todos ) entonces si y solo si ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\leq p}$ $${\displaystyle -p(-x)\leq f(x)\leq p(x)\quad {\text{ for every }}x\in X.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Teorema ^[1]  —  Si es una función sublineal en un espacio vectorial real y si entonces existe una funcional lineal en que está dominada por (es decir, ) y satisface Además, si es un espacio vectorial topológico y es continua en el origen, entonces es continua. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle f(z)=p(z).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad

Teorema ^[7]  —  Supongamos que es una función subaditiva (es decir, para todo ). Entonces es continua en el origen si y solo si es uniformemente continua en Si satisface entonces es continua si y solo si su valor absoluto es continuo. Si es no negativo entonces es continua si y solo si es abierta en ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle X.}$

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre los números reales o complejos y es una función sublineal en Entonces los siguientes son equivalentes: ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle p}$es continuo;
2. ${\displaystyle p}$es continua en 0;
3. ${\displaystyle p}$es uniformemente continua en ; ${\displaystyle X}$

Y si es positivo, esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle p}$

4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$está abierto en ${\displaystyle X.}$

Si es un TVS real, es una función lineal en y es una función sublineal continua en entonces en implica que es continua. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Relación con las funciones de Minkowski y los conjuntos convexos abiertos

Teorema ^[7]  —  Si es un entorno abierto convexo del origen en un espacio vectorial topológico , entonces la funcional de Minkowski de es una función sublineal continua no negativa en tal que si además es un conjunto equilibrado , entonces es una seminorma en ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle p_{U}:X\to [0,\infty ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\left\{x\in X:p_{U}(x)<1\right\};}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle X.}$

Relación con conjuntos convexos abiertos

Teorema ^[7]  —  Supóngase que es un espacio vectorial topológico (no necesariamente localmente convexo o Hausdorff ) sobre los números reales o complejos. Entonces los subconjuntos abiertos convexos de son exactamente aquellos que tienen la forma para alguna y alguna función sublineal continua positiva en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Prueba

Sea un subconjunto abierto y convexo de Si entonces sea y en caso contrario sea arbitrario. Sea el funcional de Minkowski de que es una función sublineal continua en ya que es convexo, absorbente y abierto ( sin embargo no es necesariamente una seminorma ya que no se supuso que estuviera equilibrado ). De ello se deduce que Se demostrará que que completará la prueba. Una de las propiedades conocidas de los funcionales de Minkowski garantiza donde ya que es convexo y contiene el origen. Por lo tanto, como se desea. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle 0\in V}$ ${\displaystyle z:=0}$ ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle V-z,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V-z}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X=X-z,}$ $${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}.}$$ ${\displaystyle V=z+\{x\in X:p(x)<1\},}$ ${\textstyle \{x\in X:p(x)<1\}=(0,1)(V-z),}$ ${\displaystyle (0,1)(V-z)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{tx:0<t<1,x\in V-z\}=V-z}$ ${\displaystyle V-z}$ ${\displaystyle V-z=\{x\in X:p(x)<1\},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Operadores

El concepto se puede extender a operadores que sean homogéneos y subaditivos. Esto requiere solamente que el codominio sea, por ejemplo, un espacio vectorial ordenado para que las condiciones tengan sentido.

Definición de informática

En informática , una función se denomina sublineal si o en notación asintótica (nótese la minúscula ). Formalmente, si y solo si, para cualquier dado existe una función tal que para ^[8] Es decir, crece más lentamente que cualquier función lineal. No deben confundirse los dos significados: mientras que una función de Banach es convexa , ocurre casi lo opuesto para las funciones de crecimiento sublineal: toda función puede estar acotada superiormente por una función cóncava de crecimiento sublineal. ^[9] ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ ${\displaystyle c>0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(n)<cn}$ ${\displaystyle n\geq N.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$

Véase también

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• Espacio auxiliar normado
• Teorema de Hahn-Banach  – Teorema sobre la extensión de los funcionales lineales acotadosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Funcional lineal  : Mapa lineal de un espacio vectorial a su campo de escalaresPages displaying short descriptions of redirect targets
• Funcional de Minkowski  : Función formada a partir de un conjunto
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Seminorm  – Función matemática
• Superaditividad  – Propiedad de una función

Notas

Pruebas

1. Sea La desigualdad y simetría del triángulo implican Sustituir y luego restar de ambos lados demuestra que Por lo tanto, lo que implica ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)=p(x)+p(x)=2p(x).}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 0\leq p(0).}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)\leq 2p(x)}$ ${\displaystyle 0\leq p(x).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Si y entonces la homogeneidad no negativa implica que En consecuencia, lo cual sólo es posible si ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r:=0}$ ${\displaystyle p(0)=p(rx)=rp(x)=0p(x)=0.}$ ${\displaystyle 0=p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x),}$ ${\displaystyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. lo cual sucede si y sólo si Sustituyendo y se obtiene lo que implica (no se necesita homogeneidad positiva; la desigualdad triangular es suficiente). ${\displaystyle p(x)=p(y+(x-y))\leq p(y)+p(x-y),}$ ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle y:=-x}$ ${\displaystyle p(x)-p(-x)\leq p(x-(-x))=p(x+x)\leq p(x)+p(x),}$ ${\displaystyle -p(-x)\leq p(x)}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
4. Sea y Queda por demostrar que La desigualdad triangular implica Dado que como se desea. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k\in p^{-1}(0)\cap (-p^{-1}(0)).}$ ${\displaystyle p(x+k)=p(x).}$ ${\displaystyle p(x+k)\leq p(x)+p(k)=p(x)+0=p(x).}$ ${\displaystyle p(-k)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(x)-p(-k)\leq p(x-(-k))=p(x+k),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

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2. Schechter 1996, págs. 313–315.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs.
4. Kubrusly 2011, pág. 200.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 177–221.
6. Rudin 1991, págs. 56–62.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 192-193.
8. Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest y Clifford Stein (2001) [1990]. "3.1". Introducción a los algoritmos (2.ª ed.). MIT Press y McGraw-Hill. págs. 47–48. ISBN 0-262-03293-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Ceccherini-Silberstein, Tullio; Salvatori, Maura; Sava-Huss, Ecaterina (29 de junio de 2017). Grupos, gráficos y paseos aleatorios . Cambridge. Lema 5.17. ISBN 9781316604403. OCLC  948670194.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Bibliografía

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• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
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