espacio de frechet

Un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios de Fréchet , llamados así en honor a Maurice Fréchet , son espacios vectoriales topológicos especiales . Son generalizaciones de los espacios de Banach ( espacios vectoriales normados que son completos respecto de la métrica inducida por la norma ). Todos los espacios de Banach y Hilbert son espacios de Fréchet. Los espacios de funciones infinitamente diferenciables son ejemplos típicos de espacios de Fréchet, muchos de los cuales no suelen ser espacios de Banach.

Un espacio de Fréchet se define como un espacio vectorial topológico metrizable (TVS) localmente convexo que es completo como TVS , ^[1] lo que significa que cada secuencia de Cauchy converge en algún punto (consulte la nota al pie para obtener más detalles). ^{[nota 1]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Nota importante : no todos los autores exigen que un espacio de Fréchet sea localmente convexo (se analiza a continuación).

La topología de cada espacio de Fréchet está inducida por alguna métrica completa invariante a la traducción . Por el contrario, si la topología de un espacio localmente convexo es inducida por una métrica completa invariante a la traducción, entonces es un espacio de Fréchet. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Fréchet fue el primero en utilizar el término " espacio de Banach " y Banach, a su vez, acuñó el término "espacio de Fréchet" para referirse a un espacio vectorial topológico metrizable completo , sin el requisito de convexidad local (dicho espacio hoy en día a menudo se denomina " F- espacio "). ^[1] El requisito de convexidad local fue añadido más tarde por Nicolas Bourbaki . ^[1] Es importante señalar que un número considerable de autores (por ejemplo, Schaefer) utilizan "espacio F" para referirse a un espacio de Fréchet (localmente convexo), mientras que otros no requieren que un "espacio de Fréchet" sea localmente convexo. Además, algunos autores incluso utilizan " espacio F " y "espacio de Fréchet" indistintamente. Al leer literatura matemática, se recomienda que el lector siempre compruebe si la definición del " espacio F " y del "espacio de Fréchet" del libro o artículo requiere convexidad local. ^[1]

Definiciones

Los espacios de Fréchet se pueden definir de dos formas equivalentes: la primera emplea una métrica invariante a la traducción , la segunda una familia contable de seminormas .

Definición de métrica invariante

Un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y sólo si satisface las tres propiedades siguientes: ${\displaystyle X}$

1. Es localmente convexo . ^{[nota 2]}
2. Su topología puede ser inducida por una métrica invariante de traducción, es decir, una métrica tal que para todos. Esto significa que un subconjunto de es abierto si y sólo si para cada existe un tal que sea un subconjunto de ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \{v:d(v,u)<r\}}$ ${\displaystyle U.}$
3. Alguna (o equivalentemente, cada) métrica invariante de traducción para inducir la topología de está completa . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
   • Suponiendo que se cumplan las otras dos condiciones, esta condición equivale a ser un espacio vectorial topológico completo , es decir, que es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica y está definida enteramente). en términos de resta de vectores y vecindades del origen; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante de traducción (que define la topología) es idéntica a esta uniformidad canónica). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Tenga en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas diferentes invariantes de traducción pueden inducir la misma topología.

Definición de familia contable de seminormas

La definición alternativa y algo más práctica es la siguiente: un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y sólo si satisface las tres propiedades siguientes: ${\displaystyle X}$

1. Es un espacio Hausdorff ,
2. Su topología puede ser inducida por una familia contable de seminormas. Esto significa que un subconjunto es abierto si y sólo si para cada existe un subconjunto de ${\displaystyle ||\cdot ||_{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle K\geq 0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \{v\in X:\|v-u\|_{k}<r{\text{ for all }}k\leq K\}}$ ${\displaystyle U,}$
3. está completo con respecto a la familia de seminormas.

Una familia de seminormas produce una topología de Hausdorff si y sólo si ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \bigcap _{\|\,\cdot \,\|\in {\mathcal {P}}}\{x\in X:\|x\|=0\}=\{0\}.}$$

Una secuencia en converge en el espacio de Fréchet definido por una familia de seminormas si y sólo si converge con respecto a cada una de las seminormas dadas. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Como espacios palmeados de Baire

Teorema ^[3]  (de Wilde 1978)  :  un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y sólo si es a la vez un espacio reticulado y un espacio de Baire . ${\displaystyle X}$

Comparación con los espacios de Banach

A diferencia de los espacios de Banach , la métrica invariante de traducción completa no tiene por qué surgir de una norma. Sin embargo, la topología de un espacio de Fréchet surge tanto de una paranorma total como de una norma F (la F significa Fréchet).

Aunque la estructura topológica de los espacios de Fréchet es más complicada que la de los espacios de Banach debido a la posible falta de una norma, muchos resultados importantes en el análisis funcional, como el teorema de mapeo abierto , el teorema del grafo cerrado y el teorema de Banach-Steinhaus , todavía mantienen.

Construyendo espacios de Fréchet

Recuerde que una seminorma es una función desde un espacio vectorial hasta los números reales que satisfacen tres propiedades. Para todos y todos los escalares ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle c,}$

$${\displaystyle \|x\|\geq 0}$$

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$

$${\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}$$

Si , entonces es de hecho una norma. Sin embargo, las seminormas son útiles porque nos permiten construir espacios de Fréchet de la siguiente manera: ${\displaystyle \|x\|=0\iff x=0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Para construir un espacio de Fréchet, normalmente se comienza con un espacio vectorial y se define una familia contable de seminormas con las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$ ${\displaystyle X}$

• si y para todos entonces ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|x\|_{k}=0}$ ${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle x=0}$
• si es una secuencia en la que es Cauchy con respecto a cada seminorma entonces existe tal que converge con respecto a cada seminorma ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{k},}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}.}$

Entonces la topología inducida por estas seminormas (como se explicó anteriormente) se convierte en un espacio de Fréchet; la primera propiedad asegura que sea Hausdorff y la segunda propiedad asegura que esté completa. Una métrica completa invariante en la traducción que induce la misma topología puede definirse mediante ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\qquad x,y\in X.}$$

La función se asigna monótonamente y, por lo tanto, la definición anterior garantiza que sea "pequeña" si y sólo si existe algo "grande" que sea "pequeño" para ${\displaystyle u\mapsto {\frac {u}{1+u}}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \|x-y\|_{k}}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,K.}$

Ejemplos

Del análisis funcional puro

• Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, ya que la norma induce una métrica invariante a la traducción y el espacio es completo con respecto a esta métrica.
• El espacio de todas las secuencias con valores reales ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ (también denominado ) se convierte en un espacio de Fréchet si definimos la -ésima seminorma de una secuencia como el valor absoluto del -ésimo elemento de la secuencia. La convergencia en este espacio de Fréchet es equivalente a la convergencia de elementos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

De colectores lisos

• El espacio vectorial de todas las funciones infinitamente diferenciables se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas ${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle \|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [0,1]\}}$$
  para cada entero no negativo Aquí, denota la -ésima derivada de y En este espacio de Fréchet, una secuencia de funciones converge hacia el elemento si y solo si para cada número entero no negativo la secuencia converge uniformemente . ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{(0)}=f.}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)\to f}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle \left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}}$
• El espacio vectorial de todas las funciones infinitamente diferenciables se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}$$
  para todos los números enteros Entonces, una secuencia de funciones converge si y solo si para cada las secuencias convergen de forma compacta . ${\displaystyle k,n\geq 0.}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)\to f}$ ${\displaystyle k,n\geq 0,}$ ${\displaystyle \left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}}$
• El espacio vectorial de funciones continuamente diferenciables de todos los tiempos se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas ${\displaystyle C^{m}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}$$
  para todos los números enteros y ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,m.}$
• Si es una variedad compacta y es un espacio de Banach , entonces el conjunto de todas las funciones infinitamente diferenciables se puede convertir en un espacio de Fréchet utilizando como seminormas la suprema de las normas de todas las derivadas parciales. Si es una variedad (no necesariamente compacta) que admite una secuencia contable de subconjuntos compactos, de modo que cada subconjunto compacto de esté contenido en al menos uno , entonces los espacios y también son espacios de Fréchet de manera natural. Como caso especial, cada variedad completa suave de dimensión finita se puede convertir en una unión anidada de subconjuntos compactos: equípela con una métrica de Riemann que induzca a elegir una métrica y deje que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,B)}$ ${\displaystyle f:M\to B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K^{n},}$ ${\displaystyle C^{m}(M,B)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,B)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d(x,y),}$ ${\displaystyle x\in M,}$
  $${\displaystyle K_{n}=\{y\in M:d(x,y)\leq n\}\ .}$$
  Sea una variedad compacta y un paquete vectorial sobre Denotemos el espacio de secciones suaves de sobre Elija métricas y conexiones de Riemann, cuya existencia está garantizada, en los paquetes y Si es una sección, denote su j- ^ésima derivada covariante por Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle D^{j}s.}$
  $${\displaystyle \|s\|_{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M}|D^{j}s|}$$
  (donde está la norma inducida por la métrica de Riemann) es una familia de seminormas que forman un espacio de Fréchet. ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,V)}$

De la holomorfidad

• Sea el espacio de funciones completas (en todas partes holomorfas ) en el plano complejo. Entonces la familia de las seminormas. ${\displaystyle H}$
  $${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup\{|f(z)|:|z|\leq n\}}$$
  se convierte en un espacio de Fréchet. ${\displaystyle H}$
• Sea el espacio de funciones enteras (en todas partes holomorfas) de tipo exponencial. Entonces la familia de seminormas. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau .}$
  $${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|}$$
  se convierte en un espacio de Fréchet. ${\displaystyle H}$

No todos los espacios vectoriales con métricas invariantes de traducción completas son espacios de Fréchet. Un ejemplo es el espacio ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ con Aunque este espacio no es localmente convexo, es un espacio F. ${\displaystyle p<1.}$

Propiedades y nociones adicionales.

Si un espacio de Fréchet admite una norma continua entonces todas las seminormas utilizadas para definirlo pueden ser reemplazadas por normas agregando esta norma continua a cada una de ellas. Un espacio de Banach, compacto , y donde todos admiten normas, mientras que y no. ${\displaystyle C^{\infty }([a,b]),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$

Un subespacio cerrado de un espacio de Fréchet es un espacio de Fréchet. Un cociente de un espacio de Fréchet por un subespacio cerrado es un espacio de Fréchet. La suma directa de un número finito de espacios de Fréchet es un espacio de Fréchet.

Un producto de innumerables espacios de Fréchet vuelve a ser siempre un espacio de Fréchet. Sin embargo, un producto arbitrario de espacios de Fréchet será un espacio de Fréchet si y sólo si todos, excepto muchos de ellos, como mucho, son triviales (es decir, tienen dimensión 0). En consecuencia, un producto de incontables espacios de Fréchet no triviales no puede ser un espacio de Fréchet (de hecho, tal producto ni siquiera es metrizable porque su origen no puede tener una base de vecindad contable). Entonces, por ejemplo, si es cualquier conjunto y es un espacio de Fréchet no trivial (como por ejemplo), entonces el producto es un espacio de Fréchet si y solo si es un conjunto contable. ${\displaystyle I\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{I}=\prod _{i\in I}X}$ ${\displaystyle I}$

Varias herramientas importantes de análisis funcional que se basan en el teorema de la categoría de Baire siguen siendo válidas en los espacios de Fréchet; ejemplos son el teorema del grafo cerrado y el teorema de mapeo abierto . El teorema de mapeo abierto implica que si hay topologías que convierten a ambos en TVS metrizables completos (como los espacios de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ). ^[4] ${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$

Todo operador lineal acotado desde un espacio de Fréchet a otro espacio vectorial topológico (TVS) es continuo. ^[5]

Existe un espacio de Fréchet que tiene un subconjunto acotado y también un subespacio vectorial denso tal que no está contenido en la clausura (en ) de ningún subconjunto acotado de ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M.}$

Todos los espacios de Fréchet son espacios estereotipados . En la teoría de los espacios estereotipados, los espacios de Fréchet son objetos duales de los espacios de Brauner . Todos los espacios Montel metrizables son separables . ^[7] Un espacio de Fréchet separable es un espacio de Montel si y sólo si cada secuencia convergente débil-* en sus convergencias duales continuas es fuertemente convergente . ^[7]

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet (y más generalmente, de cualquier espacio localmente convexo metrizable ^[8] ) es un espacio DF . ^[9] El dual fuerte de un espacio DF es un espacio de Fréchet. ^[10] El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio bornológico ^[8] y un espacio de Ptak . Todo espacio de Fréchet es un espacio de Ptak. El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio de Fréchet. ^[11] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Normas y normalidad

Si es un espacio localmente convexo entonces la topología de puede estar definida por una familia de normas continuas en (una norma es una seminorma definida positiva ) si y sólo si existe al menos una norma continua en ^[12] Incluso si un Fréchet el espacio tiene una topología que está definida por una familia (contable) de normas (todas las normas son también seminormas), entonces, aún así, puede no ser un espacio normal (lo que significa que su topología no puede definirse por una sola norma). El espacio de todas las secuencias (con la topología del producto) es un espacio de Fréchet. No existe ninguna topología localmente convexa de Hausdorff que sea estrictamente más burda que esta topología de producto. ^[13] El espacio no es normable , lo que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma . ^[13] Además, no existe ninguna norma continua . De hecho, como muestra el siguiente teorema, siempre que hay un espacio de Fréchet en el que no existe ninguna norma continua, entonces esto se debe enteramente a la presencia de un subespacio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Teorema ^[13]  —  Sea un espacio de Fréchet sobre el campo. Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$no admite norma continua (es decir, cualquier seminorma continua no puede ser norma). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial que es TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial complementado que es TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Si es un espacio de Fréchet no normable en el que existe una norma continua, entonces contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio localmente convexo metrizable es normal si y sólo si su espacio dual fuerte es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . ^[9] En particular, si un espacio metrizable localmente convexo (como un espacio de Fréchet) no es normable (lo que sólo puede suceder si es de dimensión infinita), entonces su espacio dual fuerte no es un espacio de Fréchet-Urysohn y, en consecuencia, este espacio completo de Hausdorff El espacio localmente convexo tampoco es metrizable ni normable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet (y más generalmente, de espacios bornológicos como los TVS metrizables) es siempre un TVS completo y, por lo tanto, como cualquier TVS completo, es normal si y sólo si su topología puede ser inducida por una norma completa ( es decir, si y sólo si se puede convertir en un espacio de Banach que tenga la misma topología). Si es un espacio de Fréchet, entonces es normal si (y sólo si) existe una norma completa en su espacio dual continuo tal que la topología inducida por la norma sea más fina que la topología débil-*. ^[15] En consecuencia, si un espacio de Fréchet no es normable (lo que sólo puede suceder si es de dimensión infinita) entonces tampoco lo es su espacio dual fuerte. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$

Teorema de Anderson-Kadec

Teorema de Anderson-Kadec  :  todo espacio de Fréchet real separable y de dimensión infinita es homeomorfo alproducto cartesiano de un número contable de copias de la línea real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Tenga en cuenta que el homeomorfismo descrito en el teorema de Anderson-Kadec no es necesariamente lineal.

Teorema de Eidelheit  :  un espacio de Fréchet es isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Diferenciación de funciones

Si y son espacios de Fréchet, entonces el espacio que consta de todos los mapas lineales continuos desde a no es un espacio de Fréchet de ninguna manera natural. Ésta es una diferencia importante entre la teoría de los espacios de Banach y la de los espacios de Fréchet y requiere una definición diferente de la diferenciabilidad continua de funciones definidas en los espacios de Fréchet, la derivada de Gateaux : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Supongamos que es un subconjunto abierto de un espacio de Fréchet, es una función valorada en un espacio de Fréchet y El mapa es diferenciable en en la dirección si el límite ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P:U\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle h\in X.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}\left(P(x+th)-P(x)\right)}$$

continuamente diferenciable ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle D(P):U\times X\to Y}$$

producto ${\displaystyle D(P)}$ ${\displaystyle P}$

El operador derivada definido por es en sí mismo infinitamente diferenciable. La primera derivada está dada por ${\displaystyle P:C^{\infty }([0,1])\to C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle P(f)=f'}$

$${\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}$$

${\displaystyle f,h\in C^{\infty }([0,1]).}$ ${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle C^{k}([0,1])}$ ${\displaystyle k.}$

Si es una función continuamente diferenciable, entonces la ecuación diferencial ${\displaystyle P:U\to Y}$

$${\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}$$

En general, el teorema de la función inversa no es cierto en los espacios de Fréchet, aunque un sustituto parcial es el teorema de Nash-Moser .

Variedades de Fréchet y grupos de Lie

Se pueden definir las variedades de Fréchet como espacios que "localmente se parecen" a los espacios de Fréchet (al igual que las variedades ordinarias se definen como espacios que localmente se parecen al espacio euclidiano ), y luego se puede extender el concepto de grupo de Lie a estas variedades. Esto es útil porque para una variedad compacta (ordinaria) dada, el conjunto de todos los difeomorfismos forma un grupo de Lie generalizado en este sentido, y este grupo de Lie captura las simetrías de Algunas de las relaciones entre álgebras de Lie y grupos de Lie siguen siendo válidas en este entorno. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle M.}$

Otro ejemplo importante de un grupo de Fréchet Lie es el grupo de bucle de un grupo de Lie compacto, las asignaciones suaves ( ) multiplicadas puntualmente por ^{[16] [17]} ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \gamma :S^{1}\to G,}$ ${\displaystyle \left(\gamma _{1}\gamma _{2}\right)(t)=\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)..}$

Generalizaciones

Si eliminamos el requisito de que el espacio sea localmente convexo, obtenemos espacios F : espacios vectoriales con métricas invariantes de traslación completas.

Los espacios LF son límites inductivos contables de los espacios de Fréchet.

Ver también

• Espacio de Banach  : espacio vectorial normado que está completo
• Espacio de Brauner  : espacio completo generado de forma compacta localmente convexo con una secuencia de conjuntos compactos Kₙ tal que cualquier conjunto compacto está contenido en algún KₙPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
• Espacio F  : espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
• celosía de frechet
• Espacio graduado de Fréchet  : generalización del teorema de la función inversaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métrica.
• Sobreyección de espacios de Fréchet  – Caracterización de la sobreyección
• Espacio Tame Fréchet  - Generalización del teorema de la función inversaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Notas

1. Aquí "Cauchy" significa Cauchy con respecto a la uniformidad canónica que poseen todos los TVS . Es decir, una secuencia en un TVS es Cauchy si y sólo si para todas las vecindades del origen en siempre y son suficientemente grandes. Tenga en cuenta que esta definición de secuencia de Cauchy no depende de ninguna métrica en particular y ni siquiera requiere que sea metrizable. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{m}-x_{n}\in U}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$
2. Algunos autores no incluyen la convexidad local como parte de la definición de espacio de Fréchet.

Citas

1. Narici y Beckenstein 2011, pag. 93.
2. Conway 1990, Capítulo 4.
3. Narici y Beckenstein 2011, pag. 472.
4. Trèves 2006, págs. 166-173.
5. Tréves 2006, pag. 142.
6. Wilansky 2013, pag. 57.
7. Schaefer y Wolff 1999, págs. 194-195.
8. Schaefer y Wolff 1999, pág. 154.
9. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes locales contables (2014)
10. Schaefer y Wolff 1999, pág. 196.
11. Schaefer y Wolff 1999, págs. 154-155.
12. Jarchow 1981, pág. 130.
13. Jarchow 1981, págs.
14. Schaefer y Wolff 1999, págs. 190-202.
15. "El dual de un espacio Fréchet". 24 de febrero de 2012 . Consultado el 26 de abril de 2021 .
16. Sergeev 2010
17. Pressley y Segal 1986

Referencias

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